{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa","number":"31","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-5)\nDany jest ciąg arytmetyczny (\n)\nn\na\nokreślony dla każdej liczby naturalnej\n1\n≥\nn\n, w którym\n1\n2\n3\n4\n2016\na\na\na\na\noraz\n5\n6\n7\n12\n2016\na\na\na\na\n. Oblicz pierwszy wyraz, różnicę\noraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (\n)\nn\na\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nDany jest ciąg arytmetyczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, w którym a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 2016 oraz a_5 + a_6 + a_7 + ... + a_{12} = 2016. Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (a_n).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-5)\nDany jest ciąg arytmetyczny (\n)\nn\na\nokreślony dla każdej liczby naturalnej\n1\n≥\nn\n, w którym\n1\n2\n3\n4\n2016\na\na\na\na\noraz\n5\n6\n7\n12\n2016\na\na\na\na\n. Oblicz pierwszy wyraz, różnicę\noraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (\n)\nn\na\nRozwiązanie\nRozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów. Pierwszy polega na obliczeniu pierwszego\nwyrazu i różnicy ciągu (\n)\nn\na\n. Drugi etap polega na wyznaczeniu najmniejszego dodatniego\nwyrazu tego ciągu.\nI sposób rozwiązania I etapu\nZ warunków zadania wynika, że\n1\n2\n3\n4\n2016\na\na\na\na\ni\n5\n6\n12\n2016\na\na\na\nZe wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n(\n) (\n) (\n)\n1\n1\n1\n1\n2\n3\n2016\na\na\nr\na\nr\na\nr\ni (\n) (\n)\n(\n)\n1\n1\n1\n4\n5\n11\n2016\na\nr\na\nr\na\nr\n,\n1\n4\n6\n2016\na\nr\ni\n1\n8\n60\n2016\na\nr\n,\n1\n2\n3\n1008\na\nr\ni\n1\n2\n15\n504\na\nr\nOdejmując stronami równania, otrzymujemy\n12\n504\nr = -\n,\n42\nr = -\nZatem\n(\n)\n1\n2\n3\n42\n1008\na + ⋅-\n, więc\n1\n504\n3 21\n567\na =\n+ ⋅\nII sposób rozwiązania I etapu\nZ warunków zadania wynika, że\n1\n2\n3\n4\n2016\na\na\na\na\ni\n5\n6\n12\n2016\na\na\na\nZe wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n(\n) (\n) (\n)\n1\n1\n1\n1\n2\n3\n2016\na\na\nr\na\nr\na\nr\n,\n1\n4\n6\n2016\na\nr\n,\n1\n2\n3\n1008\na\nr\nZauważmy, że lewa strona równania\n5\n6\n12\n2016\na\na\na\njest sumą ośmiu wyrazów ciągu\narytmetycznego (\n)\n5\n6\n7\n12\n,\n,\n, ,\na a a\na\no różnicy r. Ze wzoru na sumą n-początkowych wyrazów\nciągu arytmetycznego, otrzymujemy\n5\n12 8\n2016\n2\na\na\n⋅=\n,\n5\n12\n504\na\na\nStąd i ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n1\n1\n4\n11\n504\na\nr\na\nr\n,\n1\n2\n15\n504\na\nr\nPo rozwiązaniu otrzymanego układu równań otrzymujemy\n1\n567\na =\ni\n42\nr = -\nIII sposób rozwiązania I etapu\nZ warunków zadania wynika, że\n1\n2\n3\n4\n2016\na\na\na\na\ni\n5\n6\n12\n2016\na\na\na\nZauważmy, że sumując te równania stronami, otrzymujemy\n1\n2\n12\n4032\na\na\na\nOtrzymaliśmy w ten sposób układ równań\n4\n2016\nS =\ni\n12\n4032\nS\n,\nktóry, korzystając ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego,\nmożemy zapisać w postaci\n1\n4 4\n2016\n2\na\na\n⋅\ni\n1\n12 12\n4032\n2\na\na\n⋅\n,\n1\n4\n1008\na\na\ni\n1\n12\n672\na\na\nZe wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n(\n)\n1\n1\n3\n1008\na\na\nr\ni\n(\n)\n1\n1\n11\n672\na\na\nr\n,\n1\n2\n3\n1008\na\nr\ni\n1\n2\n11\n672\na\nr\nPo rozwiązaniu otrzymanego układu równań otrzymujemy\n1\n567\na =\ni\n42\nr = -\nIV sposób rozwiązania I etapu\nZ warunków zadania wynika, że\n1\n2\n3\n4\n2016\na\na\na\na\ni\n5\n6\n12\n2016\na\na\na\nZauważmy, że\n(\n) (\n)\n5\n6\n12\n1\n2\n12\n1\n2\n3\n4\na\na\na\na\na\na\na\na\na\na\n,\nczyli\n5\n6\n12\n12\n4\na\na\na\nS\nS\nOtrzymaliśmy w ten sposób układ równań\n4\n2016\nS =\ni\n12\n4\n2016\nS\nS\n,\nktóry, korzystając ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego,\nmożemy zapisać w