{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nCzternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa\n3\n2\n\n\n\n\n\n\nSiódmy wyraz tego ciągu jest równy\nA. 37\n2\nB.\n37\n2\nC.\n5\n2\nD. 5\n2\nCzternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa -3/2. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy A. 37/2, B. -37/2, C. -5/2, D. 5/2.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz\ni na sumę n początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego (5.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{37}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego\n\n**Dane:**\n- \\(a_{14} = 8\\)\n- \\(r = -\\dfrac{3}{2}\\)\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\n**Wyznaczam \\(a_1\\)** - podstawiam \\(n = 14\\):\n\\[a_{14} = a_1 + 13 \\cdot r\\]\n\\[8 = a_1 + 13 \\cdot \\left(-\\frac{3}{2}\\right)\\]\n\\[8 = a_1 - \\frac{39}{2}\\]\n\\[a_1 = 8 + \\frac{39}{2} = \\frac{16}{2} + \\frac{39}{2} = \\frac{55}{2}\\]\n\n**Wyznaczam \\(a_7\\)** - podstawiam \\(n = 7\\):\n\\[a_7 = a_1 + 6 \\cdot r = \\frac{55}{2} + 6 \\cdot \\left(-\\frac{3}{2}\\right) = \\frac{55}{2} - \\frac{18}{2} = \\mathbf{\\frac{37}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - różnica między wyrazami bez wyznaczania \\(a_1\\)\n\nZamiast liczyć \\(a_1\\), można przejść bezpośrednio od \\(a_{14}\\) do \\(a_7\\).\n\nMiędzy \\(a_{14}\\) a \\(a_7\\) jest \\(14 - 7 = 7\\) kroków. Cofamy się (bo indeks maleje), więc **dodajemy** różnicę:\n\\[a_7 = a_{14} - 7 \\cdot r\\]\n\nUwaga: cofamy się o 7 kroków, więc odejmujemy \\(7r\\) od \\(a_{14}\\):\n\\[a_7 = 8 - 7 \\cdot \\left(-\\frac{3}{2}\\right) = 8 + \\frac{21}{2} = \\frac{16}{2} + \\frac{21}{2} = \\mathbf{\\frac{37}{2}}\\]\n\nTen sposób jest szybszy - omijamy obliczanie \\(a_1\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(a_1\\), a następnie \\(a_7\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B \\(\\left(-\\dfrac{37}{2}\\right)\\) | Uczeń poprawnie liczy \\(\\dfrac{37}{2}\\), ale zmienia znak - myli kierunek działania różnicy lub zapomina, że \\(a_7 = a_{14} - 7r\\), nie \\(a_{14} + 7r\\) z błędnym znakiem |\n| C \\(\\left(-\\dfrac{5}{2}\\right)\\) | Uczeń zamiast cofnąć się o 7 kroków, posuwa się o 7 kroków **do przodu**: \\(a_7 = 8 + 7 \\cdot \\left(-\\dfrac{3}{2}\\right) = 8 - \\dfrac{21}{2} = -\\dfrac{5}{2}\\) - myli kierunek |\n| D \\(\\left(\\dfrac{5}{2}\\right)\\) | Jak w C, ale dodatkowo zmienia znak końcowego wyniku |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cofanie się w ciągu arytmetycznym - gdy szukamy wyrazu o **mniejszym** indeksie niż dany, różnicę **odejmujemy** (\\(a_7 = a_{14} - 7r\\)). Przy ujemnej różnicy \\(r < 0\\) odejmowanie \\(r\\) daje **wzrost** wartości - to mylące, ale matematycznie pewne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba kroków między \\(a_7\\) a \\(a_{14}\\) to \\(14 - 7 = 7\\), **nie** \\(14 - 7 - 1 = 6\\) ani \\(14 - 7 + 1 = 8\\). Łatwo się pomylić o jeden.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(a_1\\) ze wzoru \\(a_{14} = a_1 + 13r\\) - współczynnik to \\(n - 1 = 13\\), nie \\(n = 14\\). Użycie \\(14r\\) zamiast \\(13r\\) to jeden z najczęstszych błędów w zadaniach z ciągami.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na wyraz \\(n\\)-ty\n\\(a_n = a_1 + (n-1)r\\). Mamy \\(a_{14} = 8\\), \\(r = -\\tfrac{3}{2}\\):\n\\[a_1 + 13r = 8 \\Rightarrow a_1 = 8 - 13\\cdot(-\\tfrac{3}{2}) = 8 + \\tfrac{39}{2} = \\tfrac{16+39}{2} = \\tfrac{55}{2}.\\]\n\nSiódmy wyraz:\n\\[a_7 = a_1 + 6r = \\tfrac{55}{2} + 6\\cdot(-\\tfrac{3}{2}) = \\tfrac{55}{2} - 9 = \\tfrac{55-18}{2} = \\tfrac{37}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Różnica \\(a_{14} - a_7\\)\nMiędzy \\(a_7\\) a \\(a_{14}\\) jest \\(7\\) kroków: \\(a_{14} = a_7 + 7r\\).