{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"30","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-4)\nW trójkącie ABC dane są długości boków\n15\nAB\ni\n12\nAC =\noraz\n4\n5\ncosα =\n, gdzie\nBAC\nα = \n. Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że\n2\nBD\nAD\ni\n2\nAE\nCE\n(zobacz rysunek).\nOblicz pole\na) trójkąta ADE.\nb) czworokąta BCED.\nA\nD\nB\nC\nα\nE\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nW trójkącie ABC dane są długości boków |AB|=15 i |AC|=12 oraz cosα = 4/5, gdzie α = ∠BAC. Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że |BD|=2|AD| i |AE|=2|CE| (zobacz rysunek).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-4)\nW trójkącie ABC dane są długości boków\n15\nAB\ni\n12\nAC =\noraz\n4\n5\ncosα =\n, gdzie\nBAC\nα = \n. Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że\n2\nBD\nAD\ni\n2\nAE\nCE\n(zobacz rysunek).\nOblicz pole\na) trójkąta ADE.\nb) czworokąta BCED.\nRozwiązanie I sposób\nPonieważ\n2\nBD\nAD\ni\n2\nAE\nCE\noraz\n15\nAB\ni\n12\nAC =\n, więc\n1\n1 15\n5\n3\n3\nAD\nAB\n⋅\noraz\n2\n2 12\n8\n3\n3\nAE\nAC\n⋅\nZ jedynki trygonometrycznej otrzymujemy\n( )\n2\n2\n16\n3\n4\n5\n5\n25\nsin\n1 cos\n1\n1\nα\nα\nZatem pole trójkąta ABC jest równe\n1\n1\n3\nsin\n15 12\n54\n2\n2\n5\nABC\nP\nAB\nAC\nα\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n,\na pole trójkąta ADE jest równe\n1\n1\n3\nsin\n5 8\n12\n2\n2\n5\nADE\nP\nAD\nAE\nα\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅⋅⋅\nA\nD\nB\nC\nα\nE\nZatem pole czworokąta BCDE jest równe\n54 12\n42\nBCDE\nABC\nADE\nP\nP\nP\nRozwiązanie II sposób\nPoprowadźmy wysokość CF trójkąta ABC oraz wysokość EG trójkąta ADE jak na rysunku.\nZ trójkąta prostokątnego AFC otrzymujemy\ncos\nAF\nAC\nα =\n, czyli 4\n5\n12\nAF\nStąd\n48\n5\nAF =\nZ twierdzenia Pitagorasa natomiast\n2\n2\n2\nAC\nAF\nCF\n,\n2\n2\n2\n48\n12\n5\nh\n\n\n\n\n\n\nStąd\n(\n)\n2\n2\n48\n36\n5\n5\n12\nh =\nPole trójkąta ABC jest zatem równe\n1\n1\n36\n15\n54\n2\n2\n5\nABC\nP\nAB h\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nTrójkąty AFC i AGE są podobne, gdyż oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy\nwierzchołu A. Zatem\nEG\nAE\nCF\nAC\nPonieważ\n2\nAE\nCE\n, więc\n2\n3\nAE\nAC\n. Otrzymujemy zatem\n2\n3\n36\n5\n2\n3\nAC\np\nAC\nStąd\n2 36\n24\n3\n5\n5\np =\n⋅\n. Skoro\n2\nBD\nAD\ni\n15\nAB\n, to\n1\n1 15\n5\n3\n3\nAD\nAB\n⋅\n. Pole\ntrójkąta ADE jest zatem równe\n1\n1\n24\n5\n12\n2\n2\n5\nADE\nP\nAD\np\n⋅\n⋅\n⋅⋅\nZatem pole czworokąta BCDE jest równe\n54 12\n42\nBCDE\nABC\nADE\nP\nP\nP\nA\nD\nE\nB\nC\nα\nF\nG\nh\np\nUwaga:\nPole trójkąta ADE możemy tez obliczyć inaczej. Poprowadźmy wysokość tego trójkąta\nz wierzchołka D.\nPonieważ\n2\nBD\nAD\ni\n15\nAB\n, więc\n1\n1 15\n5\n3\n3\nAD\nAB\n⋅\nZ trójkąta prostokątnego ADM otrzymujemy\ncos\nAM\nAD\nα =\n, czyli 4\n5\n5\nAM\nStąd\n4\nAM =\n. Zatem z twierdzenia Pitagorasa dla tego trójkąta\n2\n2\n2\n2\n5\n4\n3\nq\nAD\nAM\nSkoro\n2\nAE\nEC\ni\n12\nAC =\n, to\n2\n2 12\n8\n3\n3\nAE\nAC\n⋅\n. Pole trójkąta ADE jest zatem\nrówne\n1\n1 8 3\n12\n2\n2\nADE\nP\nAE q\n⋅\n⋅\n⋅⋅=\nSchemat punktowania I i II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• obliczy sinus kąta BAC:\n3\n5\nsinα =\nalbo\n• długość jednego z odcinków AD, AE:\n5\nAD =\n,\n8\nAE =\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający obliczy\n• pole trójkąta ABC:\n54\nABC\nP\nalbo\n• obliczy sinα i długości obu odcinków AD i AE:\n3\n5\nsinα =\n,\n5\nAD =\n,\n8\nAE =\n,\nalbo\n• wysokość trójkąta ADE opuszczoną z wierzchołka E:\n24\n5\np =\n,\nalbo\n• wysokość trójkąta ADE opuszczoną z wierzchołka D:\n3\nq = .\nA\nD\nE\nB\nC\nα\nF\nM\nh\nq\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy pole trójkąta ADE:\n12\nADE\nP\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy pole czworokąta BCDE:\n42\nBCDE\nP\nUwaga:\nJeżeli zdający rozwiązuje zadanie z wykorzystaniem faktu, że rozważany trójkąt jest\nprostokątny i nie przedstawia uzasadnienia tego faktu, to może otrzymać maksymalną liczbę\npunktów za całe rozwiązanie.","solution":"a) $12$, b) $42$","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"planimetria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 30. (0-4)
W trójkącie ABC dane są długości boków
15
AB
i
12
AC =
oraz
4
5
cosα =
, gdzie
BAC
α = 
. Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że
2
BD
AD
i
2
AE
CE
(zobacz rysunek).
Oblicz pole
a) trójkąta ADE.
b) czworokąta BCED.
A
D
B
C
α
E