postaci\n1\n4 4\n2016\n2\na\na\n⋅\ni\n1\n12\n1\n4\n12\n4\n2016\n2\n2\na\na\na\na\n⋅\n⋅\n,\n1\n4\n1008\na\na\ni\n1\n12\n1\n4\n6\n6\n2\n2\n2016\na\na\na\na\n1\n4\n1008\na\na\ni\n1\n4\n12\n4\n2\n6\n2016\na\na\na\nZe wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n(\n)\n1\n1\n3\n1008\na\na\nr\ni\n(\n)\n(\n)\n1\n1\n1\n4\n2\n3\n6\n11\n2016\na\na\nr\na\nr\n,\n1\n2\n3\n1008\na\nr\ni\n1\n8\n60\n2016\na\nr\n,\n1\n2\n3\n1008\na\nr\ni\n1\n2\n15\n504\na\nr\nPo rozwiązaniu otrzymanego układu równań otrzymujemy\n1\n567\na =\ni\n42\nr = -\nRozwiązanie II etapu\nCiąg (\n)\nn\na\njest więc opisany wzorem ogólnym\n(\n)\n567\n(\n1)\n42\n609\n42\nna\nn\nn\n⋅-\ndla\n1\n≥\nn\nWyznaczmy numery wszystkich dodatnich wyrazów ciągu.\n0\nna >\n,\n609\n42\n0\nn\n>\n,\n609\n1\n14\n42\n2\nn <\nPonieważ\n42\n0\nr = -\n<\n, więc ciąg (\n)\nn\na\njest malejący. Wynika stąd, że najmniejszym dodatnim\nwyrazem ciągu jest\n14\n609\n42 14\n21\na\n⋅\nUwaga:\nNajmniejszy dodatni wyraz ciągu (\n)\nn\na\nmożemy też wyznaczyć w inny sposób. Ponieważ\n42\n0\nr = -\n<\n, więc ciąg (\n)\nn\na\njest malejący. Zauważmy, że jednym z wyrazów ciągu (\n)\nn\na\njest\n567 14 42\n21\n⋅\n, a następnym 21\n42\n21\n0\n<\n. Stąd wynika, że najmniejszy dodatni wyraz\nciągu to 21.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający zastosuje\n• wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisze jedno\nz równań wynikających z treści zadania:\n1\n4 4\n2016\n2\na\na\n⋅\n,\n1\n4\n6\n2016\na\nr\n,\n5\n12 8\n2016\n2\na\na\n⋅=\n,\n1\n8\n60\n2016\na\nr\n,\n1\n12 12\n4032\n2\na\na\n⋅\nalbo\n• wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i wyznaczy jeden z wyrazów\nna dla\n1\nn >\nw zależności od\n1a i r, np.\n2\n1\na\na\nr\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze, że\n12\n4032\nS\n, to otrzymuje 1 punkt.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze dwa równania wynikające z podanych sum wyrazów ciągu i wyznaczy jeden\nz wyrazów\nna dla\n1\nn > w zależności od\n1a i r, np.:\n1\n4 4\n2016\n2\na\na\n⋅\ni\n5\n12 8\n2016\n2\na\na\n⋅=\ni\n4\n1\n3\na\na\nr\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi pozwalający obliczyć\npierwszy wyraz i różnicę ciągu (\n)\nn\na\n, np.:\n1\n1\n3\n4\n2016\n2\na\na\nr\n⋅\ni\n1\n1\n4\n11\n8\n2016\n2\na\nr\na\nr\n⋅=\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający\n• obliczy pierwszy wyraz i różnicę ciągu (\n)\nn\na\n:\n1\n567\na =\n,\n42\nr = -\nalbo\n• obliczy pierwszy wyraz, różnicę i najmniejszy dodatni wyraz ciągu (\n)\nn\na\n, popełniając\npo drodze błędy rachunkowe.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (\n)\nn\na\n:\n1\n567\na =\n,\n42\nr = -\n,\n14\n21\na\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający błędnie zinterpretuje treść zadania przyjmując, że\n5\n6\n12\na\na\na\njest sumą\n12 początkowych wyrazów ciągu, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający zauważy, że\n5\n6\n12\na\na\na\njest sumą 8 wyrazów ciągu, ale zapisze\nbłędnie, że jest ona równa\n(\n)\n1\n2\n8 1\n2\n8\na\nr\n⋅, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej\n3 punkty.\n3. Jeżeli zdający zapisze, że\n5\n6\n12\na\na\na\njest sumą 7 wyrazów ciągu i konsekwentnie\nzapisze tę sumę w postaci\n(\n)\n5\n2\n7 1\n2\n7\na\nr\n⋅, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej\n3 punkty.","solution":"$a_1 = 567$, $r = -42$, najmniejszy dodatni wyraz to $21$","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"ciagi","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (0-5)
Dany jest ciąg arytmetyczny (
)
n
a
określony dla każdej liczby naturalnej
1
≥
n
, w którym
1
2
3
4
2016
a
a
a
a
oraz
5
6
7
12
2016
a
a
a
a
. Oblicz pierwszy wyraz, różnicę
oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (
)
n
a
Odpowiedź:

\n

MMA_1P
Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, w którym a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 2016 oraz a_5 + a_6 + a_7 + ... + a_{12} = 2016. Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (a_n).

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-5)
Dany jest ciąg arytmetyczny (
)
n
a
określony dla każdej liczby naturalnej
1
≥
n
, w którym
1
2
3
4
2016
a
a
a
a
oraz
5
6
7
12
2016
a
a
a
a
. Oblicz pierwszy wyraz, różnicę
oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (
)
n
a
Rozwiązanie
Rozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów. Pierwszy polega na obliczeniu pierwszego
wyrazu i różnicy ciągu (
)
n
a
. Drugi etap polega na wyznaczeniu najmniejszego dodatniego
wyrazu tego ciągu.
I sposób rozwiązania I etapu
Z warunków zadania wynika, że
1
2
3
4
2016
a
a
a
a
i
5
6
12
2016
a
a
a
Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy
(
) (
) (
)
1
1
1
1
2
3
2016
a
a
r
a
r
a
r
i (
) (
)
(
)
1
1
1
4
5
11
2016
a
r
a
r
a
r
,
1
4
6
2016
a
r
i
1
8
60
2016
a
r
,
1
2
3
1008
a
r
i
1
2
15
504
a
r
Odejmując stronami równania, otrzymujemy
12
504
r = -
,
42
r = -
Zatem
(
)
1
2
3
42
1008
a + ⋅-
, więc
1
504
3 21
567
a =

\n\n

II sposób rozwiązania I etapu
Z warunków zadania wynika, że
1
2
3
4
2016
a
a
a
a
i
5
6
12
2016
a
a
a
Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy
(
) (
) (
)
1
1
1
1
2
3
2016
a
a
r
a
r
a
r
,
1
4
6
2016
a
r
,
1
2
3
1008
a
r
Zauważmy, że lewa strona równania
5
6
12
2016
a
a
a
jest sumą ośmiu wyrazów ciągu
arytmetycznego (
)
5
6
7
12
,
,
, ,
a a a
a
o różnicy r. Ze wzoru na sumą n-początkowych wyrazów
ciągu arytmetycznego, otrzymujemy
5
12 8
2016
2
a
a
⋅=
,
5
12
504
a
a
Stąd i ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy
1
1
4
11
504
a
r
a
r
,
1
2
15
504
a
r
Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań otrzymujemy
1
567
a =
i
42
r = -
III sposób rozwiązania I etapu
Z warunków zadania wynika, że
1
2
3
4
2016
a
a
a
a
i
5
6
12
2016
a
a
a
Zauważmy, że sumując te równania stronami, otrzymujemy
1
2
12
4032
a
a
a
Otrzymaliśmy w ten sposób układ równań
4
2016
S =
i
12
4032
S
,
który, korzystając ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego,
możemy zapisać w postaci
1
4 4
2016
2
a
a
⋅
i
1
12 12
4032
2
a
a
⋅
,
1
4
1008
a
a
i
1
12
672
a
a
Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy
(
)
1
1
3
1008
a
a
r
i
(
)
1
1
11
672
a
a
r
,
1
2
3
1008
a
r
i
1
2
11
672
a
r
Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań otrzymujemy
1
567
a =
i
42
r = -
IV sposób rozwiązania I etapu
Z warunków zadania wynika, że
1
2
3
4
2016
a
a
a
a
i
5
6
12
2016
a
a
a
Zauważmy, że
(
) (
)
5
6
12
1
2
12
1
2
3
4
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
,
czyli
5
6
12
12
4
a
a
a
S
S
Otrzymaliśmy w ten sposób układ równań
4
2016
S =
i
12
4
2016
S
S
,
który, korzystając ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego,
możemy zapisać w postaci
1
4 4
2016
2
a
a
⋅
i
1
12
1
4
12
4
2016
2
2
a
a
a
a
⋅
⋅
,
1
4
1008
a
a
i
1
12
1
4
6
6
2
2
2016
a
a
a
a
1
4
1008
a
a
i
1
4
12
4
2
6
2016
a
a
a
Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy
(
)
1
1
3
1008
a
a
r
i
(
)
(
)
1
1
1
4
2
3
6
11
2016
a
a
r
a
r
,
1
2
3
1008
a
r
i
1
8
60
2016
a
r
,
1
2
3
1008
a
r
i
1
2
15
504
a
r
Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań otrzymujemy
1
567
a =
i
42
r = -
Rozwiązanie II etapu
Ciąg (
)
n
a
jest więc opisany wzorem ogólnym
(
)
567
(
1)
42
609
42
na
n
n
⋅-
dla
1
≥
n
Wyznaczmy numery wszystkich dodatnich wyrazów ciągu.
0
na >
,
609
42
0
n

