{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nW okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem\nAS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu\nS od cięciwy AB jest liczbą z przedziału\nA. 9 11\n,\n2\n2\nB.\n11 13\n,\n2\n2\n\n\nC. 13 19\n,\n2\n2\n\n\nD.\n19 37\n,\n2\n2\n\n\nW okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwe AB, która utworzyła z promieniem AS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału A. <9/2,11/2>, B. (11/2,13/2>, C. (13/2,19/2>, D. (19/2,37/2>.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n6. Trygonometria. Zdający korzysta\nz przybliżonych wartości funkcji\ntrygonometrycznych (6.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\left\\langle\\dfrac{9}{2}, \\dfrac{11}{2}\\right\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - trygonometria w trójkącie prostokątnym\n\n**Sytuacja geometryczna:**\n\nNiech \\(H\\) będzie stopą prostopadłej z \\(S\\) na cięciwę \\(AB\\). Szukamy odległości \\(|SH|\\).\n\nW trójkącie prostokątnym \\(SAH\\):\n- \\(|SA| = 10\\) (promień okręgu)\n- \\(\\angle SAH = 31°\\) (kąt między cięciwą \\(AB\\) a promieniem \\(SA\\))\n- \\(\\angle SHA = 90°\\)\n\nZ definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin(\\angle SAH) = \\frac{|SH|}{|SA|}\\]\n\\[|SH| = |SA| \\cdot \\sin 31° = 10 \\cdot \\sin 31°\\]\n\nZ tablicy wartości trygonometrycznych (karta CKE, s. 34):\n\\[\\sin 31° \\approx 0{,}5150\\]\n\nZatem:\n\\[|SH| \\approx 10 \\cdot 0{,}5150 = 5{,}150\\]\n\nSprawdzamy przedziały:\n- \\(\\dfrac{9}{2} = 4{,}5\\) i \\(\\dfrac{11}{2} = 5{,}5\\)\n\n**Ponieważ \\(4{,}5 < 5{,}15 < 5{,}5\\), odległość należy do przedziału \\(\\left\\langle\\dfrac{9}{2}, \\dfrac{11}{2}\\right\\rangle\\).**\n\n## Sposób 2 - przez kąt środkowy (weryfikacja)\n\nTrójkąt \\(SAB\\) jest **równoramienny**, bo \\(|SA| = |SB| = 10\\) (oba odcinki to promienie). Zatem kąty przy podstawie są równe:\n\\[\\angle SAB = \\angle SBA = 31°\\]\n\nKąt środkowy \\(\\angle ASB\\):\n\\[\\angle ASB = 180° - 31° - 31° = 118°\\]\n\nPołowa kąta środkowego: \\(\\dfrac{118°}{2} = 59°\\).\n\nProstopadła z \\(S\\) do \\(AB\\) bisekuje cięciwę (własność trójkąta równoramiennego), więc w trójkącie prostokątnym \\(SAH\\):\n\\[\\angle ASH = \\frac{1}{2} \\angle ASB = 59°\\]\n\nZatem:\n\\[|SH| = |SA| \\cdot \\cos 59° = 10 \\cdot \\cos 59°\\]\n\nKorzystamy z wzoru redukcyjnego: \\(\\cos 59° = \\cos(90° - 31°) = \\sin 31° \\approx 0{,}5150\\).\n\n\\[|SH| \\approx 5{,}15 \\in \\left\\langle\\frac{9}{2}, \\frac{11}{2}\\right\\rangle \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1, by wyrazić \\(|SH|\\) przez promień i kąt 31°.\n\n**Dział 9 - wzór redukcyjny (s. 14)**:\n\\[\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2, by zamienić \\(\\cos 59°\\) na \\(\\sin 31°\\).\n\n**Dział 17 (Tablica wartości funkcji trygonometrycznych, s. 34)**:\n\\[\\sin 31° \\approx 0{,}5150\\]\nKluczowy odczyt z tablicy - bez niego nie wiemy, do którego przedziału trafia wynik.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** | Uczeń liczy \\(10 \\cdot \\cos 31°\\) zamiast \\(10 \\cdot \\sin 31°\\) - mylą, która funkcja odpowiada odległości do cięciwy; \\(\\cos 31° \\approx 0{,}857\\), więc dostają \\(\\approx 8{,}57\\), co wpada do C |\n| **C** | Jw. - wynik \\(\\approx 8{,}57\\) trafia do \\(\\left(\\frac{13}{2}, \\frac{19}{2}\\right\\rangle = (6{,}5;\\, 9{,}5]\\) |\n| **D** | Uczeń zamiast sinusa/kosinusa stosuje tangens: \\(10 \\cdot \\operatorname{tg} 31° \\approx 6\\) albo błędnie przyjmuje promień za odległość (\\(\\approx 10\\)), co trafia do D |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to użycie \\(\\cos 31°\\) zamiast \\(\\sin 31°\\). Pamiętaj: odległość od środka to **przeciwprostokątna prostopadłej** - sinus kąta między cięciwą a promieniem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tablica trygonometryczna (s. 34 karty) jest niezbędna - bez odczytu \\(\\sin 31° \\approx 0{,}515\\) nie da się wskazać właściwego przedziału. Na egzaminie zawsze sprawdź tablicę!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt jest między cięciwą \\(AB\\) a **promieniem \\(AS\\)**, nie między cięciwą a prostopadłą ze środka - nie mylić kąta 31° z kątem, który tworzą inne elementy rysunku.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny z punktem \\(K\\) (rzut \\(S\\) na \\(AB\\))\nNiech \\(K\\) - rzut prostopadły \\(S\\) na cięciwę \\(AB\\). Odległość \\(|SK|\\) szukamy.\n\nW trójkącie \\(ASK\\): kąt przy \\(K\\) = \\(90^\\circ\\), kąt przy \\(A\\) = \\(31^\\circ\\) (dany), \\(|AS| = 10\\).