\n\\[8 = a_7 + 7\\cdot(-\\tfrac{3}{2}) = a_7 - \\tfrac{21}{2}\\]\n\\[a_7 = 8 + \\tfrac{21}{2} = \\tfrac{16+21}{2} = \\tfrac{37}{2}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-\\tfrac{37}{2}\\)** - zły znak przy odejmowaniu.\n- **C. \\(-\\tfrac{5}{2}\\)** - wzięto \\(a_{14} + 7r\\) zamiast \\(a_{14} - 7r\\).\n- **D. \\(\\tfrac{5}{2}\\)** - wynik \\(a_{14} - 7\\cdot\\tfrac{3}{2}\\) czyli \\(8 - 10{,}5\\) błędnie.\n\n**Trik:** zapamiętaj: \\(a_m = a_n + (m-n)r\\) - bez odgrzebywania \\(a_1\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie wzorów na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i sprawdzanie\n\n1. **Znamy wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:** \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), gdzie \\(a_n\\) to n-ty wyraz, \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(r\\) to różnica.\n2. **Znamy \\(a_{14}\\) i \\(r\\):** \\(a_{14} = 8\\) oraz \\(r = -3\\). Podstawiamy do wzoru:\n\\(8 = a_1 + (14-1)(-3)\\)\n\\(8 = a_1 + 13(-3)\\)\n\\(8 = a_1 - 39\\)\n\\(a_1 = 8 + 39 = 47\\)\n3. **Sprawdzamy \\(a_7\\):** Używamy wzoru z \\(a_1\\) i \\(r\\):\n\\(a_7 = a_1 + (7-1)r = 47 + 6(-3) = 47 - 18 = 29\\)\nJednak w zadaniu podano, że \\(a_7 = 37\\). To oznacza, że coś poszło nie tak. Sprawdzamy obliczenia.\n4. **Poprawka:** Zrobiliśmy błąd w obliczeniach. Powtórzmy:\n\\(8 = a_1 + (14-1)(-3)\\)\n\\(8 = a_1 + 13(-3)\\)\n\\(8 = a_1 - 39\\)\n\\(a_1 = 8 + 39 = 47\\)\n\\(a_7 = 47 + (7-1)(-3) = 47 + 6(-3) = 47 - 18 = 29\\)\nW zadaniu jest błędne podane \\(a_7 = 37\\). Zatem musimy obliczyć \\(a_1\\) z podanego \\(a_7\\).\n\\(a_7 = a_1 + (7-1)r\\)\n\\(37 = a_1 + 6r\\)\nZnamy również \\(r = -3\\), więc:\n\\(37 = a_1 + 6(-3)\\)\n\\(37 = a_1 - 18\\)\n\\(a_1 = 37 + 18 = 55\\)\n5. **Sprawdzamy \\(a_{14}\\) z \\(a_1 = 55\\) i \\(r = -3\\):**\n\\(a_{14} = 55 + (14-1)(-3) = 55 + 13(-3) = 55 - 39 = 16\\)\nTo również nie jest 8. Zatem zadanie jest błędne. Jednak, zakładając, że podane dane są poprawne, musimy znaleźć \\(a_1\\) i \\(r\\) z podanych \\(a_{14} = 8\\) i \\(a_7 = 37\\).\n\\(a_{14} = a_1 + 13r = 8\\)\n\\(a_7 = a_1 + 6r = 37\\)\nOdejmując drugie równanie od pierwszego:\n\\(7r = -30\\)\n\\(r = -\\frac{30}{7}\\)\n\\(a_1 = 37 - 6r = 37 - 6(-\\frac{30}{7}) = 37 + \\frac{180}{7} = \\frac{259 + 180}{7} = \\frac{439}{7}\\)\nTo nie jest rozwiązanie.\n\n📖 Karta wzorów: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, strona 9\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego\n\n1. **Wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego:** \\(S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)\\)\n2. **Znajdujemy \\(a_7\\) i \\(a_{14}\\):** Z treści zadania \\(a_7 = 37\\) oraz \\(a_{14} = 8\\).\n3. **Podstawiamy do wzoru na sumę:** \\(S_7 = \\frac{7}{2}(a_1 + a_7) = \\frac{7}{2}(a_1 + 37)\\) i \\(S_{14} = \\frac{14}{2}(a_1 + a_{14}) = 7(a_1 + 8)\\)\n4. **Znamy wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego:** \\(S_n = \\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)r)\\)\n5. **Możemy obliczyć \\(a_1\\) i \\(r\\):**\n\\(S_7 = \\frac{7}{2}(2a_1 + 6r) = 7(a_1 + 3r)\\)\n\\(S_{14} = \\frac{14}{2}(2a_1 + 13r) = 7(2a_1 + 13r)\\)\n6. **Ustawiamy równania:**\n\\(7(a_1 + 3r) = 37\\)\n\\(7(2a_1 + 13r) = 8\\)\nRozwiązujemy układ równań.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B:** \\(log_a\\) - To jest logarytm, a nie wzór na wyraz ciągu arytmetycznego.\n* **C:** \\(a^r\\) - To jest potęga, a nie wzór na wyraz ciągu arytmetycznego.\n* **D:** \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) - To jest prawidłowy wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14. (0-1)
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa
3
2






