{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nZ odcinków o długościach: 5, 2\n1\na + ,\n1\na - można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika\nstąd, że\nA.\n6\na =\nB.\n4\na =\nC.\n3\na =\nD.\n2\na =\nZ odcinków o długościach: 5, 2a+1, a-1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że A. a = 6; B. a = 4; C. a = -3; D. a = 2.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nSP9. Wielokąty, koła, okręgi. Zdający ustala\nmożliwość zbudowania trójkąta (SP9.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(a = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Analiza przypadków (które boki są równe?)\n\nW **trójkącie równoramiennym** dwa boki muszą być sobie równe. Mamy boki \\(5\\), \\(2a+1\\) i \\(a-1\\), więc możliwe są **trzy przypadki**:\n\n**Przypadek 1:** \\(5 = 2a+1\\)\n\n\\[2a + 1 = 5 \\implies 2a = 4 \\implies a = 2\\]\n\nBoki trójkąta: \\(5, \\ 5, \\ a-1 = 1\\).\n\nSprawdzamy **nierówność trójkąta** (każdy bok < suma dwóch pozostałych):\n\n\\[5 + 5 = 10 > 1 \\checkmark, \\quad 5 + 1 = 6 > 5 \\checkmark\\]\n\n**Trójkąt istnieje!** \\(\\Rightarrow a = 2\\) **jest poprawne.**\n\n**Przypadek 2:** \\(5 = a - 1\\)\n\n\\[a - 1 = 5 \\implies a = 6\\]\n\nBoki trójkąta: \\(5, \\ 5, \\ 2a+1 = 13\\).\n\nSprawdzamy nierówność trójkąta:\n\n\\[5 + 5 = 10 \\not> 13 \\quad \\times\\]\n\n**Trójkąt nie istnieje** - suma dwóch krótszych boków nie przekracza najdłuższego. \\(\\Rightarrow a = 6\\) **odpada.**\n\n**Przypadek 3:** \\(2a + 1 = a - 1\\)\n\n\\[2a + 1 = a - 1 \\implies a = -2\\]\n\nWówczas \\(a - 1 = -3 < 0\\) - **ujemna długość boku, więc niemożliwe.** \\(\\Rightarrow a = -2\\) **odpada.**\n\n**Wniosek:** Jedyną wartością, dla której można zbudować trójkąt równoramienny, jest \\(\\boxed{a = 2}\\).\n\n## Sposób 2 - Sprawdzenie każdej odpowiedzi z ABCD\n\nPodstawiamy każdą z podanych wartości \\(a\\) i sprawdzamy, czy boki tworzą trójkąt równoramienny:\n\n| Odp. | \\(a\\) | Boki: \\(5,\\ 2a{+}1,\\ a{-}1\\) | Dwa równe? | Nierówność trójkąta |\n| A | 6 | \\(5,\\ 13,\\ 5\\) | ✓ (dwa boki = 5) | \\(5+5=10 \\not> 13\\) ❌ |\n| B | 4 | \\(5,\\ 9,\\ 3\\) | ❌ żadne dwa równe | - |\n| C | 3 | \\(5,\\ 7,\\ 2\\) | ❌ żadne dwa równe | - |\n| **D** | **2** | **\\(5,\\ 5,\\ 1\\)** | **✓ (dwa boki = 5)** | **\\(5+1=6>5\\) ✓** |\n\nTylko \\(a = 2\\) daje poprawny trójkąt równoramienny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy:\n- definicja **trójkąta równoramiennego** (dwa boki równej długości),\n- **nierówność trójkąta**: każdy bok trójkąta musi być **mniejszy** od sumy dwóch pozostałych.\n\nNierówność trójkąta to wiedza podstawowa - nie jest wypisana jako osobny wzór na karcie, ale twierdzenie cosinusów (Dział 10, s. 16) pośrednio z niej wynika.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A (\\(a=6\\)) | Uczeń poprawnie zauważa, że \\(5 = a-1\\) daje dwa równe boki (\\(5, 5, 13\\)), ale **zapomina sprawdzić nierówność trójkąta** - suma dwóch krótszych boków \\(5+5=10 < 13\\), więc trójkąt nie istnieje |\n| B (\\(a=4\\)) | Żadne dwa boki nie są równe (\\(5, 9, 3\\)) - to w ogóle nie jest trójkąt równoramienny; uczeń mógł np. pomylić się w obliczeniach |\n| C (\\(a=3\\)) | Podobnie - boki \\(5, 7, 2\\) nie mają dwóch równych; brak poprawnej analizy przypadków |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt równoramienny to **nie tylko** dwa równe boki - boki te muszą jeszcze spełniać **nierówność trójkąta**. Odpowiedź A (\\(a = 6\\)) jest klasyczną pułapką - kusi, bo daje dwa równe boki, ale trójkąt fizycznie nie istnieje.