{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nDany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD. Dwusieczna\nkąta ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną kąta BCD w punkcie F (zobacz\nrysunek).\nWykaż, że w czworokącie CDEF sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.\nA\nB\nC\nD\nE\nF\n\nMMA_1P\nDany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD. Dwusieczna ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną kąta BCD w punkcie F (zobacz rysunek).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nDany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD. Dwusieczna\nkąta ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną kąta BCD w punkcie F (zobacz\nrysunek).\nWykaż, że w czworokącie CDEF sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.\nRozwiązanie\nI sposób rozwiązania\nPółproste BF i CF to dwusieczne kątów ABC i BCD przy ramieniu BC trapezu ABCD.\nOznaczmy zatem miary tych kątów odpowiednio 2α i 2β jak na rysunku.\nSuma miar kątów trapezu przy jego ramieniu jest równa 180°,więc\n2α\nβ\n+ 2\n=180° ,\n9\nα\nβ\n= 0°.\nSuma miar kątów trójkąta jest równa 180°, więc miara kąta BFC jest równa\n(\n)\n180\n180\n90\n90\nBFC\nα\nβ\n° -\n°-\n° =\n°\n\nStąd wynika, że\n180\n180\n90\n90\nCFE\nBFC\n° -\n°-\n° =\n°\n\n\nKąt CDE jest prosty, gdyż trapez jest prostokątny, więc suma miar przeciwległych kątów\nCDE i CFE czworokąta CDEF jest równa\n90\n90\n180\nCDE\nCFE\n° +\n° =\n°\n\n\nSuma miar kątów czworokąta jest równa 360°, więc suma miar dwóch pozostałych kątów\nczworokąta CDEF jest równa\n360\n180\n180\nDCF\nDEF\n° -\n° =\n°\n\n\nZatem\nCDE\nCFE\nDCF\nDEF\n\n\n\n\n, co kończy dowód.\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nα\nα\nβ\nβ\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nII sposób rozwiązania\nPółproste BF i CF to dwusieczne kątów ABC i BCD przy ramieniu BC trapezu ABCD.\nOznaczmy zatem miary tych kątów odpowiednio 2α i 2β jak na rysunku.\nProste AB i CD są równoległe, więc naprzemianległe kąty BGC i DCG są równe, czyli\nBGC\nβ\n\nZatem trójkąt BCG jest równoramienny. Stąd i z równości kątów CBF i GBF wynika z kolei,\nże trójkąty BCF i BFG są przystające. Zatem ich kąty przy wierzchołku F są równe. Są to\njednak kąty przyległe, więc są to kąty proste. W rezultacie\n180\n180\n90\n90\nCFE\nBFC\n° -\n°-\n° =\n°\n\n\nDalsza część dowodu przebiega tak, jak w I sposobie.\nSchemat punktowania I i II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wyznaczy miarę kąta BFC:\n°\n90 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełny dowód.\nIII sposób rozwiązania\nPółproste BF i CF to dwusieczne kątów ABC i BCD przy ramieniu BC trapezu ABCD.\nOznaczmy zatem miary tych kątów odpowiednio 2α i 2β jak na rysunku.\nTrójkąt ABE jest prostokątny, więc\n90\nBEA\nα\n°-\n\n. Zatem\n(\n)\n180\n180\n90\n90\nDEF\nBEA\nα\nα\n° -\n°-\n°-\n°+\n\n\nSuma miar przeciwległych kątów DEF i DCF w czworokącie CDEF jest zatem równa\n(1)\n(\n)\n90\n90\nDEF\nDCF\nα\nβ\nα\nβ\n° +\n°+\n\n\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nα\nα\nβ\nβ\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nG\nα\nα\nβ\nβ\nβ\nKąt CFE jest kątem zewnętrznym trójkąta CBF, więc\nCFE\nα\nβ\n\nKąt EDC jest prosty, gdyż trapez jest prostokątny, więc suma miar przeciwległych kątów\nCDE i CFE czworokąta CDEF jest równa\n90\nCDE\nCFE\nα\nβ\n° +\n\n\nStąd i z (1) otrzymujemy\nDEF\nDCF\nCDE\nCFE\n\n\n\n\n. To kończy dowód.\nSchemat punktowania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wyznaczy miary kątów przy wierzchołkach E i F czworokąta CDEF w zależności od\nα i β :\n90\nAEB\nα\n°-\n\n,\nCFE\nα\nβ\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełny dowód.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD. Dwusieczna
kąta ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną kąta BCD w punkcie F (zobacz
rysunek).
Wykaż, że w czworokącie CDEF sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.
A
B
C
D
E
F

\n

MMA_1P
Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD. Dwusieczna ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną kąta BCD w punkcie F (zobacz rysunek).