\n
\n

,
609
1
14
42
2
n <
Ponieważ
42
0
r = -
<
, więc ciąg (
)
n
a
jest malejący. Wynika stąd, że najmniejszym dodatnim
wyrazem ciągu jest
14
609
42 14
21
a
⋅
Uwaga:
Najmniejszy dodatni wyraz ciągu (
)
n
a
możemy też wyznaczyć w inny sposób. Ponieważ
42
0
r = -
<
, więc ciąg (
)
n
a
jest malejący. Zauważmy, że jednym z wyrazów ciągu (
)
n
a
jest
567 14 42
21
⋅
, a następnym 21
42
21
0
<
. Stąd wynika, że najmniejszy dodatni wyraz
ciągu to 21.
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający zastosuje
• wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisze jedno
z równań wynikających z treści zadania:
1
4 4
2016
2
a
a
⋅
,
1
4
6
2016
a
r
,
5
12 8
2016
2
a
a
⋅=
,
1
8
60
2016
a
r
,
1
12 12
4032
2
a
a
⋅
albo
• wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i wyznaczy jeden z wyrazów
na dla
1
n >
w zależności od
1a i r, np.
2
1
a
a
r
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Uwaga
Jeżeli zdający zapisze, że
12
4032
S
, to otrzymuje 1 punkt.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze dwa równania wynikające z podanych sum wyrazów ciągu i wyznaczy jeden
z wyrazów
na dla
1
n > w zależności od
1a i r, np.:
1
4 4
2016
2
a
a
⋅
i
5
12 8
2016
2
a
a
⋅=
i
4
1
3
a
a
r
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający zapisze układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi pozwalający obliczyć
pierwszy wyraz i różnicę ciągu (
)
n
a
, np.:
1
1
3
4
2016
2
a
a
r
⋅
i
1
1
4
11
8
2016
2
a
r
a
r
⋅=
Rozwiązanie prawie pełne 4 p.
Zdający
• obliczy pierwszy wyraz i różnicę ciągu (
)
n
a
:
1
567
a =
,
42
r = -
albo
• obliczy pierwszy wyraz, różnicę i najmniejszy dodatni wyraz ciągu (
)
n
a
, popełniając
po drodze błędy rachunkowe.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Zdający obliczy pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (
)
n
a
:
1
567
a =
,
42
r = -
,
14
21
a
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie zinterpretuje treść zadania przyjmując, że
\n

5
6
12
a
a
a
jest sumą
12 początkowych wyrazów ciągu, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający zauważy, że
\n

5
6
12
a
a
a
jest sumą 8 wyrazów ciągu, ale zapisze
błędnie, że jest ona równa
(
)
1
2
8 1
2
8
a
r
⋅, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej
3 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze, że
\n

5
6
12
a
a
a
jest sumą 7 wyrazów ciągu i konsekwentnie
zapisze tę sumę w postaci
(
)
5
2
7 1
2
7
a
r
⋅, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej
3 punkty.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$a_1 = 567$, $r = -42$, najmniejszy dodatni wyraz to $21$

"}]}