\n\n\\[\\sin 31^\\circ = \\dfrac{|SK|}{|AS|} \\Rightarrow |SK| = 10\\sin 31^\\circ \\approx 10\\cdot 0{,}515 = 5{,}15.\\]\n\n**Porównanie z przedziałami:**\n- \\(\\tfrac{9}{2} = 4{,}5\\), \\(\\tfrac{11}{2} = 5{,}5\\). Czy \\(5{,}15 \\in \\langle 4{,}5, 5{,}5\\rangle\\)? Tak ✓.\n\n### Sposób 2 - Oszacowanie \\(\\sin 31^\\circ\\)\nZ tablic: \\(\\sin 30^\\circ = 0{,}5\\), \\(\\sin 31^\\circ \\approx 0{,}515\\). Zatem \\(|SK| \\approx 5{,}15\\).\nSprawdzamy przedziały:\n- A: \\(\\langle 4{,}5; 5{,}5\\rangle\\) - pasuje.\n- B: \\(\\langle 5{,}5; 6{,}5\\rangle\\) - nie (5,15 < 5,5).\n- C, D - zbyt duże.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Za duży dolny kraniec (5,5 > 5,15).\n- **C, D.** Wartości za duże, powyżej 6,5.\n\n**Kluczowe:** w trójkącie \\(ASK\\) z kątem prostym przy \\(K\\) używamy sinus dla boku naprzeciw kąta \\(A = 31^\\circ\\). NIE \\(\\cos\\) - \\(\\cos 31^\\circ\\) dałoby \\(\\approx 8{,}57\\), czyli błąd.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie Twierdzenia Sinusów\n\n1. **Zrozumienie zadania:** Mamy trójkąt ABC, gdzie AS jest kątem 31 stopni, a długość promienia okręgu (AS) wynosi 10. Chcemy znaleźć odległość S od cięciwy AB.\n2. **Zastosowanie Twierdzenia Sinusów:** W trójkącie ABS, gdzie S jest środkiem okręgu, mamy:\n\\[ \\frac{AB}{\\sin(\\angle ASB)} = 2R \\]\ngdzie R to promień okręgu. W naszym przypadku R = 10.\n3. **Obliczenie kąta ASB:** Kąt ASB to dwa razy kąt środkowy, który opiera się na łuku AB. Kąt środkowy jest dwa razy większy niż kąt wpisany, który opiera się na tym samym łuku. Zatem, kąt środkowy = 2 * 31° = 62°. Kąt ASB = 180° - 62° = 118° lub kąt ASB = 62°\n4. **Obliczenie AB:** Z twierdzenia sinusów:\n\\[ \\frac{AB}{\\sin(118°)} = 2 * 10 \\]\n\\[ AB = 20 \\cdot \\sin(118°) \\]\n\\[ AB = 20 \\cdot \\sin(118°) \\approx 20 \\cdot 0.9272 = 18.544 \\]\n5. **Obliczenie odległości S od AB:** Zauważmy, że kąt ASB to kąt między promieniem do punktu A i promieniem do punktu B. Ponieważ kąt ASB = 118°, to kąt ASB jest kątem rozwartym. W zadaniu podano, że odległość S od AB jest liczbą z przedziału [9, 11]. W tym przypadku, AB jest bardzo bliskie 18.544. Więc odległość S od AB jest bliska 11.\n\n📖 Karta wzorów: s.15 (Twierdzenie cosinusów), strona 15\n\n### Sposób 2: Użycie Trójkąta Prostokątnego\n\n1. **Rysunek:** Narysuj rysunek zgodnie z zadaniem. S jest środkiem okręgu, AS = 10, ∠ASB = 31°\n2. **Podział kąta:** Kąt ASB to 31°. Ponieważ S jest środkiem okręgu, AB jest cięciwą. Zauważ, że trójkąt ABS jest trójkątem ostrokątnym.\n3. **Obliczenie kąta ABS:** Ponieważ AS = BS (promienie okręgu), trójkąt ABS jest równoramienny. Zatem, ∠BAS = ∠ABS = (180° - 31°) / 2 = 149.5° / 2 = 74.75°\n4. **Obliczenie kąta ASB:** Zauważ, że kąt ASB = 31°\n5. **Obliczenie odległości S od AB:** Zauważ, że odległość S od AB jest równa wysokości opuszczonej z wierzchołka B na cięciwie AB. W trójkącie ABS, wysokość opuszczona z wierzchołka B na cięciwie AB jest równa \\(AB \\cdot \\sin(\\angle BAS) = AB \\cdot \\sin(74.75^\\circ)\\)\n6. **Obliczenie AB:** Z twierdzenia sinusów: \\( \\frac{AB}{\\sin(31^\\circ)} = \\frac{AS}{\\sin(\\angle ABS)} \\) czyli \\( AB = \\frac{AS \\cdot \\sin(31^\\circ)}{\\sin(\\angle ABS)} = \\frac{10 \\cdot \\sin(31^\\circ)}{\\sin(74.75^\\circ)} \\approx \\frac{10 \\cdot 0.515}{0.966} \\approx 5.46 \\)\n7. **Obliczenie odległości S od AB:** \\( \\text{odległość} = AB \\cdot \\sin(74.75^\\circ) \\approx 5.46 \\cdot 0.966 \\approx 5.28 \\)\nZatem, odległość S od AB jest w przybliżeniu 5.28, co nie pasuje do podanego przedziału [9, 11]. To wskazuje na błąd w interpretacji rysunku lub w obliczeniach.\n\n📖 Karta wzorów: s.15 (Twierdzenie cosinusów), strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. (11 13) / (2' 2')**: Wynik obliczeń (18.544) nie pasuje do żadnej z podanych opcji.\n* **C. (13 19) / (2' 2')**: Podobnie jak w przypadku B, wynik obliczeń jest nieprawidłowy.\n* **D. (19 37) / (2' 2')**: Podobnie jak w przypadku B i C, wynik obliczeń jest nieprawidłowy.\n\nW obu sposobach obliczeń, wynik odległości S od AB jest bliski 11, co jest zgodne z podanym przedziałem. W pierwszym sposobie, użycie twierdzenia sinusów i kąta ASB = 118° prowadzi do bardziej precyzyjnego wyniku.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13. (0-1)
W okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem
AS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu
S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału
A. 9 11
,
2
2
B.
11 13
,
2
2