Siódmy wyraz tego ciągu jest równy
A. 37
2
B.
37
2
C.
5
2
D. 5
2
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa -3/2. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy A. 37/2, B. -37/2, C. -5/2, D. 5/2.

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz
\n

i na sumę n początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego (5.3).
Wersja
I
Wersja
II
A
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{37}{2}\\)

\n

Sposób 1 - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego

\n

Dane:

\n\n

Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]

\n

Wyznaczam \\(a_1\\) - podstawiam \\(n = 14\\):
\\[a_{14} = a_1 + 13 \\cdot r\\]
\\[8 = a_1 + 13 \\cdot \\left(-\\frac{3}{2}\\right)\\]
\\[8 = a_1 - \\frac{39}{2}\\]
\\[a_1 = 8 + \\frac{39}{2} = \\frac{16}{2} + \\frac{39}{2} = \\frac{55}{2}\\]

\n

Wyznaczam \\(a_7\\) - podstawiam \\(n = 7\\):
\\[a_7 = a_1 + 6 \\cdot r = \\frac{55}{2} + 6 \\cdot \\left(-\\frac{3}{2}\\right) = \\frac{55}{2} - \\frac{18}{2} = \\mathbf{\\frac{37}{2}}\\]

\n

Sposób 2 - różnica między wyrazami bez wyznaczania \\(a_1\\)

\n

Zamiast liczyć \\(a_1\\), można przejść bezpośrednio od \\(a_{14}\\) do \\(a_7\\).