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Są **trzy** możliwe pary równych boków - pamiętaj o sprawdzeniu wszystkich trzech przypadków (\\(5 = 2a+1\\), \\(5 = a-1\\), \\(2a+1 = a-1\\)), inaczej możesz pominąć jedyne poprawne rozwiązanie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj, czy wyznaczona wartość \\(a\\) daje **dodatnie długości boków** - dla \\(a = -2\\) bok \\(a-1 = -3\\) jest ujemny, co jest fizycznie niemożliwe.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Rozważenie przypadków równoramienności\nTrójkąt równoramienny: dwa boki równe. Trzy przypadki:\n\n**Przypadek 1:** \\(5 = 2a+1 \\Rightarrow a = 2\\). Boki: \\(5, 5, 1\\).\nSprawdzamy nierówność trójkąta: \\(5 < 5 + 1 = 6\\) ✓. Trójkąt istnieje.\n\n**Przypadek 2:** \\(5 = a-1 \\Rightarrow a = 6\\). Boki: \\(5, 13, 5\\).\nSprawdzamy: \\(13 < 5 + 5 = 10\\)? NIE (13 > 10). Trójkąt **nie** istnieje.\n\n**Przypadek 3:** \\(2a+1 = a-1 \\Rightarrow a = -2\\). Długości byłyby ujemne - odrzucamy.\n\nTylko \\(a = 2\\) daje trójkąt.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzanie każdej odpowiedzi\n- \\(a = 6\\): boki \\(5, 13, 5\\). \\(13 > 10\\), trójkąt **nie istnieje**.\n- \\(a = 4\\): boki \\(5, 9, 3\\). Żadne dwa nie są równe → nie równoramienny.\n- \\(a = 3\\): boki \\(5, 7, 2\\). Żadne dwa nie są równe.\n- \\(a = 2\\): boki \\(5, 5, 1\\). Dwa równe ✓, nierówność trójkąta ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a = 6\\)** - naruszenie nierówności trójkąta (suma dwóch krótszych < najdłuższy).\n- **B. \\(a = 4\\)** - trójkąt istnieje (3+5>9? nie, 8<9, więc też nie), ale nie równoramienny.\n- **C. \\(a = 3\\)** - nie równoramienny (boki wszystkie różne).\n\n**Kluczowa zasada:** trójkąt istnieje \\(\\iff\\) suma dowolnych dwóch boków > trzeci bok.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie twierdzenia o trzech prostych i trójkąta równoramiennego\n\n1. **Zrozumienie zadania:** Mamy trzy odcinki o długościach 5, 2a+1 i a-1. Z tych odcinków możemy zbudować trójkąt równoramienny. Oznacza to, że z tych odcinków możemy utworzyć trójkąt, w którym dwie ramiona mają równe długości.\n\n2. **Rysunek:** Narysujmy trójkąt równoramienny. Odcinki 5 i 2a+1 będą ramionami trójkąta, a odcinek a-1 będzie podstawą.\n\n3. **Zastosowanie twierdzenia o trzech prostych:** W trójkącie równoramiennym, podstawa jest podzielona na dwie części przez odpowiednie wysokości. Ponieważ trójkąt jest równoramienny, wystarczy, że podstawą jest odcinek a-1. Oznacza to, że odcinek 5 musi być podzielony na dwie części, a odcinek 2a+1 również. Wysokość trójkąta dzieli podstawę na odcinki o długościach x i (a-1)-x, gdzie x to długość jednego z odcinków podstawy.\n\n4. **Ustalenie zależności:** Z definicji trójkąta równoramiennego wiemy, że ramiona mają równe długości. Zatem:\n* 5 = 2a + 1\n* 5 = a - 1\n\n5. **Rozwiązanie równań:** Rozwiążmy pierwsze równanie:\n5 = 2a + 1\n4 = 2a\na = 2\n\nRozwiążmy drugie równanie:\n5 = a - 1\na = 6\n\nPonieważ musimy zbudować trójkąt równoramienny, a-1 musi być dodatnie, więc a > 1. Zatem a=2 jest prawidłowe. Sprawdźmy, czy trójkąt jest możliwy do zbudowania z tych odcinków:\n* Długość ramienia: 2a+1 = 2(2)+1 = 5\n* Długość podstawy: a-1 = 2-1 = 1\n* Długość podstawy: 5\n\nW takim przypadku trójkąt nie jest równoramienny. Musimy rozważyć inne możliwości.\n\n6. **Kluczowe rozumowanie:** Zauważmy, że jeśli a=2, to 2a+1 = 5 i a-1 = 1. Wtedy podstawą jest odcinek o długości 1, a ramionami odcinki o długości 5. Trójkąt równoramienny musi mieć ramiona równe, więc musimy zmienić sposób budowy trójkąta.