{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nKąt α jest ostry i\n2\ntg\n3\nα =\n. Wtedy\nA.\n3 13\nsin\n26\nα =\nB.\n13\nsin\n13\nα =\nC.\n2 13\nsin\n13\nα =\nD.\n3 13\nsin\n13\nα =\nKąt α jest ostry i tgα = 2/3. Wtedy A. sinα = 3√13/26; B. sinα = √13/13, C. sinα = 2√13/13, D. sinα = 3√13/13.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n6. Trygonometria. Zdający, znając wartość\njednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza\nwartości pozostałych funkcji tego samego kąta\nostrego (6.5).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{2\\sqrt{13}}{13}\\]\n\n## Sposób 1 - Trójkąt prostokątny (z definicji)\n\nSkoro \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{2}{3}\\), to kąt \\(\\alpha\\) leży w trójkącie prostokątnym, gdzie:\n- przyprostokątna naprzeciwko kąta \\(\\alpha\\) ma długość **2**\n- przyprostokątna przy kącie \\(\\alpha\\) ma długość **3**\n\nObliczamy przeciwprostokątną (twierdzenie Pitagorasa):\n\n\\[c = \\sqrt{2^2 + 3^2} = \\sqrt{4 + 9} = \\sqrt{13}\\]\n\nZ definicji sinusa:\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna do kąta } \\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{2}{\\sqrt{13}}\\]\n\nRacjonalizujemy mianownik:\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{13}} = \\frac{2}{\\sqrt{13}} \\cdot \\frac{\\sqrt{13}}{\\sqrt{13}} = \\frac{2\\sqrt{13}}{13}\\]\n\n**Odpowiedź: C** \\(\\quad \\sin\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{13}}{13}\\)\n\n## Sposób 2 - Jedynka trygonometryczna\n\nZ jedynki trygonometrycznej i definicji tangensa wyrazimy \\(\\sin\\alpha\\) algebraicznie.\n\nWiemy, że \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{2}{3}\\), więc:\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{3}{2}\\sin\\alpha\\]\n\nPodstawiamy do jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\left(\\frac{3}{2}\\sin\\alpha\\right)^2 = 1\\]\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\frac{9}{4}\\sin^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\frac{4}{4}\\sin^2\\alpha + \\frac{9}{4}\\sin^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\frac{13}{4}\\sin^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\sin^2\\alpha = \\frac{4}{13}\\]\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{13}} = \\frac{2\\sqrt{13}}{13}\\]\n\n(bierzemy wartość dodatnią, bo \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, więc \\(\\sin\\alpha > 0\\))\n\n**Wynik zgodny: C** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{b}{c}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b}\\]\nUżyliśmy tych definicji w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\) bezpośrednio z trójkąta.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do algebraicznego wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - związek między funkcjami:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nKluczowy wzór w Sposobie 2 do wyrażenia \\(\\cos\\alpha\\) przez \\(\\sin\\alpha\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia długości przeciwprostokątnej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\(\\frac{3\\sqrt{13}}{26} = \\frac{3}{2\\sqrt{13}}\\) - pomylono sin z cos i dodatkowo podzielono przez 2; błąd przy „odwracaniu\" ułamka |\n| B | \\(\\frac{\\sqrt{13}}{13} = \\frac{1}{\\sqrt{13}}\\) - wynik dla \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{1}{3}\\) zamiast \\(\\frac{2}{3}\\); pominięto „2\" w liczniku |\n| D | \\(\\frac{3\\sqrt{13}}{13} = \\frac{3}{\\sqrt{13}}\\) - zamieniono