{"id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nWartość wyrażenia\n2\n2\nsin 75\ncos 75\n°-\n° jest równa\nA.\n1\n2\nB.\n1\n2\nC.\n3\n2\nD.\n3\n2\nWartość wyrażenia sin^2 75° - cos^2 75° jest równa A.-{1\\o2}, B. 1/2, C.-√3/2, D. √3/2.","answer":"D","answer_text":"2 ≥\nx\nZ\ngeometrycznej\ninterpretacji\nwartości\nbezwzględnej,\notrzymujemy\n(\n)\n,1\n3,\nx∈-∞\n∪\n+∞.\nII sposób rozwiązania\nNaszkicujmy w układzie współrzędnych wykresy funkcji\n2\n3\n2\nx\nx\ny\noraz\n1\n= x\ny\n1\n2\n3\n-1\n1\nx\ny\n0\nRozważmy nierówność kolejno w przedziałach (\n)1\n,\n∞\n,\n)\n2\n,1\noraz\n)\n∞\n,2\nGdy\n(\n)1\n,\n∞\n∈\nx\n, to wtedy\n2\n3\n2\n3\n2\n2\nx\nx\nx\nx\noraz\n(\n)1\n1\nx\nx\n, a nierówność\nprzyjmuje postać\n1\n2\n3\n2\n≥\nx\nx\nx\n,\n0\n1\n2\n2\n≥\n-x\nx\n,\n(\n)\n0\n1\n2 ≥\nx\nNierówność ta jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x, zatem każda liczba\n(\n)1\n,\n∞\n∈\nx\njest rozwiązaniem nierówności.\nGdy\n)\n2\n,1\n∈\nx\n, to wtedy\n(\n)\n2\n3\n2\n3\n2\n2\nx\nx\nx\nx\noraz\n1\n1\nx\nx\n, a nierówność\nprzyjmuje postać\n1\n2\n3\n2\n≥\nx\nx\nx\n,\n2\n2\n1\n0\nx\nx\n+ ≤\n,\n(\n)\n2\n1\n0\nx -\n≤\nNierówność ta jest prawdziwa tylko dla\n1\nx\n. Zatem w przedziale\n)\n2\n,1\ntylko liczba\n1\nx\njest rozwiązaniem nierówności.\nGdy\n)\n∞\n∈\n,2\nx\n, to wtedy\n2\n3\n2\n3\n2\n2\nx\nx\nx\nx\noraz\n1\n1\nx\nx\n, a nierówność\nprzyjmuje postać\n1\n2\n3\n2\n≥\nx\nx\nx\n,\n0\n3\n4\n2\n≥\n-x\nx\n,\n(\n)(\n)\n0\n3\n1\n≥\nx\nx\n,\n1\n2\n3\n-1\n1\nx\ny\n0\n(\n)\n∞\n∪\n∞\n∈\n,3\n1\n,\nx\nZatem w przedziale\n)\n∞\n,2\nrozwiązaniem nierówności jest każda liczba\n)\n3,\nx∈\n+∞.\nW rezultacie rozwiązaniem nierówności\n1\n2\n3\n2\n≥\nx\nx\nx\njest każda liczba\n(\n)\n,1\n3,\nx∈-∞\n∪\n+∞.\nSchemat punktowania I i II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do całkowitego\nrozwiązania zadania 1 p.\ngdy\n• zapisze, że\n2\n3\n2\n1\n2\n⋅\nx\nx\nx\nx\nalbo\n• zapisze, że nierówność należy rozważyć w każdym z przedziałów (\n)1\n,\n∞\n,\n)\n2\n,1\n,\n)\n∞\n,2\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\ngdy\n• zapisze nierówność w postaci iloczynowej:\n(\n)\n0\n1\n2\n1\n≥\n⋅\nx\nx\nalbo\n• zapisze poprawnie nierówność w każdym z przedziałów: (\n)1\n,\n∞\n,\n)\n2\n,1\n,\n)\n∞\n,2\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\ngdy\n• zapisze, że nierówność\n1\n2\n3\n2\n≥\nx\nx\nx\njest równoważna nierówności\n1\n2 ≥\nx\nalbo\n• zapisze poprawnie nierówność w każdym z przedziałów (\n)1\n,\n∞\n,\n)\n2\n,1\n,\n)\n∞\n,2\ni rozwiąże poprawnie tę nierówność w jednym lub dwóch spośród ww. przedziałów.\nRozwiązanie pełne 4 p.\ngdy zapisze rozwiązanie nierówności, np.:\n(\n)\n∞\n∪\n∞\n∈\n,3\n1\n,\nx\nUwagi:","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"trygonometria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2. (0-1)
Wartość wyrażenia
2
2
sin 75
cos 75
°-
° jest równa
A.
1
2
B.
1
2
C.
3
2
D.
3
2
Wartość wyrażenia sin^2 75° - cos^2 75° jest równa A.-{1\\o2}, B. 1/2, C.-√3/2, D. √3/2.