\n

Między \\(a_{14}\\) a \\(a_7\\) jest \\(14 - 7 = 7\\) kroków. Cofamy się (bo indeks maleje), więc dodajemy różnicę:
\\[a_7 = a_{14} - 7 \\cdot r\\]

\n

Uwaga: cofamy się o 7 kroków, więc odejmujemy \\(7r\\) od \\(a_{14}\\):
\\[a_7 = 8 - 7 \\cdot \\left(-\\frac{3}{2}\\right) = 8 + \\frac{21}{2} = \\frac{16}{2} + \\frac{21}{2} = \\mathbf{\\frac{37}{2}}\\]

\n

Ten sposób jest szybszy - omijamy obliczanie \\(a_1\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(a_1\\), a następnie \\(a_7\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B \\(\\left(-\\dfrac{37}{2}\\right)\\) | Uczeń poprawnie liczy \\(\\dfrac{37}{2}\\), ale zmienia znak - myli kierunek działania różnicy lub zapomina, że \\(a_7 = a_{14} - 7r\\), nie \\(a_{14} + 7r\\) z błędnym znakiem |
| C \\(\\left(-\\dfrac{5}{2}\\right)\\) | Uczeń zamiast cofnąć się o 7 kroków, posuwa się o 7 kroków do przodu: \\(a_7 = 8 + 7 \\cdot \\left(-\\dfrac{3}{2}\\right) = 8 - \\dfrac{21}{2} = -\\dfrac{5}{2}\\) - myli kierunek |
| D \\(\\left(\\dfrac{5}{2}\\right)\\) | Jak w C, ale dodatkowo zmienia znak końcowego wyniku |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Cofanie się w ciągu arytmetycznym - gdy szukamy wyrazu o mniejszym indeksie niż dany, różnicę odejmujemy (\\(a_7 = a_{14} - 7r\\)). Przy ujemnej różnicy \\(r < 0\\) odejmowanie \\(r\\) daje wzrost wartości - to mylące, ale matematycznie pewne!
\n
⚠️ Uwaga: Liczba kroków między \\(a_7\\) a \\(a_{14}\\) to \\(14 - 7 = 7\\), nie \\(14 - 7 - 1 = 6\\) ani \\(14 - 7 + 1 = 8\\). Łatwo się pomylić o jeden.
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(a_1\\) ze wzoru \\(a_{14} = a_1 + 13r\\) - współczynnik to \\(n - 1 = 13\\), nie \\(n = 14\\). Użycie \\(14r\\) zamiast \\(13r\\) to jeden z najczęstszych błędów w zadaniach z ciągami.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Wzór na wyraz \\(n\\)-ty
\n

\\(a_n = a_1 + (n-1)r\\). Mamy \\(a_{14} = 8\\), \\(r = -\\tfrac{3}{2}\\):
\\[a_1 + 13r = 8 \\Rightarrow a_1 = 8 - 13\\cdot(-\\tfrac{3}{2}) = 8 + \\tfrac{39}{2} = \\tfrac{16+39}{2} = \\tfrac{55}{2}.\\]

\n

Siódmy wyraz:
\\[a_7 = a_1 + 6r = \\tfrac{55}{2} + 6\\cdot(-\\tfrac{3}{2}) = \\tfrac{55}{2} - 9 = \\tfrac{55-18}{2} = \\tfrac{37}{2}.\\]

\n
Sposób 2 - Różnica \\(a_{14} - a_7\\)
\n

Między \\(a_7\\) a \\(a_{14}\\) jest \\(7\\) kroków: \\(a_{14} = a_7 + 7r\\).
\\[8 = a_7 + 7\\cdot(-\\tfrac{3}{2}) = a_7 - \\tfrac{21}{2}\\]
\\[a_7 = 8 + \\tfrac{21}{2} = \\tfrac{16+21}{2} = \\tfrac{37}{2}.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: zapamiętaj: \\(a_m = a_n + (m-n)r\\) - bez odgrzebywania \\(a_1\\).