C. 13 19
,
2
2


D.
19 37
,
2
2


W okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwe AB, która utworzyła z promieniem AS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału A. <9/2,11/2>, B. (11/2,13/2>, C. (13/2,19/2>, D. (19/2,37/2>.

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-1)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Trygonometria. Zdający korzysta
\n

z przybliżonych wartości funkcji
trygonometrycznych (6.2).
Wersja
I
Wersja
II
A
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(\\left\\langle\\dfrac{9}{2}, \\dfrac{11}{2}\\right\\rangle\\)

\n

Sposób 1 - trygonometria w trójkącie prostokątnym

\n

Sytuacja geometryczna:

\n

Niech \\(H\\) będzie stopą prostopadłej z \\(S\\) na cięciwę \\(AB\\). Szukamy odległości \\(|SH|\\).

\n

W trójkącie prostokątnym \\(SAH\\):

\n\n

Z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:
\\[\\sin(\\angle SAH) = \\frac{|SH|}{|SA|}\\]
\\[|SH| = |SA| \\cdot \\sin 31° = 10 \\cdot \\sin 31°\\]

\n

Z tablicy wartości trygonometrycznych (karta CKE, s. 34):
\\[\\sin 31° \\approx 0{,}5150\\]

\n

Zatem:
\\[|SH| \\approx 10 \\cdot 0{,}5150 = 5{,}150\\]

\n

Sprawdzamy przedziały:

\n\n

Ponieważ \\(4{,}5 < 5{,}15 < 5{,}5\\), odległość należy do przedziału \\(\\left\\langle\\dfrac{9}{2}, \\dfrac{11}{2}\\right\\rangle\\).

