Zadanie 32. (0-4)
Dany jest stożek o objętości 8π , w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest
równy 3:8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.
Odpowiedź:
MMA_1P
Dany jest stożek o objętości 8π, w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy 3:8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.
Zadanie 32. (0-4)
Dany jest stożek o objętości 8π , w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest
równy 3:8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.
Rozwiązanie
Niech r, h i l oznaczają odpowiednio promień podstawy, wysokość i tworzącą danego stożka.
Objętość stożka jest równa
2
1 π
3
V
r h
Stąd
2
1
8π
π
3 r h
,
2
24
r h =
Z treści zadania wynika, że
3
8
h
r =
, skąd
3
8
h
r
Otrzymujemy równanie
2 3
24
8
r
r
⋅
,
3
64
r =
,
4
r =
Zatem
3
3
8
2
4
h =
⋅
l
r
h
A
B
S
O
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BSO otrzymujemy
2
2
2
r
h
l
,
( )
2
2
2
2
73
3
73
2
4
2
4
l
r
h
Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe
73
π
π 4
2 73 π
2
bP
rl
⋅⋅
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający zapisze zależność między wysokością i promieniem podstawy stożka
• wynikającą z podanego stosunku, np.:
3
8
h
r =
albo
• wynikającą z podanej objętości:
2
24
r h =
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:
2 3
24
8
r
r
⋅
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający obliczy promień podstawy lub wysokość stożka:
4
r =
,
3
2
h =
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy pole powierzchni bocznej danego stożka:
2 73 π
bP =
$2\\sqrt{73}\\pi$
"}]}