\n\n7. **Poprawne rozwiązanie:** Jeśli a=6, to 2a+1 = 13 i a-1 = 5. Wtedy podstawą jest odcinek o długości 5, a ramionami odcinki o długości 13. Trójkąt równoramienny musi mieć ramiona równe, więc musimy zmienić sposób budowy trójkąta.\n\n8. **Zatem a=2 jest błędne, a a=6 jest prawidłowe.** Zatem, aby trójkąt mógł powstać, a-1 musi być mniejsze od 5 i 2a+1 musi być mniejsze od 5.\n\n9. **Sprawdzenie:** Jeśli a=6, to 2a+1 = 13 i a-1 = 5. Aby zbudować trójkąt, suma długości dwóch dowolnych odcinków musi być większa niż długość trzeciego odcinka.\n* 5 + 2a + 1 > a - 1 => 6 + 2a > a - 1 => a > -7 (zawsze spełnione, bo a>1)\n* 5 + a - 1 > 2a + 1 => 4 + a > 2a + 1 => a < 3\n* 2a + 1 + a - 1 > 5 => 3a > 5 => a > 5/3\n\nZatem a musi być mniejsze od 3 i większe od 5/3. W tym przypadku nie możemy zbudować trójkąta równoramiennego.\n\n### Sposób 2: Analiza przypadków i wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa\n\n1. **Zrozumienie zadania:** Podobnie jak w sposobie 1, musimy znaleźć wartość *a* taką, że z odcinków 5, 2a+1 i a-1 można zbudować trójkąt równoramienny.\n\n2. **Twierdzenie Pitagorasa:** W trójkącie równoramiennym, suma kwadratów długości ramion jest równa kwadratowi długości podstawy. Zatem, jeśli podstawą jest odcinek o długości *x*, to ramiona mają długości *y* i *y*.\n\n3. **Przypadki:** Rozważmy różne możliwości, jak można wykorzystać odcinki do utworzenia trójkąta równoramiennego.\n\n4. **Przypadek 1:** Podstawa to odcinek a-1. Wtedy ramiona to 5 i 2a+1. Z twierdzenia Pitagorasa:\n(a-1)² + 5² = (2a+1)²\na² - 2a + 1 + 25 = 4a² + 4a + 1\n3a² + 6a - 25 = 0\nΔ = 6² - 4 * 3 * (-25) = 36 + 300 = 336\na = (-6 ± √336) / 6 = (-6 ± 4√21) / 6 = (-3 ± 2√21) / 3\nPonieważ a > 1, a = (-3 + 2√21) / 3 ≈ 3.93, co nie pasuje do podanych odcinków.\n\n5. **Przypadek 2:** Podstawa to odcinek 5. Wtedy ramiona to 2a+1 i a-1.\n5² + (2a+1)² = (a-1)²\n25 + 4a² + 4a + 1 = a² - 2a + 1\n3a² + 6a + 25 = 0\nΔ = 6² - 4 * 3 * 25 = 36 - 300 = -264\nPonieważ Δ < 0, nie ma rozwiązań rzeczywistych dla *a*.\n\n6. **Przypadek 3:** Podstawa to odcinek 2a+1. Wtedy ramiona to 5 i a-1.\n(2a+1)² + 5² = (a-1)²\n4a² + 4a + 1 + 25 = a² - 2a + 1\n3a² + 6a + 25 = 0\nΔ = 6² - 4 * 3 * 25 = 36 - 300 = -264\nPonieważ Δ < 0, nie ma rozwiązań rzeczywistych dla *a*.\n\n7. **Kluczowe rozumowanie:** Zauważmy, że w żadnym z przypadków nie otrzymaliśmy wartości *a*, która spełniałaby warunki zadania. Wszystko wskazuje na to, że trójkąt równoramienny nie może być zbudowany z tych odcinków.\n\n📖 Karta wzorów: [S.15] Tw. cosinusów, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(a = 6\\)**: Jak pokazano w sposobie 1, jeśli a=6, to trójkąt nie może być zbudowany z podanych odcinków.\n* **B. \\(a = 4\\)**: Podobnie jak w przypadku a=6, trójkąt nie może być zbudowany.\n* **C. \\(a = 3\\)**: Podobnie jak w przypadku a=6, trójkąt nie może być zbudowany.\n* **D. \\(a = 2\\)**: Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do przypadku a=2 prowadzi do trójkąta, który spełnia warunki zadania. W tym przypadku, podstawą jest odcinek o długości 1, a ramionami odcinki o długości 5. Trójkąt","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 18. (0-1)
Z odcinków o długościach: 5, 2
1
a + ,
1
a - można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika
stąd, że
A.
6
a =
B.
4
a =
C.
3
a =
D.
2
a =
Z odcinków o długościach: 5, 2a+1, a-1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że A. a = 6; B. a = 4; C. a = -3; D. a = 2.

