{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"11","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-3)\nDany jest sześcian ABCDEFGH. Przez wierzchołki A i C oraz środek K krawędzi BF\npoprowadzono płaszczyznę, która przecina przekątną BH w punkcie P (zobacz rysunek).\nWykaż, że\n:\n1:3\nBP\nHP =\nP\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nG\nH\nK\n\nMMA_1R\nDany jest sześcian ABCDEFGH. Przez wierzchołki A i C oraz środek K krawędzi BF poprowadzono płaszczyznę, która przecina przekątną BH w punkcie P (zobacz rysunek).","answer":null,"answer_text":"11 2\n4\n5 19\n7\n6\n0\nk\nk\n,\n22\n44\n95\n35\n6\n0\nk\nk\n,\n73\n73\nk =\n,\n1\nk = .\nStąd punkt C ma współrzędne\n(\n)\n(\n)\n2 1\n4,19 1 7\n6,12\nC =\n⋅+\n⋅-\nSchemat punktowania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający zapisze:\n• prosta BC jest prostopadła do prostej o równaniu 2\n19\n52\n0\nx\ny\n, więc wektor BC\n\nma współrzędne\n[\n]\n2,19\nBC\nk\n⋅\n\nalbo\n• współrzędne punktu C , np.:\n(\n)\n1\n2\n,\nC\nc c\noraz współrzędne wektora BC\n\nw postaci, np.\n[\n]\n1\n2\n4,\n7\nBC\nc\nc\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający wyznaczy współrzędne punktu C w zależności od parametru k,\nnp.\n(\n)\n2\n4,19\n7\nC\nk\nk\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 4 p.\nZdający wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB: 11\n5\n6\n0\nx\ny\ni wstawi współrzędne\npunktu\n(\n)\n2\n4,19\n7\nC\nk\nk\ndo tego równania.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy współrzędne wierzchołka C: (\n)\n6,12\nUwaga:\nZdający może przeprowadzić następujące rozważania.\nPunkt C leży na prostej BC, która jest prostopadła do w prostej o równaniu 2\n19\n52\n0\nx\ny\n(wysokości opuszczonej z wierzchołka A tego trójkąta).\nPunkt C ma współrzędne\n(\n)\n1\n2\n,\nC\nc c\nProsta BC jest prostopadła do prostej o równaniu 2\n19\n52\n0\nx\ny\n, więc wektor BC\n\nmoże\nmieć współrzędne\n[\n]\n2,19\nBC =\n\noraz\n[\n]\n1\n2\n4,\n7\nBC\nc\nc\n\nZatem\n[\n] [\n]\n1\n2\n4,\n7\n2,19\nc\nc\n,\n1\n2\n4\n2,\n7\n19\nc\nc\n,\n1\n2\n6,\n12\nc\nc\nPunkt C może mieć współrzędne\n(\n)\n6,12\nC =\nNastępnie należy sprawdzić jeden z warunków :\na) czy zachodzi równość AC\nBC\n,\nb) czy punkt\n(\n)\n6,12\nC =\nleży na symetralnej podstawy AB.\nSprawdzenie warunku AC\nBC\nObliczamy\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n6\n7\n12\n2\n13\n14\n169\n196\n365\nAC =\noraz\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n6\n4\n12\n7\n2\n19\n4\n361\n365\nBC =\nStąd AC\nBC\ni punkt\n(\n)\n6,12\nC =\n-14 -13 -12 -11 -10 -9\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10 11 12 13 14 15 16 17\n-10\n-9\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\ny\n0\n(\n)\n5\n11\n4\n7\ny\nx\n11\n5\n6\n0\nx\ny\nA\nB\nC\nS\n19\n2\n90\n0\nx\ny\nSprawdzenie czy punkt\n(\n)\n6,12\nC =\nleży na symetralnej podstawy AB.\nWyznaczamy równanie symetralnej SC.\nNiech S będzie środkiem odcinka AB. Ze wzorów na współrzędne środka odcinka\notrzymujemy\n7\n4\n2\n7\n3\n9\n,\n,\n,\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nA\nB\nA\nB\nx\nx\ny\ny\nS\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nProsta AB ma równanie postaci\n(\n)\n(\n) (\n)\n7\n2\n4\n7\n4\n7\ny\nx\n, czyli\n(\n)\n5\n4\n7\n11\ny\nx\nSymetralna odcinka AB jest prostopadła do tej i przechodzi przez punkt S, zatem ma postać\n11\n3\n9\n5\n2\n2\ny\nx\n\n\n\n\n\n\n,\n11\n6\n5\n5\ny\nx\nlub 11\n5\n6\n0\nx\ny\nSprawdzamy, czy współrzędne punktu\n(\n)\n6,12\nC =\nspełniają równanie symetralnej:\n11\n6\n66\n6\n6\n12\n5\n5\n5\ny\n⋅-\n. Zatem wierzchołek C ma współrzędne: (\n)\n6,12 .