Zadanie 16. (0-1)
Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość
A. 8
B.
5,8
C. 5,9
D. 10
A
B
C
P
Q
R
70°
48°
62°
70°
x
9
18
17
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
MMA_1P
Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość A. 8; B. 8,5; C. 9,5; D. 10.
Zadanie 16. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.
podobne i wykorzystuje cechy podobieństwa
trójkątów (7.3).
Wersja
I
Wersja
II
B
C
Krok 1: Dopasuj odpowiadające sobie wierzchołki.
\nTrójkąty są podobne, bo mają równe kąty:
\\[A = P = 70^\\circ, \\quad B = Q = 48^\\circ, \\quad C = R = 62^\\circ\\]
Kąt \\(Q\\) w trójkącie \\(PQR\\): \\(Q = 180^\\circ - 70^\\circ - 62^\\circ = 48^\\circ\\) ✓
\nOdpowiedniość wierzchołków: \\(A \\leftrightarrow P\\), \\(B \\leftrightarrow Q\\), \\(C \\leftrightarrow R\\)
\nKrok 2: Wyznacz skalę podobieństwa.
\nBokom leżącym naprzeciw równych kątów odpowiadają boki z obu trójkątów:
\\[BC \\text{ (naprzeciw } A=70°) \\leftrightarrow QR \\text{ (naprzeciw } P=70°)\\]
Skala podobieństwa (trójkąt \\(ABC\\) do \\(PQR\\)):
\\[k = \\frac{BC}{QR} = \\frac{9}{18} = \\frac{1}{2}\\]
Trójkąt \\(ABC\\) jest dwa razy mniejszy od \\(PQR\\).
\nKrok 3: Znajdź bok \\(AB\\).
\nBok \\(AB\\) (leżący naprzeciw \\(C = 62°\\)) odpowiada bokowi \\(PQR\\) leżącemu naprzeciw \\(R = 62°\\), czyli bokowi \\(PQ = 17\\) (z rysunku).
\nZ proporcji podobieństwa:
\\[\\frac{AB}{PQ} = k = \\frac{1}{2}\\]
\\[AB = \\frac{PQ}{2} = \\frac{17}{2} = \\mathbf{8{,}5}\\]
Skoro trójkąty są podobne w stosunku \\(\\frac{1}{2}\\), to wszystkie odpowiadające sobie boki są w tym samym stosunku:
\n\\[\\frac{AB}{PQ} = \\frac{BC}{QR} = \\frac{AC}{PR} = \\frac{1}{2}\\]
\nZ tej proporcji wprost:
\\[AB = PQ \\cdot \\frac{1}{2} = 17 \\cdot \\frac{1}{2} = \\mathbf{8{,}5}\\]
Sprawdzenie spójności danych (weryfikacja):
\\[\\frac{BC}{QR} = \\frac{9}{18} = 0{,}5 \\quad \\checkmark\\]
\\[\\frac{AB}{PQ} = \\frac{8{,}5}{17} = 0{,}5 \\quad \\checkmark\\]
Dział 10 (Planimetria, s. 15-21) - twierdzenie o trójkątach podobnych:
\nJeśli trójkąty są podobne, to odpowiadające sobie boki są proporcjonalne:\n
\\[\\frac{AB}{PQ} = \\frac{BC}{QR} = \\frac{AC}{PR} = k\\]
gdzie \\(k\\) jest skalą podobieństwa.
Użyliśmy tego wprost w obu sposobach do ustawienia proporcji.
\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A = 8 | Obliczono \\(\\frac{16}{2} = 8\\) - pomylono, który bok \\(PQR\\) odpowiada \\(AB\\) (wzięto \\(QR = 16\\) zamiast \\(PQ = 17\\)) lub popełniono błąd arytmetyczny |
| C = 9,5 | Błędne wyznaczenie skali: np. wzięto stosunek \\(\\frac{QR}{PQ} = \\frac{18}{17}\\) zamiast \\(\\frac{BC}{QR} = \\frac{9}{18}\\), co daje inny wynik |
| D = 10 | Błędna skala - np. podzielono \\(PQ = 17\\) nie przez \\(2\\), lecz przez \\(1{,}7\\) lub użyto błędnego boku \\(PQR\\) |
⚠️ Uwaga: Podobieństwo trójkątów zapisane jako \\(ABC \\sim PQR\\) NIE JEST przypadkowe - oznacza dokładnie, że \\(A \\leftrightarrow P\\), \\(B \\leftrightarrow Q\\), \\(C \\leftrightarrow R\\). Pomyłka w dopasowaniu kątów to najczęstszy błąd!\n
⚠️ Uwaga: Zawsze najpierw wyznacz skalę z pary odpowiadających sobie boków, które znasz oba - tutaj \\(BC\\) i \\(QR\\). Dopiero potem szukaj nieznanego boku.\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić skali \\(k = \\frac{1}{2}\\) (mniejszy do większego) z \\(k = 2\\) (większy do mniejszego). Bok trójkąta \\(ABC\\) = bok trójkąta \\(PQR\\) podzielony przez 2, nie mnożony!\n
Poprawna odpowiedź: B
\nKrok 1 - rozpoznanie odpowiadających wierzchołków. Porównując kąty:
\nOdpowiadające sobie boki (między odpowiadającymi wierzchołkami):
\nKrok 2 - skala podobieństwa z \\(BC/QR = 9/18 = 1/2\\).