","answer_text_html":"

Zadanie 18. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
SP9. Wielokąty, koła, okręgi. Zdający ustala
możliwość zbudowania trójkąta (SP9.2).
Wersja
I
Wersja
II
D
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(a = 2\\)

\n

Sposób 1 - Analiza przypadków (które boki są równe?)

\n

W trójkącie równoramiennym dwa boki muszą być sobie równe. Mamy boki \\(5\\), \\(2a+1\\) i \\(a-1\\), więc możliwe są trzy przypadki:

\n

Przypadek 1: \\(5 = 2a+1\\)

\n

\\[2a + 1 = 5 \\implies 2a = 4 \\implies a = 2\\]

\n

Boki trójkąta: \\(5, \\ 5, \\ a-1 = 1\\).

\n

Sprawdzamy nierówność trójkąta (każdy bok < suma dwóch pozostałych):

\n

\\[5 + 5 = 10 > 1 \\checkmark, \\quad 5 + 1 = 6 > 5 \\checkmark\\]

\n

Trójkąt istnieje! \\(\\Rightarrow a = 2\\) jest poprawne.

\n

Przypadek 2: \\(5 = a - 1\\)

\n

\\[a - 1 = 5 \\implies a = 6\\]

\n

Boki trójkąta: \\(5, \\ 5, \\ 2a+1 = 13\\).

\n

Sprawdzamy nierówność trójkąta:

\n

\\[5 + 5 = 10 \\not> 13 \\quad \\times\\]

\n

Trójkąt nie istnieje - suma dwóch krótszych boków nie przekracza najdłuższego. \\(\\Rightarrow a = 6\\) odpada.

\n

Przypadek 3: \\(2a + 1 = a - 1\\)

\n

\\[2a + 1 = a - 1 \\implies a = -2\\]

\n

Wówczas \\(a - 1 = -3 < 0\\) - ujemna długość boku, więc niemożliwe. \\(\\Rightarrow a = -2\\) odpada.

\n

Wniosek: Jedyną wartością, dla której można zbudować trójkąt równoramienny, jest \\(\\boxed{a = 2}\\).

\n

Sposób 2 - Sprawdzenie każdej odpowiedzi z ABCD

\n

Podstawiamy każdą z podanych wartości \\(a\\) i sprawdzamy, czy boki tworzą trójkąt równoramienny:

\n

| Odp. | \\(a\\) | Boki: \\(5,\\ 2a{+}1,\\ a{-}1\\) | Dwa równe? | Nierówność trójkąta |
| A | 6 | \\(5,\\ 13,\\ 5\\) | ✓ (dwa boki = 5) | \\(5+5=10 \\not> 13\\) ❌ |
| B | 4 | \\(5,\\ 9,\\ 3\\) | ❌ żadne dwa równe | - |
| C | 3 | \\(5,\\ 7,\\ 2\\) | ❌ żadne dwa równe | - |
| D | 2 | \\(5,\\ 5,\\ 1\\) | ✓ (dwa boki = 5) | \\(5+1=6>5\\) ✓ |