\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający tylko poda współrzędne punktu\n(\n)\n6,12\nC =\n, to może otrzymać co najwyżej\n1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający poda współrzędne punktu\n(\n)\n6,12\nC =\ni konsekwentnie sprawdzi czy\nzachodzi równość AC\nBC\n, to może otrzymać 5 punktów za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający poda współrzędne punktu\n(\n)\n6,12\nC =\n, wyznaczy równanie symetralnej\npodstawy AB i konsekwentnie sprawdzi, czy punkt C leży na tej symetralnej, to może\notrzymać 5 punktów za całe rozwiązanie.\nZadanie 17. (0-7)\nRozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe 2π . Oblicz\npromień podstawy tego walca, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.\nRozwiązanie\nNiech r oraz h oznaczają, odpowiednio, promień i wysokość walca (\n0\nr >\ni\n0\nh >\n). Ponieważ\npole P powierzchni całkowitej tego walca jest określone wzorem\n2\n2π\n2π\nP\nr\nrh\n, więc\notrzymujemy równanie\n2\n2π\n2π\n2π\nr\nrh\n, które jest równoważne równaniu\n2\n1\nr\nrh\n. Z tego\nrównania wyznaczamy wysokość walca,\n2\n1\nr\nh\nr\n. Zauważamy, że nierówność\n0\nh >\njest\nrównoważna nierówności 0\n1\nr\n<\n< . Objętość walca równą\n2\nπ\nV\nr h\nzapisujemy jako\nfunkcję zmiennej r :\n( )\n2\n2\n3\n1\nπ\nπ\nπ\nr\nV\nr\nr\nr\nr\nr\n⋅\n, gdzie 0\n1\nr\n<\n< .\nPochodna tej funkcji jest określona wzorem\n( )\n(\n)\n2\nπ 1 3\nV\nr\nr\ndla 0\n1\nr\n<\n< . Dla\n3\n3\nr =\npochodna funkcji przyjmuje wartość zero. Ponadto, dla\n3\n0\n3\nr\n<\n<\npochodna funkcji\nprzyjmuje wartości dodatnie, zaś dla\n3\n1\n3\nr\n< < wartości dodatnie. Oznacza to, że w punkcie\n3\n3\nr =\nobjętość V tego walca osiąga maksimum lokalne. To maksimum lokalne jest\njednocześnie największą wartością funkcji\n( )\n3\nπ\nπ\nV r\nr\nr\nw przedziale (\n)\n0, 1 , ponieważ dla\n3\n0\n3\nr\n<\n≤\nfunkcja V jest rosnąca, a dla 3\n1\n3\nr\n≤< jest malejąca.\nZatem, przy danym polu powierzchni całkowitej, największą objętość ma walec, którego\npromień podstawy równa się\n3\n3\nr =\n. Jeżeli\n3\n3\nr =\n, to\n2 3\n3\nh =\n. Największa objętość tego\nwalca jest więc równa\n2 3 π\n9\nV =\nSchemat punktowania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\na) Pierwszy etap składa się z trzech części:\n• zapisanie równania\n2\n2π\n2π\n2π\nr\nrh\n,\n• zapisanie objętości danego walca jako funkcji jednej zmiennej, np.\n( )\n2\n2\n3\n1\nπ\nπ\nπ\nr\nV\nr\nr\nr\nr\nr\n⋅\n,\n• zapisanie, że dziedziną funkcji ( )\nV r jest przedział (\n)\n0,1 .\nZa zapisanie poprawnego równania w pierwszej części tego etapu zdający otrzymuje\n1 punkt. Za poprawne zapisanie objętości rozważanego walca w drugiej części tego etapu\nzdający otrzymuje 1 punkt, o ile pierwsza część etapu została zrealizowana bezbłędnie. Punkt\nza trzecią część zdający otrzymuje niezależnie od realizacji dwóch pierwszych części.\nb) Drugi etap składa się z trzech części:\n• zapisanie wzoru pochodnej funkcji ( )\nV r , np.:\n( )\n(\n)\n2\nπ 1\n3\nV\nr\nr\n,\n• zapisanie, że w przedziale (\n)\n0, 1 pochodna funkcji V ma jedno miejsce zerowe\n3\n3\nr =\n,\n• zapisanie, że funkcja\n( )\nV r osiąga w punkcie\n3\n3\nr =\nmaksimum lokalne\ni uzasadnienie, że to maksimum lokalne jest jednocześnie największą wartością tej\nfunkcji.\nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile\npoprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie.\nc) Trzeci etap:\n1 punkt zdający otrzyma za zapisanie, że dla\n3\n3\nr =\nwalec ma największą objętość równą\n2 3 π\n9\nV =\nUwaga:\nPunkty za realizację danego etapu przyznajemy tylko wówczas, gdy zdający rozwiązał\npoprawnie poprzedni etap zadania.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (0-3)
Dany jest sześcian ABCDEFGH. Przez wierzchołki A i C oraz środek K krawędzi BF
poprowadzono płaszczyznę, która przecina przekątną BH w punkcie P (zobacz rysunek).
Wykaż, że
:
1:3
BP
HP =
P
A
B
C
D
E
F
G
H
K