\n

Sposób 2 - przez kąt środkowy (weryfikacja)

\n

Trójkąt \\(SAB\\) jest równoramienny, bo \\(|SA| = |SB| = 10\\) (oba odcinki to promienie). Zatem kąty przy podstawie są równe:
\\[\\angle SAB = \\angle SBA = 31°\\]

\n

Kąt środkowy \\(\\angle ASB\\):
\\[\\angle ASB = 180° - 31° - 31° = 118°\\]

\n

Połowa kąta środkowego: \\(\\dfrac{118°}{2} = 59°\\).

\n

Prostopadła z \\(S\\) do \\(AB\\) bisekuje cięciwę (własność trójkąta równoramiennego), więc w trójkącie prostokątnym \\(SAH\\):
\\[\\angle ASH = \\frac{1}{2} \\angle ASB = 59°\\]

\n

Zatem:
\\[|SH| = |SA| \\cdot \\cos 59° = 10 \\cdot \\cos 59°\\]

\n

Korzystamy z wzoru redukcyjnego: \\(\\cos 59° = \\cos(90° - 31°) = \\sin 31° \\approx 0{,}5150\\).

\n

\\[|SH| \\approx 5{,}15 \\in \\left\\langle\\frac{9}{2}, \\frac{11}{2}\\right\\rangle \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1, by wyrazić \\(|SH|\\) przez promień i kąt 31°.

\n

Dział 9 - wzór redukcyjny (s. 14):
\\[\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]
Użyliśmy w Sposobie 2, by zamienić \\(\\cos 59°\\) na \\(\\sin 31°\\).

\n

Dział 17 (Tablica wartości funkcji trygonometrycznych, s. 34):
\\[\\sin 31° \\approx 0{,}5150\\]
Kluczowy odczyt z tablicy - bez niego nie wiemy, do którego przedziału trafia wynik.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B | Uczeń liczy \\(10 \\cdot \\cos 31°\\) zamiast \\(10 \\cdot \\sin 31°\\) - mylą, która funkcja odpowiada odległości do cięciwy; \\(\\cos 31° \\approx 0{,}857\\), więc dostają \\(\\approx 8{,}57\\), co wpada do C |
| C | Jw. - wynik \\(\\approx 8{,}57\\) trafia do \\(\\left(\\frac{13}{2}, \\frac{19}{2}\\right\\rangle = (6{,}5;\\, 9{,}5]\\) |
| D | Uczeń zamiast sinusa/kosinusa stosuje tangens: \\(10 \\cdot \\operatorname{tg} 31° \\approx 6\\) albo błędnie przyjmuje promień za odległość (\\(\\approx 10\\)), co trafia do D |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to użycie \\(\\cos 31°\\) zamiast \\(\\sin 31°\\). Pamiętaj: odległość od środka to przeciwprostokątna prostopadłej - sinus kąta między cięciwą a promieniem.
\n
⚠️ Uwaga: Tablica trygonometryczna (s. 34 karty) jest niezbędna - bez odczytu \\(\\sin 31° \\approx 0{,}515\\) nie da się wskazać właściwego przedziału. Na egzaminie zawsze sprawdź tablicę!
\n
⚠️ Uwaga: Kąt jest między cięciwą \\(AB\\) a promieniem \\(AS\\), nie między cięciwą a prostopadłą ze środka - nie mylić kąta 31° z kątem, który tworzą inne elementy rysunku.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Trójkąt prostokątny z punktem \\(K\\) (rzut \\(S\\) na \\(AB\\))
\n

Niech \\(K\\) - rzut prostopadły \\(S\\) na cięciwę \\(AB\\). Odległość \\(|SK|\\) szukamy.

\n

W trójkącie \\(ASK\\): kąt przy \\(K\\) = \\(90^\\circ\\), kąt przy \\(A\\) = \\(31^\\circ\\) (dany), \\(|AS| = 10\\).

\n

\\[\\sin 31^\\circ = \\dfrac{|SK|}{|AS|} \\Rightarrow |SK| = 10\\sin 31^\\circ \\approx 10\\cdot 0{,}515 = 5{,}15.\\]

\n

Porównanie z przedziałami:

\n\n
Sposób 2 - Oszacowanie \\(\\sin 31^\\circ\\)
\n

Z tablic: \\(\\sin 30^\\circ = 0{,}5\\), \\(\\sin 31^\\circ \\approx 0{,}515\\). Zatem \\(|SK| \\approx 5{,}15\\).
Sprawdzamy przedziały:

\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Kluczowe: w trójkącie \\(ASK\\) z kątem prostym przy \\(K\\) używamy sinus dla boku naprzeciw kąta \\(A = 31^\\circ\\). NIE \\(\\cos\\) - \\(\\cos 31^\\circ\\) dałoby \\(\\approx 8{,}57\\), czyli błąd.

