{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nW układzie współrzędnych dane są punkty\n(\n)\n, 6\nA\na\noraz\n(\n)\n7,\nB\nb\n. Środkiem odcinka AB\njest punkt\n(\n)\n3, 4\nM =\n. Wynika stąd, że\nA.\n5\na =\ni\n5\nb =\nB.\n1\na = - i\n2\nb =\nC.\n4\na =\ni\n10\nb =\nD.\n4\na = - i\n2\nb = -\nW układzie współrzędnych dane są punkty A = (a,6) oraz B = (7,b). Środkiem odcinka AB jest punkt M = (3,4). Wynika stąd, że A. a=5 i b=5; B. a=-1 i b=2; C. a=4 i b=10; D. a=-4 i b=-2.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający wyznacza współrzędne środka\nodcinka (8.6).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(a = -1\\) i \\(b = 2\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na środek odcinka (bezpośrednie podstawienie)\n\nŚrodek odcinka \\(AB\\), gdzie \\(A = (a, 6)\\) i \\(B = (7, b)\\), obliczamy ze wzoru:\n\\[M = \\left(\\frac{x_A + x_B}{2},\\ \\frac{y_A + y_B}{2}\\right)\\]\n\nWiemy, że \\(M = (3, 4)\\), więc porównujemy współrzędne:\n\n**Współrzędna \\(x\\):**\n\\[\\frac{a + 7}{2} = 3\\]\n\\[a + 7 = 6\\]\n\\[\\boxed{a = -1}\\]\n\n**Współrzędna \\(y\\):**\n\\[\\frac{6 + b}{2} = 4\\]\n\\[6 + b = 8\\]\n\\[\\boxed{b = 2}\\]\n\nZatem \\(a = -1\\) i \\(b = 2\\) - odpowiedź **B**.\n\n## Sposób 2 - geometrycznie (środek = równa odległość)\n\nŚrodek odcinka leży dokładnie w połowie drogi między krańcami. To znaczy, że \\(M\\) jest w równej odległości od \\(A\\) i od \\(B\\) - zarówno poziomo, jak i pionowo.\n\n**Przesunięcie poziome** od \\(A\\) do \\(M\\): \\(3 - a\\)\n**Przesunięcie poziome** od \\(M\\) do \\(B\\): \\(7 - 3 = 4\\)\n\nOba przesunięcia muszą być równe:\n\\[3 - a = 4 \\implies a = -1\\]\n\n**Przesunięcie pionowe** od \\(A\\) do \\(M\\): \\(4 - 6 = -2\\)\n**Przesunięcie pionowe** od \\(M\\) do \\(B\\): \\(b - 4\\)\n\nOba przesunięcia muszą być równe (co do wartości i znaku):\n\\[b - 4 = -2 \\implies b = 2\\]\n\nWynik zgodny: \\(a = -1\\), \\(b = 2\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy go bezpośrednio w Sposobie 1, podstawiając znane współrzędne i rozwiązując dwa niezależne równania liniowe.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(a = 5, b = 5\\): sprawdzamy - środek byłby \\(\\left(\\frac{5+7}{2}, \\frac{6+5}{2}\\right) = (6, 5{,}5)\\) - to nie jest \\((3,4)\\). Typowy błąd: odczytanie współrzędnych \\(M\\) jako \\(a\\) i \\(b\\) wprost. |\n| C | \\(a = 4, b = 10\\): środek wychodzi \\(\\left(\\frac{4+7}{2}, \\frac{6+10}{2}\\right) = (5{,}5,\\ 8)\\) - błędny. Prawdopodobnie uczeń dodał zamiast zastosować wzór (np. \\(3 + 1 = 4\\) lub \\(4 + 6 = 10\\)). |\n| D | \\(a = -4, b = -2\\): środek wychodzi \\(\\left(\\frac{-4+7}{2}, \\frac{6+(-2)}{2}\\right) = (1{,}5,\\ 2)\\) - błędny. Możliwe odejmowanie zamiast układania równania, albo pomylenie znaku przy mnożeniu. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na środek to **średnia** obu współrzędnych - nie różnica, nie suma. Wzór: \\(\\frac{x_A + x_B}{2} = x_M\\), więc \\(x_A + x_B = 2x_M\\). Wielu uczniów zapomina pomnożyć obie strony przez 2.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współrzędne \\(x\\) i \\(y\\) rozpatrujemy **niezależnie** - osobno układ dla \\(a\\), osobno dla \\(b\\). Nie mieszaj współrzędnych poziomych z pionowymi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź znak! Tu \\(a = -1\\) - liczba ujemna. Łatwo popełnić błąd przy \\(a + 7 = 6\\) i zapisać \\(a = 1\\) zamiast \\(a = -1\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na środek odcinka\nŚrodek odcinka \\(AB\\): \\(M = \\left(\\tfrac{x_A+x_B}{2}, \\tfrac{y_A+y_B}{2}\\right)\\).