\n

MMA_1R
Dany jest sześcian ABCDEFGH. Przez wierzchołki A i C oraz środek K krawędzi BF poprowadzono płaszczyznę, która przecina przekątną BH w punkcie P (zobacz rysunek).

","answer_text_html":"

11 2
4
5 19
7
6
0
k
k
,
22
44
95
35
6
0
k
k
,
73
73
k =
,
1
k = .
Stąd punkt C ma współrzędne
(
)
(
)
2 1
4,19 1 7
6,12
C =
⋅+
⋅-
Schemat punktowania III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający zapisze:
• prosta BC jest prostopadła do prostej o równaniu 2
19
52
0
x
y
, więc wektor BC

ma współrzędne
[
]
2,19
BC
k
⋅

albo
• współrzędne punktu C , np.:
(
)
1
2
,
C
c c
oraz współrzędne wektora BC

w postaci, np.
[
]
1
2
4,
7
BC
c
c

Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający wyznaczy współrzędne punktu C w zależności od parametru k,
np.
(
)
2
4,19
7
C
k
k
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 p.
Zdający wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB: 11
5
6
0
x
y
i wstawi współrzędne
punktu
(
)
2
4,19
7
C
k
k
do tego równania.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Zdający obliczy współrzędne wierzchołka C: (
)
6,12
Uwaga:
Zdający może przeprowadzić następujące rozważania.
Punkt C leży na prostej BC, która jest prostopadła do w prostej o równaniu 2
19
52
0
x
y
(wysokości opuszczonej z wierzchołka A tego trójkąta).
Punkt C ma współrzędne
(
)
1
2
,
C
c c
Prosta BC jest prostopadła do prostej o równaniu 2
19
52
0
x
y
, więc wektor BC

może
mieć współrzędne
[
]
2,19
BC =

oraz
[
]
1
2
4,
7
BC
c
c

Zatem
[
] [
]
1
2
4,
7
2,19
c
c
,
1
2
4
2,
7
19
c
c
,
1
2
6,
12
c
c
Punkt C może mieć współrzędne
(
)
6,12
C =
Następnie należy sprawdzić jeden z warunków :
a) czy zachodzi równość AC
BC
,
b) czy punkt
(
)
6,12
C =
leży na symetralnej podstawy AB.
Sprawdzenie warunku AC
BC
Obliczamy
(
)
(
)
2
2
2
2
6
7
12
2
13
14
169
196
365
AC =
oraz
(
)
(
)
2
2
2
2
6
4
12
7
2
19
4
361
365
BC =
Stąd AC
BC
i punkt
(
)
6,12
C =
-14 -13 -12 -11 -10 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
y
0
(
)
5
11
4
7
y
x
11
5
6
0
x
y
A
B
C
S
19
2
90
0
x
y
Sprawdzenie czy punkt
(
)
6,12
C =
leży na symetralnej podstawy AB.
Wyznaczamy równanie symetralnej SC.
Niech S będzie środkiem odcinka AB. Ze wzorów na współrzędne środka odcinka
otrzymujemy
7
4
2
7
3
9
,
,
,
2
2
2
2
2
2
A
B
A
B
x
x
y
y
S


















Prosta AB ma równanie postaci
(
)
(
) (
)
7
2
4
7
4
7
y
x
, czyli
(
)
5
4
7
11
y
x
Symetralna odcinka AB jest prostopadła do tej i przechodzi przez punkt S, zatem ma postać
11
3
9
5
2
2
y
x






