Zadanie 10. (0-1)
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział
A. (
, 2
-∞-
B.
2, 4
C.
)
4,+∞
D. (
,9
-∞
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9). Liczby -2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział A. (-∞, -2>, B. <-2,-4>, C. <4,+∞), D. (-∞,9).
Zadanie 10. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
własności funkcji - zbiór wartości (4.3).
Wersja
I
Wersja
II
D
B
Co wiemy: Wierzchołek paraboli to \\(W = (1, 9)\\), a miejsca zerowe to \\(x_1 = -2\\) i \\(x_2 = 4\\).
\nPonieważ parabola ma miejsca zerowe (czyli przecina oś \\(OX\\)), wiemy, że \\(\\Delta \\geq 0\\). Wierzchołek leży powyżej osi \\(OX\\) - współrzędna \\(y\\) wierzchołka wynosi \\(9 > 0\\).
\nKluczowe pytanie: Czy parabola jest skierowana ramionami w górę, czy w dół?
\nWiemy, że funkcja kwadratowa \\(f\\) ma dwa miejsca zerowe \\(-2\\) i \\(4\\), a wierzchołek leży między nimi (w punkcie \\(x = 1\\), co się zgadza: \\(\\frac{-2+4}{2} = 1\\)). Wierzchołek ma \\(y = 9 > 0\\) - leży powyżej osi \\(OX\\). Skoro parabola "schodzi" z wierzchołka do miejsc zerowych leżących niżej, to ramiona są skierowane w dół (\\(a < 0\\)).
\nDla paraboli skierowanej ramionami w dół:
\n\\[\\text{Zbiór wartości} = (-\\infty, 9\\rangle\\]
\nOdpowiedź: D
\nSkorzystamy z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej, korzystając z miejsc zerowych \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\):
\n\\[f(x) = a(x-(-2))(x-4) = a(x+2)(x-4)\\]
\nTeraz podstawiamy znany punkt - wierzchołek \\(W = (1, 9)\\), czyli \\(f(1) = 9\\):
\n\\[9 = a(1+2)(1-4)\\]
\\[9 = a \\cdot 3 \\cdot (-3)\\]
\\[9 = -9a\\]
\\[a = -1\\]
Zatem:
\\[f(x) = -(x+2)(x-4) = -(x^2 - 2x - 8) = -x^2 + 2x + 8\\]
Wierzchołek - sprawdzamy \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\):
\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 4 - 4 \\cdot (-1) \\cdot 8 = 4 + 32 = 36\\]
\\[q = -\\frac{36}{4 \\cdot (-1)} = -\\frac{36}{-4} = 9 \\checkmark\\]
Ponieważ \\(a = -1 < 0\\), parabola jest skierowana ramionami w dół, więc funkcja osiąga maksimum \\(9\\) w wierzchołku i przyjmuje wszystkie wartości nie większe niż \\(9\\).
\n\\[\\text{Zbiór wartości} = (-\\infty, 9\\rangle\\]
\nDział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)
\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]
Użyliśmy jej do wyznaczenia współczynnika \\(a\\) z miejsc zerowych.
\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]
Potwierdziliśmy, że wierzchołek ma rzędną \\(9\\).
