{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nCiąg (\n)\n, 2\n3, 4\n3\nx\nx\nx\njest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy\nA.\n4\nB. 1\nC. 0\nD.\n1\nCiąg (x, 2x+3, 4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy A. -4, B. 1, C. 0, D. -1.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n5. Ciągi. Zdający bada, czy dany ciąg jest\narytmetyczny lub geometryczny (5.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nPierwszy wyraz ciągu jest równy \\(-1\\), bo \\(x = -1\\).\n\n## Sposób 1 - warunek ciągu geometrycznego (kwadrat wyrazu środkowego)\n\n**Kluczowy fakt:** W ciągu geometrycznym kwadrat dowolnego wyrazu wewnętrznego równa się iloczynowi jego sąsiadów:\n\\[a_n^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\n\nDla ciągu \\((x,\\ 2x+3,\\ 4x+3)\\) mamy \\(a_1 = x\\), \\(a_2 = 2x+3\\), \\(a_3 = 4x+3\\), więc:\n\\[(2x+3)^2 = x \\cdot (4x+3)\\]\n\nRozwijamy lewą stronę:\n\\[4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 + 3x\\]\n\nOdejmujemy \\(4x^2\\) od obu stron:\n\\[12x + 9 = 3x\\]\n\\[9x = -9\\]\n\\[\\boxed{x = -1}\\]\n\n**Sprawdzenie:** ciąg wynosi \\((-1,\\ 1,\\ -1)\\). Iloraz: \\(\\frac{1}{-1} = -1\\) i \\(\\frac{-1}{1} = -1\\). Stały iloraz \\(q = -1\\) - ciąg geometryczny ✓\n\nPierwszy wyraz: \\(x = \\mathbf{-1}\\).\n\n## Sposób 2 - równość ilorazów\n\nAlternatywnie: w ciągu geometrycznym iloraz sąsiednich wyrazów jest stały, więc:\n\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\]\n\\[\\frac{2x+3}{x} = \\frac{4x+3}{2x+3}\\]\n\nMnożymy na krzyż:\n\\[(2x+3)^2 = x(4x+3)\\]\n\nOtrzymujemy dokładnie to samo równanie co w Sposobie 1 - wynik ten sam: \\(x = -1\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\n\nUżyliśmy tej własności jako warunku wyznaczającego \\(x\\). To bezpośredni wzór z karty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\((-4)\\) | Podstawienie \\(x = -4\\): ciąg \\((-4,\\ -5,\\ -13)\\); iloraz \\(\\frac{-5}{-4} = \\frac{5}{4}\\) vs \\(\\frac{-13}{-5} = \\frac{13}{5}\\) - różne ilorazy, więc ciąg **nie** jest geometryczny. Odpowiedź ta mogła powstać przy błędnym rozwinięciu \\((2x+3)^2 = 4x^2 + 6x + 9\\) (pominięcie czynnika \\(2\\) przy \\(12x\\)) |\n| **B** \\((1)\\) | Podstawienie \\(x = 1\\): ciąg \\((1,\\ 5,\\ 7)\\); \\(\\frac{5}{1} \\neq \\frac{7}{5}\\) - nie jest geometryczny. Typowy błąd: pomylenie warunku z ciągiem **arytmetycznym** \\((a_2 - a_1 = a_3 - a_2)\\) |\n| **C** \\((0)\\) | Podstawienie \\(x = 0\\): ciąg \\((0,\\ 3,\\ 3)\\). **Ciąg geometryczny nie może zawierać zera** - iloraz \\(\\frac{3}{0}\\) jest nieokreślony! Uczniowie czasem ignorują ten warunek |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić warunku ciągu **geometrycznego** \\((a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\) z warunkiem ciągu **arytmetycznego** \\(2a_2 = a_1 + a_3\\). To dwa różne warunki - łatwo je pomylić pod presją czasu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu \\((2x+3)^2\\) pamiętaj o wzorze skróconego mnożenia: \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\). Środkowy wyraz \\(2 \\cdot 2x \\cdot 3 = 12x\\) łatwo przeoczyć lub pomylić z \\(6x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ciąg geometryczny **nie może mieć zerowego wyrazu** - zawsze sprawdź, czy wyznaczone \\(x\\) nie daje \\(a_1 = 0\\) (tu \\(x \\neq 0\\), więc jest ok, ale odpowiedź C właśnie na to pułapuje).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Własność ciągu geometrycznego\nDla ciągu geometrycznego środkowy wyraz jest **średnią geometryczną** sąsiadów - kwadrat środkowego = iloczyn sąsiadów:\n\\[(2x+3)^2 = x(4x+3).\\]\nRozwijamy:\n\\[4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 + 3x\\]\n\\[12x + 9 = 3x\\]\n\\[9x = -9 \\Rightarrow x = -1.\\]\n\n**Sprawdzenie:** dla \\(x = -1\\) ciąg to \\((-1, 1, -1)\\). Iloraz: \\(1/(-1) = -1\\), \\(-1/1 = -1\\). Stały iloraz ✓.