{"id":"matematyka-2016-egzamin-gimnazjalny/zad/22","paper_id":"matematyka-2016-egzamin-gimnazjalny","number":"22","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-gimnazjalny","year":2016,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 22. (0-3)\nUczniowie klas trzecich pewnego gimnazjum pojechali na wycieczkę pociągiem.\nW każdym zajętym przez nich przedziale było ośmioro uczniów. Jeśli w każdym\nprzedziale byłoby sześcioro uczniów, to zajęliby oni o 3 przedziały więcej. Ilu uczniów\npojechało na tę wycieczkę? Zapisz obliczenia.\nRozwiązanie zadania 22. zapisz w wyznaczonym miejscu\nna karcie rozwiązań zadań.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 22. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\n1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń:\n7) stosuje obliczenia na liczbach wymiernych do\nrozwiązywania problemów w kontekście praktycznym\n[…].\n7. Równania. Uczeń:\n7) za pomocą równań lub układów równań opisuje\ni rozwiązuje zadania osadzone w kontekście\npraktycznym.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nx - liczba ośmioosobowych przedziałów zajętych przez uczniów\nx + 3 - liczba sześcioosobowych przedziałów, które zajęliby wszyscy uczniowie\n8x - liczba uczniów w przedziałach ośmioosobowych\n6(x + 3) - liczba uczniów w przedziałach sześcioosobowych\n8x = 6(x + 3)\nx = 9\nObliczamy, ilu uczniów pojechało na wycieczkę:\n9 · 8 = 72\nOdpowiedź: Na wycieczkę pojechało 72 uczniów.\nII sposób\nx - liczba uczniów, którzy pojechali na wycieczkę\n- liczba przedziałów ośmioosobowych zajętych przez uczniów\n- liczba przedziałów sześcioosobowych, które zajęliby wszyscy uczniowie\n+ 3 =\nx = 72\nOdpowiedź: Na wycieczkę pojechało 72 uczniów.\nIII sposób\nx - liczba przedziałów zajętych przez uczniów\ny - liczba uczniów\n8\nx\n6\nx\n8\nx\n6\nx\n(\n)\n8\n6\n3\nx\ny\nx\ny\n\n\n8\n6\n18\nx\ny\nx\ny\n\n\n\nOdpowiedź: Na wycieczkę pojechało 72 uczniów.\nIV sposób\nx - liczba uczniów\ny - liczba przedziałów zajętych przez uczniów\n8\n+ 3\n6\n\n\n\n\nx\ny\nx\ny\n8\n+ 3\n6\n8\n\n\n\n\nx\ny\nx\nx\n= 3\n24\nx\nx = 72\nOdpowiedź: Na wycieczkę pojechało 72 uczniów.\nV sposób\nObliczamy, ilu uczniów byłoby w trzech sześcioosobowych przedziałach:\n3 · 6 = 18\nObliczamy, ile przedziałów sześcioosobowych można byłoby dopełnić tymi uczniami, aby\nw każdym było ośmioro uczniów:\n18 : 2 = 9\nObliczamy, ilu uczniów jest w dziewięciu ośmioosobowych przedziałach:\n9 · 8 = 72\nOdpowiedź: Na wycieczkę pojechało 72 uczniów.\n8\n6\n18\n8\nx\ny\nx\nx\n\n\n\n8\n9\nx\ny\nx\n\n=\n\n72\n9\ny\nx\n\n=\n\n8\n8\n8\n8\nPrzedziały ośmioosobowe zajęte przez uczniów\n6\n6\n6\n6\n6\n6\n6\nPrzedziały sześcioosobowe, które zajęliby wszyscy uczniowie.\nVI sposób (metoda prób i błędów)\nLiczba przedziałów ośmioosobowych\n2\n3\n5\n7\n9\n10\nLiczba uczniów w tych przedziałach\n16\n24\n40\n56\n72\n80\nLiczba przedziałów sześcioosobowych\n5\n6\n8\n10\n12\n13\nLiczba uczniów w tych przedziałach\n30\n36\n48\n60\n72\n78\nOdpowiedź: Na wycieczkę pojechało 72 uczniów.\nVII sposób\nLiczba uczniów musi być liczbą podzielną przez 6 i przez 8 (wspólne wielokrotności liczb 6 i 8):\n24, 48, 72, 96,\nSprawdzamy, która z tych liczb spełnia warunki zadania:\ndla 24 mamy: 24 : 6 = 4 i 24 : 8 = 3; różnica 4 - 3 = 1 nie spełnia warunków zadania\ndla 48 mamy: 48 : 6 = 8 i 48 : 8 = 6; różnica 8 - 6 = 2 nie spełnia warunków zadania\ndla 72 mamy: 72 : 6 = 12 i 72 : 8 = 9; różnica 12 - 9 = 3 spełnia warunki zadania\ndla 96 mamy: 96 : 6 = 16 i 96 : 8 = 12; różnica 16 - 12 = 4 nie spełnia warunków zadania\nOdpowiedź: Na wycieczkę pojechało 72 uczniów.\nPoziom wykonania\nP6 - 3 punkty - pełne rozwiązanie\nustalenie liczby uczniów, którzy pojechali na wycieczkę (72)\nP4 - 2 punkty - zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale rozwiązanie nie\nzostało dokończone lub dalsza część rozwiązania zawiera poważne błędy merytoryczne\nzapisanie równania z niewiadomą oznaczającą liczbę przedziałów ośmioosobowych lub\nsześcioosobowych (I sposób)\nLUB\nzapisanie równania z niewiadomą oznaczającą liczbę uczestników wycieczki (II sposób)\nLUB\nzapisanie poprawnego układu równań opisującego związki między wielkościami podanymi\nw zadaniu, również bez oznaczenia niewiadomych użytych w równaniach (III, IV sposób)\nLUB\npoprawny sposób obliczenia liczby przedziałów ośmioosobowych 18 : 2\nALBO poprawny sposób obliczenia liczby uczniów 3 ∙ 3 ∙ 8 lub 3 ∙ 4 ∙ 6 (V sposób)\nLUB\nsprawdzenie w co najmniej dwóch przypadkach, ilu uczniów (z uwzględnieniem liczby 72)\nmieści się w przedziałach odpowiednio ośmio- i sześcioosobowych, gdy liczba przedziałów\nsześcioosobowych jest o 3 większa od liczby przedziałów ośmioosobowych (VI sposób)\nLUB\nsprawdzenie, która spośród wspólnych wielokrotności liczb 6 i 8 spełnia warunki zadania\n(VII sposób)\nP2 - 1 punkt - dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały\npokonane\nopisanie wyrażeniami algebraicznymi związków między liczbą uczniów a liczbą zajętych\nprzedziałów sześcio i ośmioosobowych (I, II sposób)\nLUB\nzapisanie jednego z dwóch równań układu równań pierwszego stopnia (III, IV sposób)\nLUB\npoprawny sposób obliczenia liczby uczniów w trzech przedziałach sześcioosobowych, np. 3 ∙ 6,\n6 + 6 + 6\nALBO ustalenie, że uczniów z trzech przedziałów ośmioosobowych można umieścić w czterech\nprzedziałach sześcioosobowych (V sposób)\nLUB\nsprawdzenie w co najmniej dwóch przypadkach, ilu uczniów (bez uwzględnienia liczby 72)\nmieści się w przedziałach odpowiednio ośmio- i sześcioosobowych, gdy liczba przedziałów\nsześcioosobowych jest o 3 większa od liczby przedziałów ośmioosobowych (VI sposób)\nLUB\nsprawdzenie warunków zadania dla jednej wspólnej wielokrotności liczb 6 i 8, różnej od 72\nALBO zapisanie co najmniej dwóch wspólnych wielokrotności liczb 6 i 8 (VII sposób)\nP0 - 0 punktów - rozwiązanie niestanowiące postępu\nrozwiązanie błędne lub brak rozwiązania\nUwaga\nJeśli uczeń sprawdził warunki zadania tylko dla liczby 72, to przyznaje się 1 punkt.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-egzamin-gimnazjalny/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin gimnazjalny · 2016","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin gimnazjalny","text_html":"