sin z cos; to poprawna wartość \\(\\cos\\alpha\\), nie \\(\\sin\\alpha\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Bardzo łatwo pomylić, która przyprostokątna idzie do licznika, a która do mianownika. Zapamiętaj: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{naprzeciwko}}{\\text{przy}}\\), a \\(\\sin\\alpha = \\frac{\\text{naprzeciwko}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o **racjonalizacji mianownika** - odpowiedź \\(\\frac{2}{\\sqrt{13}}\\) jest poprawna matematycznie, ale na maturze odpowiedzi podawane są w postaci \\(\\frac{k\\sqrt{n}}{m}\\), więc musisz rozmnożyć przez \\(\\frac{\\sqrt{13}}{\\sqrt{13}}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 - gdy wyciągasz \\(\\sin\\alpha = \\sqrt{\\frac{4}{13}}\\), odrzucasz wartość ujemną, bo zadanie mówi wprost, że \\(\\alpha\\) jest kątem **ostrym**. Gdyby tego nie podano, musisz rozważyć obie możliwości.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt pitagorejski z \\(\\tan = 2/3\\)\nW trójkącie prostokątnym z kątem \\(\\alpha\\): przyprostokątna naprzeciw = 2, przyległa = 3. Przeciwprostokątna:\n\\[c = \\sqrt{2^2 + 3^2} = \\sqrt{13}.\\]\n\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{2}{\\sqrt{13}} = \\dfrac{2\\sqrt{13}}{13}.\\]\n\n### Sposób 2 - Tożsamości trygonometryczne\nZ \\(\\tan\\alpha = \\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\tfrac{2}{3}\\) oraz \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):\nz pierwszego: \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{2}\\sin\\alpha\\). Wstawiamy:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\tfrac{9}{4}\\sin^2\\alpha = 1 \\Rightarrow \\tfrac{13}{4}\\sin^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\sin^2\\alpha = \\tfrac{4}{13} \\Rightarrow \\sin\\alpha = \\tfrac{2}{\\sqrt{13}} = \\tfrac{2\\sqrt{13}}{13}.\\]\n(znak \\(+\\), bo \\(\\alpha\\) ostry)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{3\\sqrt{13}}{26}\\)** - wynik \\(\\tfrac{3}{2\\sqrt{13}}\\); błędne zastosowanie tożsamości.\n- **B. \\(\\tfrac{\\sqrt{13}}{13}\\)** - \\(\\tfrac{1}{\\sqrt{13}}\\); brak licznika 2.\n- **D. \\(\\tfrac{3\\sqrt{13}}{13}\\)** - \\(\\tfrac{3}{\\sqrt{13}}\\); to \\(\\cos\\alpha\\), nie \\(\\sin\\alpha\\).\n\n**Kluczowe:** \\(\\sin\\) = naprzeciw/przeciwprostokątna, \\(\\cos\\) = przyległa/przeciwprostokątna, \\(\\tan\\) = naprzeciw/przyległa.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie trójkąta prostokątnego i twierdzenia Pitagorasa\nW tym przypadku mamy ostry kąt α, więc możemy go przedstawić jako kąt w trójkącie prostokątnym. Załóżmy, że trójkąt prostokątny ma przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta α o długości 1. Z twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\(a^2 + b^2 = c^2\\)\n\ngdzie *c* jest przeciwprostokątną. Ponieważ sin α = przeciwprostokątna / hipotenusa, a hipotenusa w tym przypadku to 2, to:\n\n\\(sin α = \\frac{\\sqrt{13}}{2}\\)\n\nW tym przypadku, sin α = √13 / 2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>Kąt α jest ostry i<br>2<br>tg<br>3<br>α =<br>. Wtedy<br>A.<br>3 13<br>sin<br>26<br>α =<br>B.<br>13<br>sin<br>13<br>α =<br>C.<br>2 13<br>sin<br>13<br>α =<br>D.<br>3 13<br>sin<br>13<br>α =<br>Kąt α jest ostry i tgα = 2/3. Wtedy A. sinα = 3√13/26; B. sinα = √13/13, C. sinα = 2√13/13, D. sinα = 3√13/13.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>IV. Użycie i tworzenie<br>strategii.