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzanie odpowiedzi\n- \\(x = -4\\): ciąg \\((-4, -5, -13)\\). Iloraz \\(-5/-4 = 5/4\\), \\(-13/-5 = 13/5\\). Różne ✗.\n- \\(x = 1\\): ciąg \\((1, 5, 7)\\). Iloraz \\(5\\), \\(7/5\\). Różne ✗.\n- \\(x = 0\\): ciąg \\((0, 3, 3)\\). Pierwszy wyraz 0 → iloraz niezdefiniowany ✗.\n- \\(x = -1\\): ciąg \\((-1, 1, -1)\\). Iloraz \\(-1\\) stały ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-4\\)** - iloraz nie jest stały.\n- **B. \\(1\\)** - iloraz nie jest stały.\n- **C. \\(0\\)** - ciąg geometryczny wymaga niezerowych wyrazów (iloraz musi być zdefiniowany).\n\n**Pamiętaj:** dla ciągu geometrycznego \\(a_1 \\ne 0\\) (bo iloraz \\(a_2/a_1\\) musi istnieć).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Wykorzystanie wzoru na różnicę między wyrazami ciągu geometrycznego\n\n1. **Zdefiniowanie wyrazów ciągu:**\n* Pierwszy wyraz ciągu to \\(a_1 = x\\).\n* Drugi wyraz ciągu to \\(a_2 = 2x + 3\\).\n* Trzeci wyraz ciągu to \\(a_3 = 4x + 3\\).\n\n2. **Wzory na wyraz ciągu geometrycznego:**\n* Ogólny wyraz ciągu geometrycznego to \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\), gdzie \\(q\\) jest ilorazem.\n\n3. **Obliczenie ilorazu \\(q\\):**\n* Możemy obliczyć iloraz, korzystając z kolejnych wyrazów:\n* \\(q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{2x + 3}{x}\\)\n* \\(q = \\frac{a_3}{a_2} = \\frac{4x + 3}{2x + 3}\\)\n\n4. **Przyrównanie obu wyrażeń na \\(q\\):**\n* \\( \\frac{2x + 3}{x} = \\frac{4x + 3}{2x + 3} \\)\n\n5. **Rozwiązanie równania:**\n* Przekształcamy równanie:\n* \\( (2x + 3)^2 = x(4x + 3) \\)\n* \\( 4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 + 3x \\)\n* \\( 9x = -9 \\)\n* \\( x = -1 \\)\n\n6. **Weryfikacja:**\n* Podstawiamy \\(x = -1\\) do wyrazów ciągu:\n* \\(a_1 = x = -1\\)\n* \\(a_2 = 2x + 3 = 2(-1) + 3 = 1\\)\n* \\(a_3 = 4x + 3 = 4(-1) + 3 = -1\\)\n* Sprawdzamy, czy \\(a_1 \\cdot q^2 = a_3\\): \\(-1 \\cdot q^2 = -1 \\implies q^2 = 1 \\implies q = \\pm 1\\). To się zgadza.\n\n📖 Karta wzorów: s.9-10: Ciągi. arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; geom. aₙ=a₁·q^(n-1), Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q) (strona 9)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego i równanie z ilorazem\n\n1. **Zauważenie, że ciąg jest geometryczny:** Z treści zadania wiemy, że ciąg (x, 2x+3, 4x+3) jest geometryczny.\n\n2. **Wyrażenie sumy wyrazów ciągu:** Suma n wyrazów ciągu geometrycznego to \\(S_n = \\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\\). W naszym przypadku \\(a_1 = x\\) i mamy 3 wyrazy, więc \\(n=3\\).\n\n3. **Zapis sumy:** \\(S_3 = x + (2x+3) + (4x+3) = 7x + 6\\)\n\n4. **Wykorzystanie wzoru na sumę:** \\(S_3 = \\frac{x(1-q^3)}{1-q}\\)\n\n5. **Równanie z ilorazem:** Wiemy, że \\(a_2 = a_1 \\cdot q\\) i \\(a_3 = a_2 \\cdot q\\), czyli \\(2x+3 = x \\cdot q\\) oraz \\(4x+3 = (2x+3) \\cdot q\\). Z pierwszego równania: \\(q = \\frac{2x+3}{x}\\). Podstawiamy to do drugiego równania: \\(4x+3 = (2x+3) \\cdot \\frac{2x+3}{x}\\)\n\n6. **Rozwiązanie równania:**\n* \\(4x+3 = \\frac{(2x+3)^2}{x}\\)\n* \\(x(4x+3) = (2x+3)^2\\)\n* \\(4x^2 + 3x = 4x^2 + 12x + 9\\)\n* \\(0 = 9x + 9\\)\n* \\(x = -1\\)\n\n📖 Karta wzorów: s.5-6: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b (strona 5)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. -4:** Podstawienie -4 do wyrazów ciągu daje: -4, -8+3=-5, -16+3=-13, co nie jest ciągiem geometrycznym.\n* **B. 1:** Podstawienie 1 do wyrazów ciągu daje: 1, 5, 7, co nie jest ciągiem geometrycznym.\n* **C. 0:** Podstawienie 0 do wyrazów ciągu daje: 0, 3, 3, co nie jest ciągiem geometrycznym.\n* **D. -1:** Jak pokazano w sposobie 1, podstawiwszy x=-1 do wyrazów ciągu otrzymujemy ciąg geometryczny.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15. (0-1)
Ciąg (
)
, 2
3, 4
3
x
x
x
jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
A.
4
B. 1
C. 0
D.
1
Ciąg (x, 2x+3, 4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy A. -4, B. 1, C. 0, D. -1.

