Zadanie 1. (0-1)
Dla każdej dodatniej liczby a iloraz
2,6
1,3
a
a
jest równy
A.
3,9
a-
B.
2
a-
C.
1,3
a-
D.
1,3
a
Dla każdej dodatniej liczby a iloraz a^{-2,6} / a^{1,3}} jest równy A. a^{-3,9}, B. a^{-2}, C. a^{-1,3}, D. a^{1,3}. Zadanie testowe z matury w 2016 r. na poziomie podstawowym.
Zadanie 1. (0-1)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
Poprawna
odp. (1 p.)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa
działań na potęgach o wykładnikach
wymiernych (1.4).
Wersja
I
Wersja
II
A
D
Mamy iloraz dwóch potęg o tej samej podstawie \\(a\\). Korzystamy ze wzoru:
\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]
Podstawiamy \\(r = -2{,}6\\) i \\(s = 1{,}3\\):
\\[\\frac{a^{-2{,}6}}{a^{1{,}3}} = a^{-2{,}6 - 1{,}3}\\]
Obliczamy wykładnik:
\\[-2{,}6 - 1{,}3 = -3{,}9\\]
Wynik: \\(a^{-3{,}9}\\)
\nDzielenie przez \\(a^{1{,}3}\\) to to samo co mnożenie przez \\(a^{-1{,}3}\\):
\\[\\frac{a^{-2{,}6}}{a^{1{,}3}} = a^{-2{,}6} \\cdot a^{-1{,}3}\\]
Teraz korzystamy ze wzoru na iloczyn potęg o tej samej podstawie:
\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]
\\[a^{-2{,}6} \\cdot a^{-1{,}3} = a^{-2{,}6 + (-1{,}3)} = a^{-3{,}9}\\]
Wynik taki sam: \\(a^{-3{,}9}\\) ✓
\nDział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - działania na potęgach:
\n\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]
\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]
\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]
Obu wzorów użyliśmy bezpośrednio - Sposób 1 korzysta z ilorazu, Sposób 2 z iloczynu. Oba prowadzą do tego samego wyniku.
\n| Odp. | Typowy błąd |
| B: \\(a^{-2}\\) | Dzielenie wykładników zamiast odejmowania: \\(-2{,}6 \\div 1{,}3 = -2\\). To błąd - przy ilorazie wykładniki się odejmuje, nie dzieli. |
| C: \\(a^{-1{,}3}\\) | Odejmowanie w złej kolejności lub pominięcie znaku: \\(-2{,}6 + 1{,}3 = -1{,}3\\) - jakby zamieniono mianownik na \\(a^{-1{,}3}\\). |
| D: \\(a^{1{,}3}\\) | Dodanie wykładników zamiast odejmowania: \\(-2{,}6 + 1{,}3 = -1{,}3\\), a potem błędne uproszczenie, lub zgubienie minusa. |
⚠️ Uwaga: Przy \\(\\dfrac{a^r}{a^s}\\) wykładniki się odejmuje (\\(r - s\\)), a nie dzieli. To najczęstszy błąd w tym typie zadania - odpowiedź B jest właśnie pułapką na uczniów, którzy "dzielą" \\(-2{,}6 \\div 1{,}3\\).\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj o znaku! Mamy \\(-2{,}6 - 1{,}3\\), czyli odejmujemy dodatnią liczbę od ujemnej - wynik jest bardziej ujemny, nie bliżej zera.\n
⚠️ Uwaga: Wzory na potęgi działają dla każdego wykładnika wymiernego (też dziesiętnego jak \\(-2{,}6\\)), nie tylko dla liczb całkowitych. Warunek z treści "dla każdej dodatniej liczby \\(a\\)" zapewnia, że podstawa jest poprawna (żadnych problemów z ujemnymi podstawami).\n
Poprawna odpowiedź: A
\nWzór: \\(\\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\\). Podstawiamy:
\\[\\dfrac{a^{-2{,}6}}{a^{1{,}3}} = a^{-2{,}6 - 1{,}3} = a^{-3{,}9}.\\]
Mianownik \\(a^{1{,}3}\\) przenosimy do licznika ze znakiem minus:
\\[\\dfrac{a^{-2{,}6}}{a^{1{,}3}} = a^{-2{,}6}\\cdot a^{-1{,}3} = a^{-2{,}6 + (-1{,}3)} = a^{-3{,}9}.\\]
Pamiętaj: przy dzieleniu potęg odejmujesz wykładniki (licznik minus mianownik), przy mnożeniu dodajesz.
\nPoprawna odpowiedź: A
\n\\[BC² = BD² + CD² - 2 * BD * CD * cos(BDC)\\]
\nPonieważ kąt BDC jest podany, możemy podstawić jego wartość. Zauważmy, że kąt BDC jest kątem wpisanym, który opiera się na łuku AB. Kąt środkowy, który opiera się na tym samym łuku AB, to kąt ABC. Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opierającego się na tym samym łuku. Zatem \\[∠ABC = 2 * ∠BDC\\]
\n