\n

Tylko \\(a = 2\\) daje poprawny trójkąt równoramienny.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy:

\n\n

Nierówność trójkąta to wiedza podstawowa - nie jest wypisana jako osobny wzór na karcie, ale twierdzenie cosinusów (Dział 10, s. 16) pośrednio z niej wynika.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A (\\(a=6\\)) | Uczeń poprawnie zauważa, że \\(5 = a-1\\) daje dwa równe boki (\\(5, 5, 13\\)), ale zapomina sprawdzić nierówność trójkąta - suma dwóch krótszych boków \\(5+5=10 < 13\\), więc trójkąt nie istnieje |
| B (\\(a=4\\)) | Żadne dwa boki nie są równe (\\(5, 9, 3\\)) - to w ogóle nie jest trójkąt równoramienny; uczeń mógł np. pomylić się w obliczeniach |
| C (\\(a=3\\)) | Podobnie - boki \\(5, 7, 2\\) nie mają dwóch równych; brak poprawnej analizy przypadków |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Trójkąt równoramienny to nie tylko dwa równe boki - boki te muszą jeszcze spełniać nierówność trójkąta. Odpowiedź A (\\(a = 6\\)) jest klasyczną pułapką - kusi, bo daje dwa równe boki, ale trójkąt fizycznie nie istnieje.
\n
⚠️ Uwaga: Są trzy możliwe pary równych boków - pamiętaj o sprawdzeniu wszystkich trzech przypadków (\\(5 = 2a+1\\), \\(5 = a-1\\), \\(2a+1 = a-1\\)), inaczej możesz pominąć jedyne poprawne rozwiązanie.
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdzaj, czy wyznaczona wartość \\(a\\) daje dodatnie długości boków - dla \\(a = -2\\) bok \\(a-1 = -3\\) jest ujemny, co jest fizycznie niemożliwe.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Rozważenie przypadków równoramienności
\n

Trójkąt równoramienny: dwa boki równe. Trzy przypadki:

\n

Przypadek 1: \\(5 = 2a+1 \\Rightarrow a = 2\\). Boki: \\(5, 5, 1\\).
Sprawdzamy nierówność trójkąta: \\(5 < 5 + 1 = 6\\) ✓. Trójkąt istnieje.

\n

Przypadek 2: \\(5 = a-1 \\Rightarrow a = 6\\). Boki: \\(5, 13, 5\\).
Sprawdzamy: \\(13 < 5 + 5 = 10\\)? NIE (13 > 10). Trójkąt nie istnieje.

\n

Przypadek 3: \\(2a+1 = a-1 \\Rightarrow a = -2\\). Długości byłyby ujemne - odrzucamy.

\n

Tylko \\(a = 2\\) daje trójkąt.

\n
Sposób 2 - Sprawdzanie każdej odpowiedzi
\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Kluczowa zasada: trójkąt istnieje \\(\\iff\\) suma dowolnych dwóch boków > trzeci bok.

\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Użycie twierdzenia o trzech prostych i trójkąta równoramiennego
\n
  1. Zrozumienie zadania: Mamy trzy odcinki o długościach 5, 2a+1 i a-1. Z tych odcinków możemy zbudować trójkąt równoramienny. Oznacza to, że z tych odcinków możemy utworzyć trójkąt, w którym dwie ramiona mają równe długości.
\n
  1. Rysunek: Narysujmy trójkąt równoramienny. Odcinki 5 i 2a+1 będą ramionami trójkąta, a odcinek a-1 będzie podstawą.
\n
  1. Zastosowanie twierdzenia o trzech prostych: W trójkącie równoramiennym, podstawa jest podzielona na dwie części przez odpowiednie wysokości. Ponieważ trójkąt jest równoramienny, wystarczy, że podstawą jest odcinek a-1. Oznacza to, że odcinek 5 musi być podzielony na dwie części, a odcinek 2a+1 również. Wysokość trójkąta dzieli podstawę na odcinki o długościach x i (a-1)-x, gdzie x to długość jednego z odcinków podstawy.
\n
  1. Ustalenie zależności: Z definicji trójkąta równoramiennego wiemy, że ramiona mają równe długości. Zatem:
\n\n
  1. Rozwiązanie równań: Rozwiążmy pierwsze równanie:
\n

5 = 2a + 1
4 = 2a
a = 2

\n

Rozwiążmy drugie równanie:
5 = a - 1
a = 6

\n

Ponieważ musimy zbudować trójkąt równoramienny, a-1 musi być dodatnie, więc a > 1. Zatem a=2 jest prawidłowe. Sprawdźmy, czy trójkąt jest możliwy do zbudowania z tych odcinków:

\n\n

W takim przypadku trójkąt nie jest równoramienny. Musimy rozważyć inne możliwości.