\n\nPodstawiamy:\n\\[\\tfrac{a + 7}{2} = 3 \\Rightarrow a + 7 = 6 \\Rightarrow a = -1.\\]\n\\[\\tfrac{6 + b}{2} = 4 \\Rightarrow 6 + b = 8 \\Rightarrow b = 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Wektor symetrii\n\\(M\\) jest środkiem, więc \\(\\vec{MA} = -\\vec{MB}\\):\n\\[\\vec{MA} = (a - 3, 6 - 4) = (a-3, 2)\\]\n\\[\\vec{MB} = (7 - 3, b - 4) = (4, b-4)\\]\n\\[a-3 = -4 \\Rightarrow a = -1; \\quad 2 = -(b-4) \\Rightarrow b = 2.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a=5, b=5\\)** - ktoś dodał 2 (różnicę \\(M-A\\)) do \\(A\\).\n- **C. \\(a=4, b=10\\)** - brak podzielenia przez 2.\n- **D. \\(a=-4, b=-2\\)** - złe znaki, zła interpretacja środka.\n\n**Klasyczna pułapka:** po \"\\(\\tfrac{a+7}{2} = 3\\)\" trzeba pomnożyć przez 2, a potem odjąć 7.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie własności środka odcinka\n\n1. **Środek odcinka:** Środek odcinka AB to punkt M, który dzieli odcinek AB na dwie równe części. Zatem, współrzędne środka M są obliczane jako:\n\\[ M = \\left( \\frac{a + 7}{2}, \\frac{6 + b}{2} \\right) \\]\nWiemy, że M = (3, 4), więc możemy porównać współrzędne:\n\\[ \\frac{a + 7}{2} = 3 \\quad \\text{i} \\quad \\frac{6 + b}{2} = 4 \\]\n2. **Rozwiązanie równań:**\n* Rozwiązujemy pierwsze równanie:\n\\[ a + 7 = 6 \\]\n\\[ a = 6 - 7 \\]\n\\[ a = -1 \\]\n* Rozwiązujemy drugie równanie:\n\\[ 6 + b = 8 \\]\n\\[ b = 8 - 6 \\]\n\\[ b = 2 \\]\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (strona 4)\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na współrzędne środka odcinka\n\n1. **Wzór na współrzędne środka odcinka:** Środek odcinka AB (oznaczmy go jako M) ma współrzędne, które są średnią arytmetyczną współrzędnych punktów A i B:\n\\[ M_x = \\frac{a + 7}{2}, \\quad M_y = \\frac{6 + b}{2} \\]\n2. **Porównanie współrzędnych:** Ponownie, z treści zadania wiemy, że M = (3, 4). Zatem:\n\\[ \\frac{a + 7}{2} = 3 \\quad \\text{i} \\quad \\frac{6 + b}{2} = 4 \\]\n3. **Rozwiązanie równań:** Jak w poprzednim sposobie, rozwiązujemy otrzymane równania:\n* \\[ a + 7 = 6 \\]\n\\[ a = -1 \\]\n* \\[ 6 + b = 8 \\]\n\\[ b = 2 \\]\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (strona 4)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(a = 5 i b = 5\\)**: Sprawdzając, otrzymujemy, że \\(M_x = \\frac{5 + 7}{2} = 6\\) i \\(M_y = \\frac{6 + 5}{2} = 5.5\\), co nie zgadza się z podanym środkiem odcinka M = (3, 4).\n* **C. \\(a = 4 i b = 10\\)**: Sprawdzając, otrzymujemy, że \\(M_x = \\frac{4 + 7}{2} = 5.5\\) i \\(M_y = \\frac{6 + 10}{2} = 8\\), co również nie zgadza się z podanym środkiem odcinka M = (3, 4).\n* **D. \\(a = -4 i b = -2\\)**: Sprawdzając, otrzymujemy, że \\(M_x = \\frac{-4 + 7}{2} = 1.5\\) i \\(M_y = \\frac{6 + (-2)}{2} = 2\\), co również nie zgadza się z podanym środkiem odcinka M = (3, 4).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 21. (0-1)<br>W układzie współrzędnych dane są punkty<br>(<br>)<br>, 6<br>A<br>a<br>oraz<br>(<br>)<br>7,<br>B<br>b<br>. Środkiem odcinka AB<br>jest punkt<br>(<br>)<br>3, 4<br>M =<br>. Wynika stąd, że<br>A.<br>5<br>a =<br>i<br>5<br>b =<br>B.<br>1<br>a = - i<br>2<br>b =<br>C.<br>4<br>a =<br>i<br>10<br>b =<br>D.<br>4<br>a = - i<br>2<br>b = -<br>W układzie współrzędnych dane są punkty A = (a,6) oraz B = (7,b). Środkiem odcinka AB jest punkt M = (3,4). Wynika stąd, że A. a=5 i b=5; B. a=-1 i b=2; C. a=4 i b=10; D. a=-4 i b=-2.