Zadanie 22. (0-3)
Uczniowie klas trzecich pewnego gimnazjum pojechali na wycieczkę pociągiem.
W każdym zajętym przez nich przedziale było ośmioro uczniów. Jeśli w każdym
przedziale byłoby sześcioro uczniów, to zajęliby oni o 3 przedziały więcej. Ilu uczniów
pojechało na tę wycieczkę? Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie zadania 22. zapisz w wyznaczonym miejscu
na karcie rozwiązań zadań.

","answer_text_html":"

Zadanie 22. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.

\n
  1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń:
  2. stosuje obliczenia na liczbach wymiernych do
\n

rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym
[…].

\n
  1. Równania. Uczeń:
  2. za pomocą równań lub układów równań opisuje
\n

i rozwiązuje zadania osadzone w kontekście
praktycznym.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
x - liczba ośmioosobowych przedziałów zajętych przez uczniów
x + 3 - liczba sześcioosobowych przedziałów, które zajęliby wszyscy uczniowie
8x - liczba uczniów w przedziałach ośmioosobowych
6(x + 3) - liczba uczniów w przedziałach sześcioosobowych
8x = 6(x + 3)
x = 9
Obliczamy, ilu uczniów pojechało na wycieczkę:
9 · 8 = 72
Odpowiedź: Na wycieczkę pojechało 72 uczniów.
II sposób
x - liczba uczniów, którzy pojechali na wycieczkę

\n\n

x = 72
Odpowiedź: Na wycieczkę pojechało 72 uczniów.
III sposób
x - liczba przedziałów zajętych przez uczniów
y - liczba uczniów
8
x
6
x
8
x
6
x
(
)
8
6
3
x
y
x
y


8
6
18
x
y
x
y



Odpowiedź: Na wycieczkę pojechało 72 uczniów.
IV sposób
x - liczba uczniów
y - liczba przedziałów zajętych przez uczniów
8