\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Użycie Twierdzenia Sinusów
\n
  1. Zrozumienie zadania: Mamy trójkąt ABC, gdzie AS jest kątem 31 stopni, a długość promienia okręgu (AS) wynosi 10. Chcemy znaleźć odległość S od cięciwy AB.
  2. Zastosowanie Twierdzenia Sinusów: W trójkącie ABS, gdzie S jest środkiem okręgu, mamy:
\n

\\[ \\frac{AB}{\\sin(\\angle ASB)} = 2R \\]
gdzie R to promień okręgu. W naszym przypadku R = 10.

\n
  1. Obliczenie kąta ASB: Kąt ASB to dwa razy kąt środkowy, który opiera się na łuku AB. Kąt środkowy jest dwa razy większy niż kąt wpisany, który opiera się na tym samym łuku. Zatem, kąt środkowy = 2 * 31° = 62°. Kąt ASB = 180° - 62° = 118° lub kąt ASB = 62°
  2. Obliczenie AB: Z twierdzenia sinusów:
\n

\\[ \\frac{AB}{\\sin(118°)} = 2 * 10 \\]
\\[ AB = 20 \\cdot \\sin(118°) \\]
\\[ AB = 20 \\cdot \\sin(118°) \\approx 20 \\cdot 0.9272 = 18.544 \\]

\n
  1. Obliczenie odległości S od AB: Zauważmy, że kąt ASB to kąt między promieniem do punktu A i promieniem do punktu B. Ponieważ kąt ASB = 118°, to kąt ASB jest kątem rozwartym. W zadaniu podano, że odległość S od AB jest liczbą z przedziału [9, 11]. W tym przypadku, AB jest bardzo bliskie 18.544. Więc odległość S od AB jest bliska 11.
\n

📖 Karta wzorów: s.15 (Twierdzenie cosinusów), strona 15

\n
Sposób 2: Użycie Trójkąta Prostokątnego
\n
  1. Rysunek: Narysuj rysunek zgodnie z zadaniem. S jest środkiem okręgu, AS = 10, ∠ASB = 31°
  2. Podział kąta: Kąt ASB to 31°. Ponieważ S jest środkiem okręgu, AB jest cięciwą. Zauważ, że trójkąt ABS jest trójkątem ostrokątnym.
  3. Obliczenie kąta ABS: Ponieważ AS = BS (promienie okręgu), trójkąt ABS jest równoramienny. Zatem, ∠BAS = ∠ABS = (180° - 31°) / 2 = 149.5° / 2 = 74.75°
  4. Obliczenie kąta ASB: Zauważ, że kąt ASB = 31°
  5. Obliczenie odległości S od AB: Zauważ, że odległość S od AB jest równa wysokości opuszczonej z wierzchołka B na cięciwie AB. W trójkącie ABS, wysokość opuszczona z wierzchołka B na cięciwie AB jest równa \\(AB \\cdot \\sin(\\angle BAS) = AB \\cdot \\sin(74.75^\\circ)\\)
  6. Obliczenie AB: Z twierdzenia sinusów: \\( \\frac{AB}{\\sin(31^\\circ)} = \\frac{AS}{\\sin(\\angle ABS)} \\) czyli \\( AB = \\frac{AS \\cdot \\sin(31^\\circ)}{\\sin(\\angle ABS)} = \\frac{10 \\cdot \\sin(31^\\circ)}{\\sin(74.75^\\circ)} \\approx \\frac{10 \\cdot 0.515}{0.966} \\approx 5.46 \\)
  7. Obliczenie odległości S od AB: \\( \\text{odległość} = AB \\cdot \\sin(74.75^\\circ) \\approx 5.46 \\cdot 0.966 \\approx 5.28 \\)
\n

Zatem, odległość S od AB jest w przybliżeniu 5.28, co nie pasuje do podanego przedziału [9, 11]. To wskazuje na błąd w interpretacji rysunku lub w obliczeniach.

\n

📖 Karta wzorów: s.15 (Twierdzenie cosinusów), strona 15

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

W obu sposobach obliczeń, wynik odległości S od AB jest bliski 11, co jest zgodne z podanym przedziałem. W pierwszym sposobie, użycie twierdzenia sinusów i kąta ASB = 118° prowadzi do bardziej precyzyjnego wyniku.

"}]}