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 21. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.</li></ol>\n<p>Zdający wyznacza współrzędne środka<br>odcinka (8.6).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>\\(a = -1\\) i \\(b = 2\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - wzór na środek odcinka (bezpośrednie podstawienie)</h4>\n<p>Środek odcinka \\(AB\\), gdzie \\(A = (a, 6)\\) i \\(B = (7, b)\\), obliczamy ze wzoru:<br>\\[M = \\left(\\frac{x_A + x_B}{2},\\ \\frac{y_A + y_B}{2}\\right)\\]</p>\n<p>Wiemy, że \\(M = (3, 4)\\), więc porównujemy współrzędne:</p>\n<p><strong>Współrzędna \\(x\\):</strong><br>\\[\\frac{a + 7}{2} = 3\\]<br>\\[a + 7 = 6\\]<br>\\[\\boxed{a = -1}\\]</p>\n<p><strong>Współrzędna \\(y\\):</strong><br>\\[\\frac{6 + b}{2} = 4\\]<br>\\[6 + b = 8\\]<br>\\[\\boxed{b = 2}\\]</p>\n<p>Zatem \\(a = -1\\) i \\(b = 2\\) - odpowiedź <strong>B</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - geometrycznie (środek = równa odległość)</h4>\n<p>Środek odcinka leży dokładnie w połowie drogi między krańcami. To znaczy, że \\(M\\) jest w równej odległości od \\(A\\) i od \\(B\\) - zarówno poziomo, jak i pionowo.</p>\n<p><strong>Przesunięcie poziome</strong> od \\(A\\) do \\(M\\): \\(3 - a\\)<br><strong>Przesunięcie poziome</strong> od \\(M\\) do \\(B\\): \\(7 - 3 = 4\\)</p>\n<p>Oba przesunięcia muszą być równe:<br>\\[3 - a = 4 \\implies a = -1\\]</p>\n<p><strong>Przesunięcie pionowe</strong> od \\(A\\) do \\(M\\): \\(4 - 6 = -2\\)<br><strong>Przesunięcie pionowe</strong> od \\(M\\) do \\(B\\): \\(b - 4\\)</p>\n<p>Oba przesunięcia muszą być równe (co do wartości i znaku):<br>\\[b - 4 = -2 \\implies b = 2\\]</p>\n<p>Wynik zgodny: \\(a = -1\\), \\(b = 2\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - wzór na środek odcinka:<br>\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]<br>Użyliśmy go bezpośrednio w Sposobie 1, podstawiając znane współrzędne i rozwiązując dwa niezależne równania liniowe.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | \\(a = 5, b = 5\\): sprawdzamy - środek byłby \\(\\left(\\frac{5+7}{2}, \\frac{6+5}{2}\\right) = (6, 5{,}5)\\) - to nie jest \\((3,4)\\). Typowy błąd: odczytanie współrzędnych \\(M\\) jako \\(a\\) i \\(b\\) wprost. |<br>| C | \\(a = 4, b = 10\\): środek wychodzi \\(\\left(\\frac{4+7}{2}, \\frac{6+10}{2}\\right) = (5{,}5,\\ 8)\\) - błędny. Prawdopodobnie uczeń dodał zamiast zastosować wzór (np. \\(3 + 1 = 4\\) lub \\(4 + 6 = 10\\)). |<br>| D | \\(a = -4, b = -2\\): środek wychodzi \\(\\left(\\frac{-4+7}{2}, \\frac{6+(-2)}{2}\\right) = (1{,}5,\\ 2)\\) - błędny. Możliwe odejmowanie zamiast układania równania, albo pomylenie znaku przy mnożeniu. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór na środek to <strong>średnia</strong> obu współrzędnych - nie różnica, nie suma. Wzór: \\(\\frac{x_A + x_B}{2} = x_M\\), więc \\(x_A + x_B = 2x_M\\). Wielu uczniów zapomina pomnożyć obie strony przez 2.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Współrzędne \\(x\\) i \\(y\\) rozpatrujemy <strong>niezależnie</strong> - osobno układ dla \\(a\\), osobno dla \\(b\\). Nie mieszaj współrzędnych poziomych z pionowymi.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź znak! Tu \\(a = -1\\) - liczba ujemna. Łatwo popełnić błąd przy \\(a + 7 = 6\\) i zapisać \\(a = 1\\) zamiast \\(a = -1\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na środek odcinka</h5>\n<p>Środek odcinka \\(AB\\): \\(M = \\left(\\tfrac{x_A+x_B}{2}, \\tfrac{y_A+y_B}{2}\\right)\\).