\n\n

6




x
y
x
y
8

\n\n

6
8




x
y
x
x
= 3
24
x
x = 72
Odpowiedź: Na wycieczkę pojechało 72 uczniów.
V sposób
Obliczamy, ilu uczniów byłoby w trzech sześcioosobowych przedziałach:
3 · 6 = 18
Obliczamy, ile przedziałów sześcioosobowych można byłoby dopełnić tymi uczniami, aby
w każdym było ośmioro uczniów:
18 : 2 = 9
Obliczamy, ilu uczniów jest w dziewięciu ośmioosobowych przedziałach:
9 · 8 = 72
Odpowiedź: Na wycieczkę pojechało 72 uczniów.
8
6
18
8
x
y
x
x



8
9
x
y
x

=

72
9
y
x

=

8
8
8
8
Przedziały ośmioosobowe zajęte przez uczniów
6
6
6
6
6
6
6
Przedziały sześcioosobowe, które zajęliby wszyscy uczniowie.
VI sposób (metoda prób i błędów)
Liczba przedziałów ośmioosobowych
2
3
5
7
9
10
Liczba uczniów w tych przedziałach
16
24
40
56
72
80
Liczba przedziałów sześcioosobowych
5
6
8
10
12
13
Liczba uczniów w tych przedziałach
30
36
48
60
72
78
Odpowiedź: Na wycieczkę pojechało 72 uczniów.
VII sposób
Liczba uczniów musi być liczbą podzielną przez 6 i przez 8 (wspólne wielokrotności liczb 6 i 8):
24, 48, 72, 96,
Sprawdzamy, która z tych liczb spełnia warunki zadania:
dla 24 mamy: 24 : 6 = 4 i 24 : 8 = 3; różnica 4 - 3 = 1 nie spełnia warunków zadania
dla 48 mamy: 48 : 6 = 8 i 48 : 8 = 6; różnica 8 - 6 = 2 nie spełnia warunków zadania
dla 72 mamy: 72 : 6 = 12 i 72 : 8 = 9; różnica 12 - 9 = 3 spełnia warunki zadania
dla 96 mamy: 96 : 6 = 16 i 96 : 8 = 12; różnica 16 - 12 = 4 nie spełnia warunków zadania
Odpowiedź: Na wycieczkę pojechało 72 uczniów.
Poziom wykonania
P6 - 3 punkty - pełne rozwiązanie
ustalenie liczby uczniów, którzy pojechali na wycieczkę (72)
P4 - 2 punkty - zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale rozwiązanie nie
zostało dokończone lub dalsza część rozwiązania zawiera poważne błędy merytoryczne
zapisanie równania z niewiadomą oznaczającą liczbę przedziałów ośmioosobowych lub
sześcioosobowych (I sposób)
LUB
zapisanie równania z niewiadomą oznaczającą liczbę uczestników wycieczki (II sposób)
LUB
zapisanie poprawnego układu równań opisującego związki między wielkościami podanymi
w zadaniu, również bez oznaczenia niewiadomych użytych w równaniach (III, IV sposób)
LUB
poprawny sposób obliczenia liczby przedziałów ośmioosobowych 18 : 2
ALBO poprawny sposób obliczenia liczby uczniów 3 ∙ 3 ∙ 8 lub 3 ∙ 4 ∙ 6 (V sposób)
LUB
sprawdzenie w co najmniej dwóch przypadkach, ilu uczniów (z uwzględnieniem liczby 72)
mieści się w przedziałach odpowiednio ośmio- i sześcioosobowych, gdy liczba przedziałów
sześcioosobowych jest o 3 większa od liczby przedziałów ośmioosobowych (VI sposób)
LUB
sprawdzenie, która spośród wspólnych wielokrotności liczb 6 i 8 spełnia warunki zadania
(VII sposób)
P2 - 1 punkt - dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały
pokonane
opisanie wyrażeniami algebraicznymi związków między liczbą uczniów a liczbą zajętych
przedziałów sześcio i ośmioosobowych (I, II sposób)
LUB
zapisanie jednego z dwóch równań układu równań pierwszego stopnia (III, IV sposób)
LUB
poprawny sposób obliczenia liczby uczniów w trzech przedziałach sześcioosobowych, np. 3 ∙ 6,
6 + 6 + 6
ALBO ustalenie, że uczniów z trzech przedziałów ośmioosobowych można umieścić w czterech
przedziałach sześcioosobowych (V sposób)
LUB
sprawdzenie w co najmniej dwóch przypadkach, ilu uczniów (bez uwzględnienia liczby 72)
mieści się w przedziałach odpowiednio ośmio- i sześcioosobowych, gdy liczba przedziałów
sześcioosobowych jest o 3 większa od liczby przedziałów ośmioosobowych (VI sposób)
LUB
sprawdzenie warunków zadania dla jednej wspólnej wielokrotności liczb 6 i 8, różnej od 72
ALBO zapisanie co najmniej dwóch wspólnych wielokrotności liczb 6 i 8 (VII sposób)
P0 - 0 punktów - rozwiązanie niestanowiące postępu
rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania
Uwaga
Jeśli uczeń sprawdził warunki zadania tylko dla liczby 72, to przyznaje się 1 punkt.

","solutions":[]}