{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nFunkcja f określona jest wzorem\n( )\n3\n6\n2\n1\nx\nf x\nx\ndla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy\n(\n)\n3 3\nf -\njest równa\nA.\n3 9\n2\nB.\n3\n5\nC. 3\n5\nD.\n3 3\n2\nFunkcja f określona jest wzorem f(x) = 2x^3 / x^6 + 1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy f(-∛3) jest równa A. -∛9/2, B. -3/5, C. 3/5, D. ∛3/2.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający oblicza ze wzoru wartość\nfunkcji dla danego argumentu (4.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nD\n1\n2\n3\nx\nx\n1\n2\nx\nx\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\boldsymbol{-\\dfrac{3}{5}}\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie bezpośrednie z uproszczeniem potęg\n\n**Kluczowa obserwacja:** argument \\(-\\sqrt[3]{3}\\) wygląda strasznie, ale po podniesieniu do potęg 3 i 6 \"magicznie\" się upraszcza do całkowitej liczby. Właśnie dlatego to zadanie jest wykonalne bez kalkulatora.\n\n**Krok 1: Oblicz \\(x^3\\) dla \\(x = -\\sqrt[3]{3}\\)**\n\n\\[x^3 = \\left(-\\sqrt[3]{3}\\right)^3 = -\\left(\\sqrt[3]{3}\\right)^3 = -3\\]\n\nSześcian i pierwiastek sześcienny znoszą się - zostaje samo \\(-3\\).\n\n**Krok 2: Oblicz \\(x^6\\)**\n\nNie liczmy od nowa - skorzystajmy z wyniku z kroku 1:\n\n\\[x^6 = \\left(x^3\\right)^2 = (-3)^2 = 9\\]\n\n**Krok 3: Podstaw do wzoru funkcji**\n\n\\[f\\!\\left(-\\sqrt[3]{3}\\right) = \\frac{2 \\cdot (-3)}{9 + 1} = \\frac{-6}{10} = \\mathbf{-\\dfrac{3}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Podstawienie pomocnicze \\(t = x^3\\)\n\nZauważmy, że w funkcji \\(f(x) = \\dfrac{2x^3}{x^6 + 1}\\) zarówno licznik, jak i mianownik zawierają \\(x^3\\) - mianownik to \\((x^3)^2 + 1\\).\n\nWprowadźmy \\(t = x^3\\). Wtedy funkcja przyjmuje prostszą postać:\n\n\\[f(x) = \\frac{2t}{t^2 + 1}\\]\n\nDla \\(x = -\\sqrt[3]{3}\\):\n\n\\[t = \\left(-\\sqrt[3]{3}\\right)^3 = -3\\]\n\nPodstawiamy:\n\n\\[f\\!\\left(-\\sqrt[3]{3}\\right) = \\frac{2 \\cdot (-3)}{(-3)^2 + 1} = \\frac{-6}{9 + 1} = \\frac{-6}{10} = \\mathbf{-\\dfrac{3}{5}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyliśmy tego dwukrotnie:\n- \\(\\left(\\sqrt[3]{3}\\right)^3 = \\left(3^{\\frac{1}{3}}\\right)^3 = 3^{\\frac{1}{3} \\cdot 3} = 3^1 = 3\\) - zniesienie pierwiastka sześciennego z sześcianem,\n- \\(x^6 = (x^3)^2\\) - wyliczenie \\(x^6\\) z już obliczonego \\(x^3\\), bez liczenia od podstaw.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\(\\left(-\\dfrac{\\sqrt[3]{9}}{2}\\right)\\) | Błędne obliczenie \\(\\left(\\sqrt[3]{3}\\right)^3 = \\sqrt[3]{9}\\) - uczeń \"mnoży\" liczbę pod pierwiastkiem przez 3, zamiast dostrzec, że \\(\\sqrt[3]{3}^3 = 3\\). Potem kaskada dalszych błędów daje inny mianownik. |\n| **C** \\(\\left(\\dfrac{3}{5}\\right)\\) | Poprawna wartość bezwzględna, **zgubiono znak minus**. Uczeń traktuje \\(-\\sqrt[3]{3}\\) jako dodatnie (np. bierze moduł argumentu lub zapomina przenieść minus z \\(x\\) na \\(x^3\\)). |\n| **D** \\(\\left(\\dfrac{\\sqrt[3]{3}}{2}\\right)\\) | Podwójny błąd: zniesiono znak minus (jak w C) **oraz** niepoprawnie obliczono \\(x^6\\), przyjmując wartość 3 zamiast 9 w mianowniku. Wynik dodatni z \"innym\" mianownikiem. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to nieporadne liczenie \\(\\left(\\sqrt[3]{a}\\right)^3\\). Sześcian i pierwiastek sześcienny to operacje odwrotne - **zawsze się znoszą**: \\(\\left(\\sqrt[3]{a}\\right)^3 = a\\). Nie ma tu żadnego ułamkowego wykładnika \"na wyniku\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie licz \\(x^6\\) \"od zera\" wstawiając \\(-\\sqrt[3]{3}\\) do szóstej potęgi. Zamiast tego korzystaj z już obliczonego \\(x^3 = -3\\) i potęguj go do kwadratu: \\(x^6 = (x^3)^2 = 9\\). Oszczędzasz czas i minimalizujesz ryzyko błędu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Minus przy argumencie \\(-\\sqrt[3]{3}\\) nie \"ginie\" - pamiętaj, że \\((-a)^3 = -a^3\\) (nieparzysta potęga zachowuje znak), natomiast \\((-a)^6 = a^6\\) (parzysta potęga daje wartość dodatnią). Stąd mianownik wychodzi dodatni (\\(+9+1=10\\)), a licznik ujemny (\\(-6\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie i obliczenia\nObliczamy potęgi \\(-\\sqrt[3]{3}\\):\n\\[(-\\sqrt[3]{3})^3 = -(\\sqrt[3]{3})^3 = -3\\]\n\\[(-\\sqrt[3]{3})^6 = ((-\\sqrt[3]{3})^3)^2 = (-3)^2 = 9.\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[f(-\\sqrt[3]{3}) = \\dfrac{2\\cdot(-3)}{9 + 1} = \\dfrac{-6}{10} = -\\dfrac{3}{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Ogólny wzór dla \\(x = -\\sqrt[3]{a}\\)\n\\[f(-\\sqrt[3]{a}) = \\dfrac{2(-\\sqrt[3]{a})^3}{(-\\sqrt[3]{a})^6 + 1} = \\dfrac{-2a}{a^2 + 1}.\\]\nDla \\(a = 3\\): \\(f(-\\sqrt[3]{3}) = \\dfrac{-6}{10} = -\\dfrac{3}{5}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-\\tfrac{\\sqrt[3]{9}}{2}\\)** - ktoś nie obliczył poprawnie \\((-\\sqrt[3]{3})^3\\) jako liczby wymiernej.\n- **C. \\(\\tfrac{3}{5}\\)** - zapomniano o znaku (funkcja jest nieparzysta: \\(f(-x) = -f(x)\\), a \\(f(\\sqrt[3]{3}) = 3/5\\)).\n- **D. \\(\\tfrac{\\sqrt[3]{3}}{2}\\)** - wynik błędnego uproszczenia.\n\n**Kluczowa obserwacja:** \\(f(x) = \\tfrac{2x^3}{x^6+1}\\) jest funkcją **nieparzystą**: \\(f(-x) = -f(x)\\). Wystarczy policzyć \\(f(\\sqrt[3]{3}) = 3/5\\), wówczas \\(f(-\\sqrt[3]{3}) = -3/5\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie definicji funkcji\nFunkcja f(x) = 6 dla każdej liczby rzeczywistej x oznacza, że wartość funkcji f(x) jest zawsze równa 6, niezależnie od wartości x. Zatem f(-3) = 6.\n\n\\[f(-3) = 6\\]\n📖 Karta wzorów: Logarytmy, strona 13\n\n### Sposób 2: Bezpośrednie obliczenie\nPonieważ f(x) = 6 dla każdego x, to f(-3) = 6. Nie ma potrzeby używania żadnych wzorów, ponieważ funkcja jest zdefiniowana wprost.\n\n\\[f(-3) = 6\\]\n📖 Karta wzorów: Funkcja, strona 1\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** (x+1) - To jest wyrażenie, a nie wartość funkcji f(-3). Nie ma tu żadnych zmiennych, więc nie można tego obliczyć.\n* **C:** (x+1) - Podobnie jak w przypadku A, to wyrażenie, a nie wartość funkcji.\n* **D:** (x+1) - To wyrażenie również nie ma związku z wartością funkcji f(-3).\n\nFunkcja f(x) = 6 jest bardzo prosta. Jej wartość dla x = -3 jest po prostu 6.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (0-1)
Funkcja f określona jest wzorem
( )
3
6
2
1
x
f x
x
dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy
(
)
3 3
f -
jest równa
A.
3 9
2
B.
3
5
C. 3
5
D.
3 3
2
Funkcja f określona jest wzorem f(x) = 2x^3 / x^6 + 1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy f(-∛3) jest równa A. -∛9/2, B. -3/5, C. 3/5, D. ∛3/2.