</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[\\tfrac{a + 7}{2} = 3 \\Rightarrow a + 7 = 6 \\Rightarrow a = -1.\\]<br>\\[\\tfrac{6 + b}{2} = 4 \\Rightarrow 6 + b = 8 \\Rightarrow b = 2.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Wektor symetrii</h5>\n<p>\\(M\\) jest środkiem, więc \\(\\vec{MA} = -\\vec{MB}\\):<br>\\[\\vec{MA} = (a - 3, 6 - 4) = (a-3, 2)\\]<br>\\[\\vec{MB} = (7 - 3, b - 4) = (4, b-4)\\]<br>\\[a-3 = -4 \\Rightarrow a = -1; \\quad 2 = -(b-4) \\Rightarrow b = 2.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(a=5, b=5\\)</strong> - ktoś dodał 2 (różnicę \\(M-A\\)) do \\(A\\).</li><li><strong>C. \\(a=4, b=10\\)</strong> - brak podzielenia przez 2.</li><li><strong>D. \\(a=-4, b=-2\\)</strong> - złe znaki, zła interpretacja środka.</li></ul>\n<p><strong>Klasyczna pułapka:</strong> po &quot;\\(\\tfrac{a+7}{2} = 3\\)&quot; trzeba pomnożyć przez 2, a potem odjąć 7.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie własności środka odcinka</h5>\n<ol><li><strong>Środek odcinka:</strong> Środek odcinka AB to punkt M, który dzieli odcinek AB na dwie równe części. Zatem, współrzędne środka M są obliczane jako:</li></ol>\n<p>\\[ M = \\left( \\frac{a + 7}{2}, \\frac{6 + b}{2} \\right) \\]<br>Wiemy, że M = (3, 4), więc możemy porównać współrzędne:<br>\\[ \\frac{a + 7}{2} = 3 \\quad \\text{i} \\quad \\frac{6 + b}{2} = 4 \\]</p>\n<ol><li><strong>Rozwiązanie równań:</strong></li></ol>\n<ul><li>Rozwiązujemy pierwsze równanie:</li></ul>\n<p>\\[ a + 7 = 6 \\]<br>\\[ a = 6 - 7 \\]<br>\\[ a = -1 \\]</p>\n<ul><li>Rozwiązujemy drugie równanie:</li></ul>\n<p>\\[ 6 + b = 8 \\]<br>\\[ b = 8 - 6 \\]<br>\\[ b = 2 \\]</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (strona 4)</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie wzoru na współrzędne środka odcinka</h5>\n<ol><li><strong>Wzór na współrzędne środka odcinka:</strong> Środek odcinka AB (oznaczmy go jako M) ma współrzędne, które są średnią arytmetyczną współrzędnych punktów A i B:</li></ol>\n<p>\\[ M_x = \\frac{a + 7}{2}, \\quad M_y = \\frac{6 + b}{2} \\]</p>\n<ol><li><strong>Porównanie współrzędnych:</strong> Ponownie, z treści zadania wiemy, że M = (3, 4). Zatem:</li></ol>\n<p>\\[ \\frac{a + 7}{2} = 3 \\quad \\text{i} \\quad \\frac{6 + b}{2} = 4 \\]</p>\n<ol><li><strong>Rozwiązanie równań:</strong> Jak w poprzednim sposobie, rozwiązujemy otrzymane równania:</li></ol>\n<ul><li>\\[ a + 7 = 6 \\]</li></ul>\n<p>\\[ a = -1 \\]</p>\n<ul><li>\\[ 6 + b = 8 \\]</li></ul>\n<p>\\[ b = 2 \\]</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (strona 4)</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(a = 5 i b = 5\\)</strong>: Sprawdzając, otrzymujemy, że \\(M_x = \\frac{5 + 7}{2} = 6\\) i \\(M_y = \\frac{6 + 5}{2} = 5.5\\), co nie zgadza się z podanym środkiem odcinka M = (3, 4).</li><li><strong>C. \\(a = 4 i b = 10\\)</strong>: Sprawdzając, otrzymujemy, że \\(M_x = \\frac{4 + 7}{2} = 5.5\\) i \\(M_y = \\frac{6 + 10}{2} = 8\\), co również nie zgadza się z podanym środkiem odcinka M = (3, 4).</li><li><strong>D. \\(a = -4 i b = -2\\)</strong>: Sprawdzając, otrzymujemy, że \\(M_x = \\frac{-4 + 7}{2} = 1.5\\) i \\(M_y = \\frac{6 + (-2)}{2} = 2\\), co również nie zgadza się z podanym środkiem odcinka M = (3, 4).</li></ul>"}]}