","answer_text_html":"

Zadanie 15. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Ciągi. Zdający bada, czy dany ciąg jest
\n

arytmetyczny lub geometryczny (5.2).
Wersja
I
Wersja
II
D
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

Pierwszy wyraz ciągu jest równy \\(-1\\), bo \\(x = -1\\).

\n

Sposób 1 - warunek ciągu geometrycznego (kwadrat wyrazu środkowego)

\n

Kluczowy fakt: W ciągu geometrycznym kwadrat dowolnego wyrazu wewnętrznego równa się iloczynowi jego sąsiadów:
\\[a_n^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]

\n

Dla ciągu \\((x,\\ 2x+3,\\ 4x+3)\\) mamy \\(a_1 = x\\), \\(a_2 = 2x+3\\), \\(a_3 = 4x+3\\), więc:
\\[(2x+3)^2 = x \\cdot (4x+3)\\]

\n

Rozwijamy lewą stronę:
\\[4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 + 3x\\]

\n

Odejmujemy \\(4x^2\\) od obu stron:
\\[12x + 9 = 3x\\]
\\[9x = -9\\]
\\[\\boxed{x = -1}\\]

\n

Sprawdzenie: ciąg wynosi \\((-1,\\ 1,\\ -1)\\). Iloraz: \\(\\frac{1}{-1} = -1\\) i \\(\\frac{-1}{1} = -1\\). Stały iloraz \\(q = -1\\) - ciąg geometryczny ✓

\n

Pierwszy wyraz: \\(x = \\mathbf{-1}\\).

\n

Sposób 2 - równość ilorazów

\n

Alternatywnie: w ciągu geometrycznym iloraz sąsiednich wyrazów jest stały, więc:
\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\]
\\[\\frac{2x+3}{x} = \\frac{4x+3}{2x+3}\\]

\n

Mnożymy na krzyż:
\\[(2x+3)^2 = x(4x+3)\\]

\n

Otrzymujemy dokładnie to samo równanie co w Sposobie 1 - wynik ten sam: \\(x = -1\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność ciągu geometrycznego:
\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]