","answer_text_html":"

2 ≥
x
Z
geometrycznej
interpretacji
wartości
bezwzględnej,
otrzymujemy
(
)
,1
3,
x∈-∞
∪
+∞.
II sposób rozwiązania
Naszkicujmy w układzie współrzędnych wykresy funkcji
2
3
2
x
x
y
oraz
1
= x
y
1
2
3
-1
1
x
y
0
Rozważmy nierówność kolejno w przedziałach (
)1
,
∞
,
)
2
,1
oraz
)
∞
,2
Gdy
(
)1
,
∞
∈
x
, to wtedy
2
3
2
3
2
2
x
x
x
x
oraz
(
)1
1
x
x
, a nierówność
przyjmuje postać
1
2
3
2
≥
x
x
x
,
0
1
2
2
≥
-x
x
,
(
)
0
1
2 ≥
x
Nierówność ta jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x, zatem każda liczba
(
)1
,
∞
∈
x
jest rozwiązaniem nierówności.
Gdy
)
2
,1
∈
x
, to wtedy
(
)
2
3
2
3
2
2
x
x
x
x
oraz
1
1
x
x
, a nierówność
przyjmuje postać
1
2
3
2
≥
x
x
x
,
2
2
1
0
x
x

\n\n

,
(
)
2
1
0
x -
≤
Nierówność ta jest prawdziwa tylko dla
1
x
. Zatem w przedziale
)
2
,1
tylko liczba
1
x
jest rozwiązaniem nierówności.
Gdy
)
∞
∈
,2
x
, to wtedy
2
3
2
3
2
2
x
x
x
x
oraz
1
1
x
x
, a nierówność
przyjmuje postać
1
2
3
2
≥
x
x
x
,
0
3
4
2
≥
-x
x
,
(
)(
)
0
3
1
≥
x
x
,
1
2
3
-1
1
x
y
0
(
)
∞
∪
∞
∈
,3
1
,
x
Zatem w przedziale
)
∞
,2
rozwiązaniem nierówności jest każda liczba
)
3,
x∈
+∞.
W rezultacie rozwiązaniem nierówności
1
2
3
2
≥
x
x
x
jest każda liczba
(
)
,1
3,
x∈-∞
∪
+∞.
Schemat punktowania I i II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do całkowitego
rozwiązania zadania 1 p.
gdy
• zapisze, że
2
3
2
1
2
⋅
x
x
x
x
albo
• zapisze, że nierówność należy rozważyć w każdym z przedziałów (
)1
,
∞
,
)
2
,1
,
)
∞
,2
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
gdy
• zapisze nierówność w postaci iloczynowej:
(
)
0
1
2
1
≥
⋅
x
x
albo
• zapisze poprawnie nierówność w każdym z przedziałów: (
)1
,
∞
,
)
2
,1
,
)
∞
,2
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
gdy
• zapisze, że nierówność
1
2
3
2
≥
x
x
x
jest równoważna nierówności
1
2 ≥
x
albo
• zapisze poprawnie nierówność w każdym z przedziałów (
)1
,
∞
,
)
2
,1
,
)
∞
,2
i rozwiąże poprawnie tę nierówność w jednym lub dwóch spośród ww. przedziałów.
Rozwiązanie pełne 4 p.
gdy zapisze rozwiązanie nierówności, np.:
(
)
∞
∪
∞
∈
,3
1
,
x
Uwagi:

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-2.svg"}]}