{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"10","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-3)\nDany jest ciąg (\n)\nn\na\nokreślony dla każdej liczby całkowitej\n1\n≥\nn\n, w którym\n4\n4\na =\noraz dla\nkażdej liczby\n1\n≥\nn\nprawdziwa jest równość\n4\n1\nn\na\na\nn\nn\n. Oblicz pierwszy wyraz ciągu\n(\n)\nn\na\ni ustal, czy ciąg ten jest malejący.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nDany jest ciąg (a_n) określony dla każdej liczby całkowitej n≥1 , w którym a_4=4 oraz dla każdej liczby n≥1 prawdziwa jest równość a_{n+1} = a_n + n - 4. Oblicz pierwszy wyraz ciągu (a_n) i ustal, czy ciąg ten jest malejący.","answer":null,"answer_text":"10 11 12 13 14 15 16 17\n-10\n-9\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\ny\n0\n(\n)\n5\n11\n4\n7\ny\nx\n11\n5\n6\n0\nx\ny\nA\nB\nC\nS\n19\n2\n90\n0\nx\ny\nNiech\n(\n)\n1\n2\n,\nC\nc c\n. Punkt C leży na prostej BC, która jest prostopadła do w prostej o równaniu\n2\n19\n52\n0\nx\ny\n(zawierającej wysokość opuszczoną z wierzchołka A tego trójkąta). Prosta\nBC jest prostopadła do prostej o równaniu 2\n19\n52\n0\nx\ny\n, więc wektor BC\n\nma\nwspółrzędne\n[\n]\n2,19\nBC\nk\n⋅\n\noraz\n[\n]\n1\n2\n4,\n7\nBC\nc\nc\n\nZatem\n[\n]\n[\n]\n1\n2\n4,\n7\n2,19\nc\nc\nk\n⋅\n,\n1\n2\n4\n2,\n7\n19\nc\nk\nc\nk\n⋅\n⋅\n,\n1\n2\n2\n4,\n19\n7\nc\nk\nc\nk\nPunkt C ma współrzędne\n(\n)\n2\n4,19\n7\nC\nk\nk\nNiech S będzie środkiem odcinka AB. Ze wzorów na współrzędne środka odcinka\notrzymujemy\n7\n4\n2\n7\n3\n9\n,\n,\n,\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nA\nB\nA\nB\nx\nx\ny\ny\nS\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nProsta AB ma równanie postaci\n(\n)\n(\n) (\n)\n7\n2\n4\n7\n4\n7\ny\nx\n, czyli\n(\n)\n5\n4\n7\n11\ny\nx\nSymetralna odcinka AB jest prostopadła do prostej o równaniu\n(\n)\n5\n4\n7\n11\ny\nx\ni przechodzi przez punkt S, zatem ma postać\n11\n3\n9\n5\n2\n2\ny\nx\n\n\n\n\n\n\n,\n11\n6\n5\n5\ny\nx\nZatem\n(\n)\n11\n6\n19\n7\n2\n4\n5\n5\nk\nk\n,\n(\n)\n95\n35\n11 2\n4\n6\nk\nk\n,\n95\n22\n35\n44\n6\n35\nk\nk\n,\n73\n73\nk =\n,\n1\nk = .\nUwaga:\nObliczenia, gdy prosta SC ma postać 11\n5\n6\n0\nx\ny\n(\n)\n(\n)","solution":"$a_1 = 10$, ciąg nie jest malejący","image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (0-3)
Dany jest ciąg (
)
n
a
określony dla każdej liczby całkowitej
1
≥
n
, w którym
4
4
a =
oraz dla
każdej liczby
1
≥
n
prawdziwa jest równość
4
1
n
a
a
n
n
. Oblicz pierwszy wyraz ciągu
(
)
n
a
i ustal, czy ciąg ten jest malejący.

\n

MMA_1R
Odpowiedź:

\n

MMA_1R
Dany jest ciąg (a_n) określony dla każdej liczby całkowitej n≥1 , w którym a_4=4 oraz dla każdej liczby n≥1 prawdziwa jest równość a_{n+1} = a_n + n - 4. Oblicz pierwszy wyraz ciągu (a_n) i ustal, czy ciąg ten jest malejący.

","answer_text_html":"

10 11 12 13 14 15 16 17
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
y
0
(
)
5
11
4
7
y
x
11
5
6
0
x
y
A
B
C
S
19
2
90
0
x
y
Niech
(
)
1
2
,
C
c c
. Punkt C leży na prostej BC, która jest prostopadła do w prostej o równaniu
2
19
52
0
x
y
(zawierającej wysokość opuszczoną z wierzchołka A tego trójkąta). Prosta
BC jest prostopadła do prostej o równaniu 2
19
52
0
x
y
, więc wektor BC

ma
współrzędne
[
]
2,19
BC
k
⋅

oraz
[
]
1
2
4,
7
BC
c
c

Zatem
[
]
[
]
1
2
4,
7
2,19
c
c
k
⋅
,
1
2
4
2,
7
19
c
k
c
k
⋅
⋅
,
1
2
2
4,
19
7
c
k
c
k
Punkt C ma współrzędne
(
)
2
4,19
7
C
k
k
Niech S będzie środkiem odcinka AB. Ze wzorów na współrzędne środka odcinka
otrzymujemy
7
4
2
7
3
9
,
,
,
2
2
2
2
2
2
A
B
A
B
x
x
y
y
S


















Prosta AB ma równanie postaci
(
)
(
) (
)
7
2
4
7
4
7
y
x
, czyli
(
)
5
4
7
11
y
x
Symetralna odcinka AB jest prostopadła do prostej o równaniu
(
)
5
4
7
11
y
x
i przechodzi przez punkt S, zatem ma postać
11
3
9
5
2
2
y
x






,
11
6
5
5
y
x
Zatem
(
)
11
6
19
7
2
4
5
5
k
k
,
(
)
95
35
11 2
4
6
k
k
,
95
22
35
44
6
35
k
k
,
73
73
k =
,
1
k = .
Uwaga:
Obliczenia, gdy prosta SC ma postać 11
5
6
0
x
y
(
)
(
)

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$a_1 = 10$, ciąg nie jest malejący

"}]}