</p>\n<ol><li>Trygonometria. Zdający, znając wartość</li></ol>\n<p>jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza<br>wartości pozostałych funkcji tego samego kąta<br>ostrego (6.5).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>\\[\\sin\\alpha = \\frac{2\\sqrt{13}}{13}\\]</p>\n<h4>Sposób 1 - Trójkąt prostokątny (z definicji)</h4>\n<p>Skoro \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{2}{3}\\), to kąt \\(\\alpha\\) leży w trójkącie prostokątnym, gdzie:</p>\n<ul><li>przyprostokątna naprzeciwko kąta \\(\\alpha\\) ma długość <strong>2</strong></li><li>przyprostokątna przy kącie \\(\\alpha\\) ma długość <strong>3</strong></li></ul>\n<p>Obliczamy przeciwprostokątną (twierdzenie Pitagorasa):</p>\n<p>\\[c = \\sqrt{2^2 + 3^2} = \\sqrt{4 + 9} = \\sqrt{13}\\]</p>\n<p>Z definicji sinusa:</p>\n<p>\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna do kąta } \\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{2}{\\sqrt{13}}\\]</p>\n<p>Racjonalizujemy mianownik:</p>\n<p>\\[\\sin\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{13}} = \\frac{2}{\\sqrt{13}} \\cdot \\frac{\\sqrt{13}}{\\sqrt{13}} = \\frac{2\\sqrt{13}}{13}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: C</strong> \\(\\quad \\sin\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{13}}{13}\\)</p>\n<h4>Sposób 2 - Jedynka trygonometryczna</h4>\n<p>Z jedynki trygonometrycznej i definicji tangensa wyrazimy \\(\\sin\\alpha\\) algebraicznie.</p>\n<p>Wiemy, że \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{2}{3}\\), więc:</p>\n<p>\\[\\cos\\alpha = \\frac{3}{2}\\sin\\alpha\\]</p>\n<p>Podstawiamy do jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):</p>\n<p>\\[\\sin^2\\alpha + \\left(\\frac{3}{2}\\sin\\alpha\\right)^2 = 1\\]</p>\n<p>\\[\\sin^2\\alpha + \\frac{9}{4}\\sin^2\\alpha = 1\\]</p>\n<p>\\[\\frac{4}{4}\\sin^2\\alpha + \\frac{9}{4}\\sin^2\\alpha = 1\\]</p>\n<p>\\[\\frac{13}{4}\\sin^2\\alpha = 1\\]</p>\n<p>\\[\\sin^2\\alpha = \\frac{4}{13}\\]</p>\n<p>\\[\\sin\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{13}} = \\frac{2\\sqrt{13}}{13}\\]</p>\n<p>(bierzemy wartość dodatnią, bo \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, więc \\(\\sin\\alpha &gt; 0\\))</p>\n<p><strong>Wynik zgodny: C</strong> ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)</strong> - definicja funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego:<br>\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{b}{c}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b}\\]<br>Użyliśmy tych definicji w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\) bezpośrednio z trójkąta.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11)</strong> - jedynka trygonometryczna:<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]<br>Użyliśmy jej w Sposobie 2 do algebraicznego wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\).</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11)</strong> - związek między funkcjami:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]<br>Kluczowy wzór w Sposobie 2 do wyrażenia \\(\\cos\\alpha\\) przez \\(\\sin\\alpha\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[a^2 + b^2 = c^2\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia długości przeciwprostokątnej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | \\(\\frac{3\\sqrt{13}}{26} = \\frac{3}{2\\sqrt{13}}\\) - pomylono sin z cos i dodatkowo podzielono przez 2; błąd przy „odwracaniu&quot; ułamka |<br>| B | \\(\\frac{\\sqrt{13}}{13} = \\frac{1}{\\sqrt{13}}\\) - wynik