\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Użycie wzorów na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i sprawdzanie
\n
  1. Znamy wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), gdzie \\(a_n\\) to n-ty wyraz, \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(r\\) to różnica.
  2. Znamy \\(a_{14}\\) i \\(r\\): \\(a_{14} = 8\\) oraz \\(r = -3\\). Podstawiamy do wzoru:
\n

\\(8 = a_1 + (14-1)(-3)\\)
\\(8 = a_1 + 13(-3)\\)
\\(8 = a_1 - 39\\)
\\(a_1 = 8 + 39 = 47\\)

\n
  1. Sprawdzamy \\(a_7\\): Używamy wzoru z \\(a_1\\) i \\(r\\):
\n

\\(a_7 = a_1 + (7-1)r = 47 + 6(-3) = 47 - 18 = 29\\)
Jednak w zadaniu podano, że \\(a_7 = 37\\). To oznacza, że coś poszło nie tak. Sprawdzamy obliczenia.

\n
  1. Poprawka: Zrobiliśmy błąd w obliczeniach. Powtórzmy:
\n

\\(8 = a_1 + (14-1)(-3)\\)
\\(8 = a_1 + 13(-3)\\)
\\(8 = a_1 - 39\\)
\\(a_1 = 8 + 39 = 47\\)
\\(a_7 = 47 + (7-1)(-3) = 47 + 6(-3) = 47 - 18 = 29\\)
W zadaniu jest błędne podane \\(a_7 = 37\\). Zatem musimy obliczyć \\(a_1\\) z podanego \\(a_7\\).
\\(a_7 = a_1 + (7-1)r\\)
\\(37 = a_1 + 6r\\)
Znamy również \\(r = -3\\), więc:
\\(37 = a_1 + 6(-3)\\)
\\(37 = a_1 - 18\\)
\\(a_1 = 37 + 18 = 55\\)

\n
  1. Sprawdzamy \\(a_{14}\\) z \\(a_1 = 55\\) i \\(r = -3\\):
\n

\\(a_{14} = 55 + (14-1)(-3) = 55 + 13(-3) = 55 - 39 = 16\\)
To również nie jest 8. Zatem zadanie jest błędne. Jednak, zakładając, że podane dane są poprawne, musimy znaleźć \\(a_1\\) i \\(r\\) z podanych \\(a_{14} = 8\\) i \\(a_7 = 37\\).
\\(a_{14} = a_1 + 13r = 8\\)
\\(a_7 = a_1 + 6r = 37\\)
Odejmując drugie równanie od pierwszego:
\\(7r = -30\\)
\\(r = -\\frac{30}{7}\\)
\\(a_1 = 37 - 6r = 37 - 6(-\\frac{30}{7}) = 37 + \\frac{180}{7} = \\frac{259 + 180}{7} = \\frac{439}{7}\\)
To nie jest rozwiązanie.

\n

📖 Karta wzorów: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, strona 9

\n
Sposób 2: Użycie wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego
\n
  1. Wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego: \\(S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)\\)
  2. Znajdujemy \\(a_7\\) i \\(a_{14}\\): Z treści zadania \\(a_7 = 37\\) oraz \\(a_{14} = 8\\).
  3. Podstawiamy do wzoru na sumę: \\(S_7 = \\frac{7}{2}(a_1 + a_7) = \\frac{7}{2}(a_1 + 37)\\) i \\(S_{14} = \\frac{14}{2}(a_1 + a_{14}) = 7(a_1 + 8)\\)
  4. Znamy wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego: \\(S_n = \\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)r)\\)
  5. Możemy obliczyć \\(a_1\\) i \\(r\\):
\n

\\(S_7 = \\frac{7}{2}(2a_1 + 6r) = 7(a_1 + 3r)\\)
\\(S_{14} = \\frac{14}{2}(2a_1 + 13r) = 7(2a_1 + 13r)\\)

\n
  1. Ustawiamy równania:
\n

\\(7(a_1 + 3r) = 37\\)
\\(7(2a_1 + 13r) = 8\\)
Rozwiązujemy układ równań.

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"}]}