\n

Użyliśmy tej własności jako warunku wyznaczającego \\(x\\). To bezpośredni wzór z karty.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A \\((-4)\\) | Podstawienie \\(x = -4\\): ciąg \\((-4,\\ -5,\\ -13)\\); iloraz \\(\\frac{-5}{-4} = \\frac{5}{4}\\) vs \\(\\frac{-13}{-5} = \\frac{13}{5}\\) - różne ilorazy, więc ciąg nie jest geometryczny. Odpowiedź ta mogła powstać przy błędnym rozwinięciu \\((2x+3)^2 = 4x^2 + 6x + 9\\) (pominięcie czynnika \\(2\\) przy \\(12x\\)) |
| B \\((1)\\) | Podstawienie \\(x = 1\\): ciąg \\((1,\\ 5,\\ 7)\\); \\(\\frac{5}{1} \\neq \\frac{7}{5}\\) - nie jest geometryczny. Typowy błąd: pomylenie warunku z ciągiem arytmetycznym \\((a_2 - a_1 = a_3 - a_2)\\) |
| C \\((0)\\) | Podstawienie \\(x = 0\\): ciąg \\((0,\\ 3,\\ 3)\\). Ciąg geometryczny nie może zawierać zera - iloraz \\(\\frac{3}{0}\\) jest nieokreślony! Uczniowie czasem ignorują ten warunek |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić warunku ciągu geometrycznego \\((a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\) z warunkiem ciągu arytmetycznego \\(2a_2 = a_1 + a_3\\). To dwa różne warunki - łatwo je pomylić pod presją czasu!
\n
⚠️ Uwaga: Przy rozwijaniu \\((2x+3)^2\\) pamiętaj o wzorze skróconego mnożenia: \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\). Środkowy wyraz \\(2 \\cdot 2x \\cdot 3 = 12x\\) łatwo przeoczyć lub pomylić z \\(6x\\).
\n
⚠️ Uwaga: Ciąg geometryczny nie może mieć zerowego wyrazu - zawsze sprawdź, czy wyznaczone \\(x\\) nie daje \\(a_1 = 0\\) (tu \\(x \\neq 0\\), więc jest ok, ale odpowiedź C właśnie na to pułapuje).
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Własność ciągu geometrycznego
\n

Dla ciągu geometrycznego środkowy wyraz jest średnią geometryczną sąsiadów - kwadrat środkowego = iloczyn sąsiadów:
\\[(2x+3)^2 = x(4x+3).\\]
Rozwijamy:
\\[4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 + 3x\\]
\\[12x + 9 = 3x\\]
\\[9x = -9 \\Rightarrow x = -1.\\]

\n

Sprawdzenie: dla \\(x = -1\\) ciąg to \\((-1, 1, -1)\\). Iloraz: \\(1/(-1) = -1\\), \\(-1/1 = -1\\). Stały iloraz ✓.

\n
Sposób 2 - Sprawdzanie odpowiedzi
\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: dla ciągu geometrycznego \\(a_1 \\ne 0\\) (bo iloraz \\(a_2/a_1\\) musi istnieć).

\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Wykorzystanie wzoru na różnicę między wyrazami ciągu geometrycznego
\n
  1. Zdefiniowanie wyrazów ciągu:
\n\n
  1. Wzory na wyraz ciągu geometrycznego:
\n\n
  1. Obliczenie ilorazu \\(q\\):
\n\n
  1. Przyrównanie obu wyrażeń na \\(q\\):
\n\n
  1. Rozwiązanie równania:
\n\n
  1. Weryfikacja:
\n\n

📖 Karta wzorów: s.9-10: Ciągi. arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; geom. aₙ=a₁·q^(n-1), Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q) (strona 9)

\n
Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego i równanie z ilorazem
\n
  1. Zauważenie, że ciąg jest geometryczny: Z treści zadania wiemy, że ciąg (x, 2x+3, 4x+3) jest geometryczny.
\n
  1. Wyrażenie sumy wyrazów ciągu: Suma n wyrazów ciągu geometrycznego to \\(S_n = \\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\\). W naszym przypadku \\(a_1 = x\\) i mamy 3 wyrazy, więc \\(n=3\\).
\n
  1. Zapis sumy: \\(S_3 = x + (2x+3) + (4x+3) = 7x + 6\\)
\n
  1. Wykorzystanie wzoru na sumę: \\(S_3 = \\frac{x(1-q^3)}{1-q}\\)
\n
  1. Równanie z ilorazem: Wiemy, że \\(a_2 = a_1 \\cdot q\\) i \\(a_3 = a_2 \\cdot q\\), czyli \\(2x+3 = x \\cdot q\\) oraz \\(4x+3 = (2x+3) \\cdot q\\). Z pierwszego równania: \\(q = \\frac{2x+3}{x}\\). Podstawiamy to do drugiego równania: \\(4x+3 = (2x+3) \\cdot \\frac{2x+3}{x}\\)
\n
  1. Rozwiązanie równania:
\n\n

📖 Karta wzorów: s.5-6: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b (strona 5)

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"}]}