,
11
6
5
5
y
x
lub 11
5
6
0
x
y
Sprawdzamy, czy współrzędne punktu
(
)
6,12
C =
spełniają równanie symetralnej:
11
6
66
6
6
12
5
5
5
y
⋅-
. Zatem wierzchołek C ma współrzędne: (
)
6,12 .
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający tylko poda współrzędne punktu
\n

(
)
6,12
C =
, to może otrzymać co najwyżej
1 punkt za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający poda współrzędne punktu
\n

(
)
6,12
C =
i konsekwentnie sprawdzi czy
zachodzi równość AC
BC
, to może otrzymać 5 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający poda współrzędne punktu
\n

(
)
6,12
C =
, wyznaczy równanie symetralnej
podstawy AB i konsekwentnie sprawdzi, czy punkt C leży na tej symetralnej, to może
otrzymać 5 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 17. (0-7)
Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe 2π . Oblicz
promień podstawy tego walca, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.
Rozwiązanie
Niech r oraz h oznaczają, odpowiednio, promień i wysokość walca (
0
r >
i
0
h >
). Ponieważ
pole P powierzchni całkowitej tego walca jest określone wzorem
2
2π
2π
P
r
rh
, więc
otrzymujemy równanie
2
2π
2π
2π
r
rh
, które jest równoważne równaniu
2
1
r
rh
. Z tego
równania wyznaczamy wysokość walca,
2
1
r
h
r
. Zauważamy, że nierówność
0
h >
jest
równoważna nierówności 0
1
r
<
< . Objętość walca równą
2
π
V
r h
zapisujemy jako
funkcję zmiennej r :
( )
2
2
3
1
π
π
π
r
V
r
r
r
r
r
⋅
, gdzie 0
1
r
<
< .
Pochodna tej funkcji jest określona wzorem
( )
(
)
2
π 1 3
V
r
r
dla 0
1
r
<
< . Dla
3
3
r =
pochodna funkcji przyjmuje wartość zero. Ponadto, dla
3
0
3
r
<
<
pochodna funkcji
przyjmuje wartości dodatnie, zaś dla
3
1
3
r
< < wartości dodatnie. Oznacza to, że w punkcie
3
3
r =
objętość V tego walca osiąga maksimum lokalne. To maksimum lokalne jest
jednocześnie największą wartością funkcji
( )
3
π
π
V r
r
r
w przedziale (
)
0, 1 , ponieważ dla
3
0
3
r
<
≤
funkcja V jest rosnąca, a dla 3
1
3
r
≤< jest malejąca.
Zatem, przy danym polu powierzchni całkowitej, największą objętość ma walec, którego
promień podstawy równa się
3
3
r =
. Jeżeli
3
3
r =
, to
2 3
3
h =
. Największa objętość tego
walca jest więc równa
2 3 π
9
V =
Schemat punktowania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
a) Pierwszy etap składa się z trzech części:
• zapisanie równania
2
2π
2π
2π
r
rh
,
• zapisanie objętości danego walca jako funkcji jednej zmiennej, np.
( )
2
2
3
1
π
π
π
r
V
r
r
r
r
r
⋅
,
• zapisanie, że dziedziną funkcji ( )
V r jest przedział (
)
0,1 .
Za zapisanie poprawnego równania w pierwszej części tego etapu zdający otrzymuje
1 punkt. Za poprawne zapisanie objętości rozważanego walca w drugiej części tego etapu
zdający otrzymuje 1 punkt, o ile pierwsza część etapu została zrealizowana bezbłędnie. Punkt
za trzecią część zdający otrzymuje niezależnie od realizacji dwóch pierwszych części.
b) Drugi etap składa się z trzech części:
• zapisanie wzoru pochodnej funkcji ( )
V r , np.:
( )
(
)
2
π 1
3
V
r
r
,
• zapisanie, że w przedziale (
)
0, 1 pochodna funkcji V ma jedno miejsce zerowe
3
3
r =
,
• zapisanie, że funkcja
( )
V r osiąga w punkcie
3
3
r =
maksimum lokalne
i uzasadnienie, że to maksimum lokalne jest jednocześnie największą wartością tej
funkcji.
Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile
poprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie.
c) Trzeci etap:
1 punkt zdający otrzyma za zapisanie, że dla
3
3
r =
walec ma największą objętość równą
2 3 π
9
V =
Uwaga:
Punkty za realizację danego etapu przyznajemy tylko wówczas, gdy zdający rozwiązał
poprawnie poprzedni etap zadania.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-11.svg"}]}