dla \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{1}{3}\\) zamiast \\(\\frac{2}{3}\\); pominięto „2&quot; w liczniku |<br>| D | \\(\\frac{3\\sqrt{13}}{13} = \\frac{3}{\\sqrt{13}}\\) - zamieniono sin z cos; to poprawna wartość \\(\\cos\\alpha\\), nie \\(\\sin\\alpha\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Bardzo łatwo pomylić, która przyprostokątna idzie do licznika, a która do mianownika. Zapamiętaj: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{naprzeciwko}}{\\text{przy}}\\), a \\(\\sin\\alpha = \\frac{\\text{naprzeciwko}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie zapomnij o <strong>racjonalizacji mianownika</strong> - odpowiedź \\(\\frac{2}{\\sqrt{13}}\\) jest poprawna matematycznie, ale na maturze odpowiedzi podawane są w postaci \\(\\frac{k\\sqrt{n}}{m}\\), więc musisz rozmnożyć przez \\(\\frac{\\sqrt{13}}{\\sqrt{13}}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W Sposobie 2 - gdy wyciągasz \\(\\sin\\alpha = \\sqrt{\\frac{4}{13}}\\), odrzucasz wartość ujemną, bo zadanie mówi wprost, że \\(\\alpha\\) jest kątem <strong>ostrym</strong>. Gdyby tego nie podano, musisz rozważyć obie możliwości.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Trójkąt pitagorejski z \\(\\tan = 2/3\\)</h5>\n<p>W trójkącie prostokątnym z kątem \\(\\alpha\\): przyprostokątna naprzeciw = 2, przyległa = 3. Przeciwprostokątna:<br>\\[c = \\sqrt{2^2 + 3^2} = \\sqrt{13}.\\]<br>\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{2}{\\sqrt{13}} = \\dfrac{2\\sqrt{13}}{13}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Tożsamości trygonometryczne</h5>\n<p>Z \\(\\tan\\alpha = \\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\tfrac{2}{3}\\) oraz \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):<br>z pierwszego: \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{2}\\sin\\alpha\\). Wstawiamy:<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\tfrac{9}{4}\\sin^2\\alpha = 1 \\Rightarrow \\tfrac{13}{4}\\sin^2\\alpha = 1\\]<br>\\[\\sin^2\\alpha = \\tfrac{4}{13} \\Rightarrow \\sin\\alpha = \\tfrac{2}{\\sqrt{13}} = \\tfrac{2\\sqrt{13}}{13}.\\]<br>(znak \\(+\\), bo \\(\\alpha\\) ostry)</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\tfrac{3\\sqrt{13}}{26}\\)</strong> - wynik \\(\\tfrac{3}{2\\sqrt{13}}\\); błędne zastosowanie tożsamości.</li><li><strong>B. \\(\\tfrac{\\sqrt{13}}{13}\\)</strong> - \\(\\tfrac{1}{\\sqrt{13}}\\); brak licznika 2.</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{3\\sqrt{13}}{13}\\)</strong> - \\(\\tfrac{3}{\\sqrt{13}}\\); to \\(\\cos\\alpha\\), nie \\(\\sin\\alpha\\).</li></ul>\n<p><strong>Kluczowe:</strong> \\(\\sin\\) = naprzeciw/przeciwprostokątna, \\(\\cos\\) = przyległa/przeciwprostokątna, \\(\\tan\\) = naprzeciw/przyległa.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie trójkąta prostokątnego i twierdzenia Pitagorasa</h5>\n<p>W tym przypadku mamy ostry kąt α, więc możemy go przedstawić jako kąt w trójkącie prostokątnym. Załóżmy, że trójkąt prostokątny ma przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta α o długości 1. Z twierdzenia Pitagorasa:</p>\n<p>\\(a^2 + b^2 = c^2\\)</p>\n<p>gdzie <em>c</em> jest przeciwprostokątną. Ponieważ sin α = przeciwprostokątna / hipotenusa, a hipotenusa w tym przypadku to 2, to:</p>\n<p>\\(sin α = \\frac{\\sqrt{13}}{2}\\)</p>\n<p>W tym przypadku, sin α = √13 / 2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13/2. Zatem, sin α = √13</p>"}]}