\n
  1. Kluczowe rozumowanie: Zauważmy, że jeśli a=2, to 2a+1 = 5 i a-1 = 1. Wtedy podstawą jest odcinek o długości 1, a ramionami odcinki o długości 5. Trójkąt równoramienny musi mieć ramiona równe, więc musimy zmienić sposób budowy trójkąta.
\n
  1. Poprawne rozwiązanie: Jeśli a=6, to 2a+1 = 13 i a-1 = 5. Wtedy podstawą jest odcinek o długości 5, a ramionami odcinki o długości 13. Trójkąt równoramienny musi mieć ramiona równe, więc musimy zmienić sposób budowy trójkąta.
\n
  1. Zatem a=2 jest błędne, a a=6 jest prawidłowe. Zatem, aby trójkąt mógł powstać, a-1 musi być mniejsze od 5 i 2a+1 musi być mniejsze od 5.
\n
  1. Sprawdzenie: Jeśli a=6, to 2a+1 = 13 i a-1 = 5. Aby zbudować trójkąt, suma długości dwóch dowolnych odcinków musi być większa niż długość trzeciego odcinka.
\n\n

Zatem a musi być mniejsze od 3 i większe od 5/3. W tym przypadku nie możemy zbudować trójkąta równoramiennego.

\n
Sposób 2: Analiza przypadków i wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa
\n
  1. Zrozumienie zadania: Podobnie jak w sposobie 1, musimy znaleźć wartość a taką, że z odcinków 5, 2a+1 i a-1 można zbudować trójkąt równoramienny.
\n
  1. Twierdzenie Pitagorasa: W trójkącie równoramiennym, suma kwadratów długości ramion jest równa kwadratowi długości podstawy. Zatem, jeśli podstawą jest odcinek o długości x, to ramiona mają długości y i y.
\n
  1. Przypadki: Rozważmy różne możliwości, jak można wykorzystać odcinki do utworzenia trójkąta równoramiennego.
\n
  1. Przypadek 1: Podstawa to odcinek a-1. Wtedy ramiona to 5 i 2a+1. Z twierdzenia Pitagorasa:
\n

(a-1)² + 5² = (2a+1)²
a² - 2a + 1 + 25 = 4a² + 4a + 1
3a² + 6a - 25 = 0
Δ = 6² - 4 * 3 * (-25) = 36 + 300 = 336
a = (-6 ± √336) / 6 = (-6 ± 4√21) / 6 = (-3 ± 2√21) / 3
Ponieważ a > 1, a = (-3 + 2√21) / 3 ≈ 3.93, co nie pasuje do podanych odcinków.

\n
  1. Przypadek 2: Podstawa to odcinek 5. Wtedy ramiona to 2a+1 i a-1.
\n

5² + (2a+1)² = (a-1)²
25 + 4a² + 4a + 1 = a² - 2a + 1
3a² + 6a + 25 = 0
Δ = 6² - 4 * 3 * 25 = 36 - 300 = -264
Ponieważ Δ < 0, nie ma rozwiązań rzeczywistych dla a.

\n
  1. Przypadek 3: Podstawa to odcinek 2a+1. Wtedy ramiona to 5 i a-1.
\n

(2a+1)² + 5² = (a-1)²
4a² + 4a + 1 + 25 = a² - 2a + 1
3a² + 6a + 25 = 0
Δ = 6² - 4 * 3 * 25 = 36 - 300 = -264
Ponieważ Δ < 0, nie ma rozwiązań rzeczywistych dla a.

\n
  1. Kluczowe rozumowanie: Zauważmy, że w żadnym z przypadków nie otrzymaliśmy wartości a, która spełniałaby warunki zadania. Wszystko wskazuje na to, że trójkąt równoramienny nie może być zbudowany z tych odcinków.
\n

📖 Karta wzorów: [S.15] Tw. cosinusów, strona 15

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"}]}