| Odp. | Błąd |
| A | \\((-\\infty, -2)\\) - mylenie miejsc zerowych ze zbiorem wartości. Liczba \\(-2\\) to argument (odcięta), a nie wartość funkcji. |
| B | \\(\\langle -2, 4 \\rangle\\) - to jest dziedzina, na której funkcja jest nieujemna (czyli odcinek między miejscami zerowymi), a nie cały zbiór wartości. |
| C | \\(\\langle 4, +\\infty)\\) - gdyby \\(a > 0\\) (parabola skierowana w górę), zbiór wartości byłby \\(\\langle q, +\\infty)\\). Tu \\(a < 0\\), więc jest odwrotnie. |
⚠️ Uwaga: Nie mylić miejsc zerowych ze zbiorem wartości! Miejsca zerowe \\(-2\\) i \\(4\\) to wartości argumentu \\(x\\), przy których \\(f(x) = 0\\). Zbiór wartości dotyczy wartości \\(f(x)\\), czyli osi \\(OY\\).\n
⚠️ Uwaga: Kierunek ramion paraboli jest kluczowy. Jeśli wierzchołek leży powyżej osi \\(OX\\) i parabola ma dwa miejsca zerowe, to na pewno \\(a < 0\\) - ramiona skierowane w dół, maksimum w wierzchołku.\n
⚠️ Uwaga: Dla \\(a < 0\\) zbiór wartości to \\((-\\infty, q\\rangle\\), a dla \\(a > 0\\) to \\(\\langle q, +\\infty)\\) - warto zapamiętać tę regułę jako odruch!\n
Poprawna odpowiedź: D
\nParabola ma wierzchołek w \\(W = (1, 9)\\). Wartość \\(y = 9\\) jest maksymalna, bo parabola ma ramiona skierowane w dół (miejsca zerowe \\(-2\\) i \\(4\\) są po obu stronach wierzchołka, a wartość w wierzchołku \\(9 > 0\\)).
\nZatem zbiór wartości: \\((-\\infty, 9\\rangle\\) - wszystkie wartości od \\(-\\infty\\) do \\(9\\) włącznie.
\nZ postaci iloczynowej: \\(f(x) = a(x+2)(x-4)\\). Podstawiamy \\(W = (1,9)\\):
\\[9 = a\\cdot 3\\cdot(-3) = -9a \\Rightarrow a = -1.\\]
Zatem \\(f(x) = -(x+2)(x-4) = -(x^2 - 2x - 8) = -x^2 + 2x + 8\\).
\\(a = -1 < 0\\) → ramiona w dół → max w wierzchołku \\(q = 9\\). Zbiór wartości: \\((-\\infty, 9\\rangle\\).
\nPamiętaj: zbiór wartości paraboli \\(a(x-p)^2 + q\\): jeśli \\(a > 0\\) to \\(\\langle q, +\\infty)\\); jeśli \\(a < 0\\) to \\((-\\infty, q\\rangle\\).
\nPoprawna odpowiedź: D
\nFunkcja f ma zbiór wartości, który jest przedziałem. Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich możliwych wyników, jakie funkcja może przyjąć. W zadaniu podano, że zbiór wartości funkcji f jest przedziałem, który kończy się na +\\(\\infty\\). Oznacza to, że funkcja f może przyjmować wartości z tego przedziału, a jej zakres jest nieograniczony w górę.
\n\\[f: \\mathbb{R} \\to (-\\infty, 9]\\]
\nKluczowe jest tutaj słowo "nieograniczony". Zbiór wartości funkcji f to przedział (-\\(\\infty\\), 9]. Wartość 9 jest górną granicą tego przedziału. Zbiór wartości funkcji to wszystkie liczby, które funkcja może przyjmować, a nie tylko te, które są w tym przedziale.
\n📖 Karta wzorów: s.4-5, strona 5 (Potęgi) - (w kontekście definiowania zbioru wartości funkcji, zbiór wartości to zbiór wszystkich możliwych wartości funkcji)
\nJeśli funkcja f ma zbiór wartości (-\\(\\infty\\), 9], to oznacza, że funkcja jest ograniczona w zakresie od -\\(\\infty\\) do 9. Ponieważ zbiór wartości zawiera -\\(\\infty\\), to funkcja może przyjmować dowolnie małe wartości. Ponieważ zbiór wartości zawiera 9, to funkcja może przyjmować wartość 9. Zatem, funkcja musi być monotoniczna (np. rosnąca lub malejąca) w całym przedziale, aby zbiór wartości miał taką formę. Ponieważ zbiór wartości kończy się na +\\(\\infty\\), to funkcja musi być rosnąca.
\n\\[f: \\mathbb{R} \\to (-\\infty, 9]\\]
\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 4 (Wartość bezwzględna) - (w kontekście definiowania zbioru wartości funkcji, zbiór wartości to zbiór wszystkich możliwych wartości funkcji)
\n