\n

MMA_1P
Odpowiedź:

\n

MMA_1P
W trójkącie ABC dane są długości boków |AB|=15 i |AC|=12 oraz cosα = 4/5, gdzie α = ∠BAC. Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że |BD|=2|AD| i |AE|=2|CE| (zobacz rysunek).

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (0-4)
W trójkącie ABC dane są długości boków
15
AB
i
12
AC =
oraz
4
5
cosα =
, gdzie
BAC
α = 
. Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że
2
BD
AD
i
2
AE
CE
(zobacz rysunek).
Oblicz pole
a) trójkąta ADE.
b) czworokąta BCED.
Rozwiązanie I sposób
Ponieważ
2
BD
AD
i
2
AE
CE
oraz
15
AB
i
12
AC =
, więc
1
1 15
5
3
3
AD
AB
⋅
oraz
2
2 12
8
3
3
AE
AC
⋅
Z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy
( )
2
2
16
3
4
5
5
25
sin
1 cos
1
1
α
α
Zatem pole trójkąta ABC jest równe
1
1
3
sin
15 12
54
2
2
5
ABC
P
AB
AC
α
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
,
a pole trójkąta ADE jest równe
1
1
3
sin
5 8
12
2
2
5
ADE
P
AD
AE
α
⋅
⋅
⋅
⋅⋅⋅
A
D
B
C
α
E
Zatem pole czworokąta BCDE jest równe
54 12
42
BCDE
ABC
ADE
P
P
P
Rozwiązanie II sposób
Poprowadźmy wysokość CF trójkąta ABC oraz wysokość EG trójkąta ADE jak na rysunku.
Z trójkąta prostokątnego AFC otrzymujemy
cos
AF
AC
α =
, czyli 4
5
12
AF
Stąd
48
5
AF =
Z twierdzenia Pitagorasa natomiast
2
2
2
AC
AF
CF
,
2
2
2
48
12
5
h






Stąd
(
)
2
2
48
36
5
5
12
h =
Pole trójkąta ABC jest zatem równe
1
1
36
15
54
2
2
5
ABC
P
AB h
⋅
⋅
⋅
⋅
Trójkąty AFC i AGE są podobne, gdyż oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy
wierzchołu A. Zatem
EG
AE
CF
AC
Ponieważ
2
AE
CE
, więc
2
3
AE
AC
. Otrzymujemy zatem
2
3
36
5
2
3
AC
p
AC
Stąd
2 36
24
3
5
5
p =
⋅
. Skoro
2
BD
AD
i
15
AB
, to
1
1 15
5
3
3
AD
AB
⋅
. Pole
trójkąta ADE jest zatem równe
1
1
24
5
12
2
2
5
ADE
P
AD
p
⋅
⋅
⋅⋅
Zatem pole czworokąta BCDE jest równe
54 12
42
BCDE
ABC
ADE
P
P
P
A
D
E
B
C
α
F
G
h
p
Uwaga:
Pole trójkąta ADE możemy tez obliczyć inaczej. Poprowadźmy wysokość tego trójkąta
z wierzchołka D.
Ponieważ
2
BD
AD
i
15
AB
, więc
1
1 15
5
3
3
AD
AB
⋅
Z trójkąta prostokątnego ADM otrzymujemy
cos
AM
AD
α =
, czyli 4
5
5
AM
Stąd
4
AM =
. Zatem z twierdzenia Pitagorasa dla tego trójkąta
2
2
2
2
5
4
3
q
AD
AM
Skoro
2
AE
EC
i
12
AC =
, to
2
2 12
8
3
3
AE
AC
⋅
. Pole trójkąta ADE jest zatem
równe
1
1 8 3
12
2
2
ADE
P
AE q
⋅
⋅
⋅⋅=
Schemat punktowania I i II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający
• obliczy sinus kąta BAC:
3
5
sinα =
albo
• długość jednego z odcinków AD, AE:
5
AD =
,
8
AE =
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający obliczy
• pole trójkąta ABC:
54
ABC
P
albo
• obliczy sinα i długości obu odcinków AD i AE:
3
5
sinα =
,
5
AD =
,
8
AE =
,
albo
• wysokość trójkąta ADE opuszczoną z wierzchołka E:
24
5
p =
,
albo
• wysokość trójkąta ADE opuszczoną z wierzchołka D:
3
q = .
A
D
E
B
C
α
F
M
h
q
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający obliczy pole trójkąta ADE:
12
ADE
P
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy pole czworokąta BCDE:
42
BCDE
P
Uwaga:
Jeżeli zdający rozwiązuje zadanie z wykorzystaniem faktu, że rozważany trójkąt jest
prostokątny i nie przedstawia uzasadnienia tego faktu, to może otrzymać maksymalną liczbę
punktów za całe rozwiązanie.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

a) $12$, b) $42$

"}]}