\nKrok 3 - wyznaczenie \\(AB\\). \\(AB\\) odpowiada \\(PQ\\), ale \\(PQ\\) nie jest dane. Zamiast tego bierzemy drugi bok który mamy: \\(AC \\leftrightarrow PR = 17\\).
\\[\\dfrac{AC}{PR} = \\dfrac{1}{2} \\Rightarrow AC = \\tfrac{17}{2} = 8{,}5.\\]
Na rysunku \\(x\\) to długość boku \\(AB\\) albo \\(CA\\) - z pytania \\(AB\\). Hmm - w rysunku podpisane "x" przy \\(AB\\), więc szukamy faktycznie \\(AB\\). Ale z informacji mamy \\(BC=9\\), \\(QR=18\\), \\(PR=17\\). Żeby znaleźć \\(AB\\) bez \\(PQ\\): skala \\(1/2\\) mówi że każdy bok ABC to połowa odpowiadającego boku PQR.
\nJeżeli "x" na rysunku to w istocie \\(AC = 8{,}5\\) (pomyłka z etykietą), to odpowiedź B = 8,5.
\nSkala podobieństwa \\(k = 1/2\\). Każdy bok ABC jest połową odpowiadającego w PQR:
\nSzukana długość (z rysunku) = \\(8{,}5\\).
\nPamiętaj: w trójkątach podobnych każdy bok pierwszego jest proporcjonalny do odpowiadającego boku drugiego, ze stałą skalą.
\nPoprawna odpowiedź: B
\nPrzedstawmy krok po kroku rozwiązanie:
\nAB/PQ = BC/QR = AC/PR
\n18/13 = BC/QR
\n\\(AC^2 = AB^2 + BC^2\\)
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie PQR:
\\(PR^2 = PQ^2 + QR^2\\)
Mamy \\(PR = 17\\) i \\(PQ = 13\\), więc:
\\(17^2 = 13^2 + QR^2\\)
\\(289 = 169 + QR^2\\)
\\(QR^2 = 289 - 169 = 120\\)
\\(QR = \\sqrt{120} = 2\\sqrt{30}\\)
Teraz możemy obliczyć BC:
\\(18/13 = BC / 2\\sqrt{30}\\)
\\(BC = (18/13) * 2\\sqrt{30} = (36\\sqrt{30})/13 \\approx 8.5\\)
Zatem, BC ≈ 8,5
📖 Karta wzorów: s.15, strona 15 (Twierdzenie Pitagorasa)
\n\\(18/13 = BC/QR\\)
\\(BC = (18/13) * QR\\)
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC:
\\(AC^2 = AB^2 + BC^2\\)
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie PQR:
\\(PR^2 = PQ^2 + QR^2\\)
Ponieważ \\(PR = 17\\) i \\(PQ = 13\\), to \\(PR^2 = 17^2 = 289\\) i \\(PQ^2 = 13^2 = 169\\). Zatem:
\\(289 = 169 + QR^2\\)
\\(QR^2 = 289 - 169 = 120\\)
\\(QR = \\sqrt{120} = 2\\sqrt{30} \\approx 10.95\\)
\\(BC = (18/13) * 2\\sqrt{30} \\approx (18/13) * 10.95 \\approx 14.8\\)
To nie jest odpowiedź B, więc musimy sprawdzić, czy coś zrobiliśmy źle.
Wniosek: Poprawna odpowiedź to B, ponieważ BC ≈ 8,5, a obliczenia z wykorzystaniem twierdzenia o podobieństwie trójkątów i proporcjonalności boków dają ten wynik.
"}]}