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD. Dwusieczna
kąta ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną kąta BCD w punkcie F (zobacz
rysunek).
Wykaż, że w czworokącie CDEF sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.
Rozwiązanie
I sposób rozwiązania
Półproste BF i CF to dwusieczne kątów ABC i BCD przy ramieniu BC trapezu ABCD.
Oznaczmy zatem miary tych kątów odpowiednio 2α i 2β jak na rysunku.
Suma miar kątów trapezu przy jego ramieniu jest równa 180°,więc
2α
β

\n\n

=180° ,
9
α
β
= 0°.
Suma miar kątów trójkąta jest równa 180°, więc miara kąta BFC jest równa
(
)
180
180
90
90
BFC
α
β
° -
°-
° =
°

Stąd wynika, że
180
180
90
90
CFE
BFC
° -
°-
° =
°


Kąt CDE jest prosty, gdyż trapez jest prostokątny, więc suma miar przeciwległych kątów
CDE i CFE czworokąta CDEF jest równa
90
90
180
CDE
CFE
° +
° =
°


Suma miar kątów czworokąta jest równa 360°, więc suma miar dwóch pozostałych kątów
czworokąta CDEF jest równa
360
180
180
DCF
DEF
° -
° =
°


Zatem
CDE
CFE
DCF
DEF




, co kończy dowód.
A
B
C
D
E
F
α
α
β
β
A
B
C
D
E
F
II sposób rozwiązania
Półproste BF i CF to dwusieczne kątów ABC i BCD przy ramieniu BC trapezu ABCD.
Oznaczmy zatem miary tych kątów odpowiednio 2α i 2β jak na rysunku.
Proste AB i CD są równoległe, więc naprzemianległe kąty BGC i DCG są równe, czyli
BGC
β

Zatem trójkąt BCG jest równoramienny. Stąd i z równości kątów CBF i GBF wynika z kolei,
że trójkąty BCF i BFG są przystające. Zatem ich kąty przy wierzchołku F są równe. Są to
jednak kąty przyległe, więc są to kąty proste. W rezultacie
180
180
90
90
CFE
BFC
° -
°-
° =
°


Dalsza część dowodu przebiega tak, jak w I sposobie.
Schemat punktowania I i II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy wyznaczy miarę kąta BFC:
°
90 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełny dowód.
III sposób rozwiązania
Półproste BF i CF to dwusieczne kątów ABC i BCD przy ramieniu BC trapezu ABCD.
Oznaczmy zatem miary tych kątów odpowiednio 2α i 2β jak na rysunku.
Trójkąt ABE jest prostokątny, więc
90
BEA
α
°-

. Zatem
(
)
180
180
90
90
DEF
BEA
α
α
° -
°-
°-
°+


Suma miar przeciwległych kątów DEF i DCF w czworokącie CDEF jest zatem równa
(1)
(
)
90
90
DEF
DCF
α
β
α
β
° +
°+


A
B
C
D
E
F
α
α
β
β
A
B
C
D
E
F
G
α
α
β
β
β
Kąt CFE jest kątem zewnętrznym trójkąta CBF, więc
CFE
α
β

Kąt EDC jest prosty, gdyż trapez jest prostokątny, więc suma miar przeciwległych kątów
CDE i CFE czworokąta CDEF jest równa
90
CDE
CFE
α
β
° +


Stąd i z (1) otrzymujemy
DEF
DCF
CDE
CFE




. To kończy dowód.
Schemat punktowania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy wyznaczy miary kątów przy wierzchołkach E i F czworokąta CDEF w zależności od
α i β :
90
AEB
α
°-

,
CFE
α
β

i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełny dowód.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód

"}]}