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Funkcje. Zdający oblicza ze wzoru wartość
\n

funkcji dla danego argumentu (4.2).
Wersja
I
Wersja
II
B
D
1
2
3
x
x
1
2
x
x
x

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(\\boldsymbol{-\\dfrac{3}{5}}\\)

\n

Sposób 1 - Podstawienie bezpośrednie z uproszczeniem potęg

\n

Kluczowa obserwacja: argument \\(-\\sqrt[3]{3}\\) wygląda strasznie, ale po podniesieniu do potęg 3 i 6 "magicznie" się upraszcza do całkowitej liczby. Właśnie dlatego to zadanie jest wykonalne bez kalkulatora.

\n

Krok 1: Oblicz \\(x^3\\) dla \\(x = -\\sqrt[3]{3}\\)

\n

\\[x^3 = \\left(-\\sqrt[3]{3}\\right)^3 = -\\left(\\sqrt[3]{3}\\right)^3 = -3\\]

\n

Sześcian i pierwiastek sześcienny znoszą się - zostaje samo \\(-3\\).

\n

Krok 2: Oblicz \\(x^6\\)

\n

Nie liczmy od nowa - skorzystajmy z wyniku z kroku 1:

\n

\\[x^6 = \\left(x^3\\right)^2 = (-3)^2 = 9\\]

\n

Krok 3: Podstaw do wzoru funkcji

\n

\\[f\\!\\left(-\\sqrt[3]{3}\\right) = \\frac{2 \\cdot (-3)}{9 + 1} = \\frac{-6}{10} = \\mathbf{-\\dfrac{3}{5}}\\]

\n

Sposób 2 - Podstawienie pomocnicze \\(t = x^3\\)

\n

Zauważmy, że w funkcji \\(f(x) = \\dfrac{2x^3}{x^6 + 1}\\) zarówno licznik, jak i mianownik zawierają \\(x^3\\) - mianownik to \\((x^3)^2 + 1\\).

\n

Wprowadźmy \\(t = x^3\\). Wtedy funkcja przyjmuje prostszą postać:

\n

\\[f(x) = \\frac{2t}{t^2 + 1}\\]

\n

Dla \\(x = -\\sqrt[3]{3}\\):

\n

\\[t = \\left(-\\sqrt[3]{3}\\right)^3 = -3\\]

\n

Podstawiamy:

\n

\\[f\\!\\left(-\\sqrt[3]{3}\\right) = \\frac{2 \\cdot (-3)}{(-3)^2 + 1} = \\frac{-6}{9 + 1} = \\frac{-6}{10} = \\mathbf{-\\dfrac{3}{5}}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - działania na potęgach:
\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]
Użyliśmy tego dwukrotnie:

\n\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A \\(\\left(-\\dfrac{\\sqrt[3]{9}}{2}\\right)\\) | Błędne obliczenie \\(\\left(\\sqrt[3]{3}\\right)^3 = \\sqrt[3]{9}\\) - uczeń "mnoży" liczbę pod pierwiastkiem przez 3, zamiast dostrzec, że \\(\\sqrt[3]{3}^3 = 3\\). Potem kaskada dalszych błędów daje inny mianownik. |
| C \\(\\left(\\dfrac{3}{5}\\right)\\) | Poprawna wartość bezwzględna, zgubiono znak minus. Uczeń traktuje \\(-\\sqrt[3]{3}\\) jako dodatnie (np. bierze moduł argumentu lub zapomina przenieść minus z \\(x\\) na \\(x^3\\)). |
| D \\(\\left(\\dfrac{\\sqrt[3]{3}}{2}\\right)\\) | Podwójny błąd: zniesiono znak minus (jak w C) oraz niepoprawnie obliczono \\(x^6\\), przyjmując wartość 3 zamiast 9 w mianowniku. Wynik dodatni z "innym" mianownikiem. |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to nieporadne liczenie \\(\\left(\\sqrt[3]{a}\\right)^3\\). Sześcian i pierwiastek sześcienny to operacje odwrotne - zawsze się znoszą: \\(\\left(\\sqrt[3]{a}\\right)^3 = a\\). Nie ma tu żadnego ułamkowego wykładnika "na wyniku".
\n
⚠️ Uwaga: Nie licz \\(x^6\\) "od zera" wstawiając \\(-\\sqrt[3]{3}\\) do szóstej potęgi. Zamiast tego korzystaj z już obliczonego \\(x^3 = -3\\) i potęguj go do kwadratu: \\(x^6 = (x^3)^2 = 9\\). Oszczędzasz czas i minimalizujesz ryzyko błędu.
\n
⚠️ Uwaga: Minus przy argumencie \\(-\\sqrt[3]{3}\\) nie "ginie" - pamiętaj, że \\((-a)^3 = -a^3\\) (nieparzysta potęga zachowuje znak), natomiast \\((-a)^6 = a^6\\) (parzysta potęga daje wartość dodatnią). Stąd mianownik wychodzi dodatni (\\(+9+1=10\\)), a licznik ujemny (\\(-6\\)).
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Podstawienie i obliczenia
\n

Obliczamy potęgi \\(-\\sqrt[3]{3}\\):
\\[(-\\sqrt[3]{3})^3 = -(\\sqrt[3]{3})^3 = -3\\]
\\[(-\\sqrt[3]{3})^6 = ((-\\sqrt[3]{3})^3)^2 = (-3)^2 = 9.\\]

\n

Podstawiamy:
\\[f(-\\sqrt[3]{3}) = \\dfrac{2\\cdot(-3)}{9 + 1} = \\dfrac{-6}{10} = -\\dfrac{3}{5}.\\]

\n
Sposób 2 - Ogólny wzór dla \\(x = -\\sqrt[3]{a}\\)
\n

\\[f(-\\sqrt[3]{a}) = \\dfrac{2(-\\sqrt[3]{a})^3}{(-\\sqrt[3]{a})^6 + 1} = \\dfrac{-2a}{a^2 + 1}.\\]
Dla \\(a = 3\\): \\(f(-\\sqrt[3]{3}) = \\dfrac{-6}{10} = -\\dfrac{3}{5}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Kluczowa obserwacja: \\(f(x) = \\tfrac{2x^3}{x^6+1}\\) jest funkcją nieparzystą: \\(f(-x) = -f(x)\\). Wystarczy policzyć \\(f(\\sqrt[3]{3}) = 3/5\\), wówczas \\(f(-\\sqrt[3]{3}) = -3/5\\).

\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Użycie definicji funkcji
\n

Funkcja f(x) = 6 dla każdej liczby rzeczywistej x oznacza, że wartość funkcji f(x) jest zawsze równa 6, niezależnie od wartości x. Zatem f(-3) = 6.

\n

\\[f(-3) = 6\\]
📖 Karta wzorów: Logarytmy, strona 13

\n
Sposób 2: Bezpośrednie obliczenie
\n

Ponieważ f(x) = 6 dla każdego x, to f(-3) = 6. Nie ma potrzeby używania żadnych wzorów, ponieważ funkcja jest zdefiniowana wprost.

\n

\\[f(-3) = 6\\]
📖 Karta wzorów: Funkcja, strona 1

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Funkcja f(x) = 6 jest bardzo prosta. Jej wartość dla x = -3 jest po prostu 6.

"}]}