{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nKąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego\nstożka jest równa\nA. 36π\nB. 18π\nC. 24π\nD. 8π\nKąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa A. 36π; B. 18π; C. 24π; D. 8π.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n9. Stereometria. Zdający rozpoznaje\nw walcach i stożkach kąty między odcinkami\ni płaszczyznami (9.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(8\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - Trygonometria w przekroju osiowym\n\n**Rysujemy przekrój osiowy stożka** - to trójkąt równoramienny z kątem przy wierzchołku \\(120^\\circ\\).\n\nKąt rozwarcia stożka = \\(120^\\circ\\) to kąt przy wierzchołku **całego** trójkąta, więc kąt między tworzącą a osią stożka wynosi:\n\\[\\frac{120^\\circ}{2} = 60^\\circ\\]\n\nTworząca to ramię trójkąta: \\(l = 4\\).\n\n**Wyznaczamy promień podstawy \\(r\\):**\n\\[r = l \\cdot \\sin 60^\\circ = 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\]\n\n**Wyznaczamy wysokość \\(h\\):**\n\\[h = l \\cdot \\cos 60^\\circ = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\]\n\n**Obliczamy objętość:**\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot (2\\sqrt{3})^2 \\cdot 2 = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 12 \\cdot 2 = \\boxed{8\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzory Pitagorasa jako weryfikacja\n\nSprawdzamy, czy \\(r\\), \\(h\\), \\(l\\) tworzą spójny trójkąt prostokątny:\n\\[r^2 + h^2 = (2\\sqrt{3})^2 + 2^2 = 12 + 4 = 16 = 4^2 = l^2 \\checkmark\\]\n\nTw. Pitagorasa spełnione - wyznaczone wymiary są poprawne. Objętość \\(8\\pi\\) jest prawidłowa.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość stożka:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\nUżyliśmy do obliczenia objętości po wyznaczeniu \\(r\\) i \\(h\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicje sinus i cosinus:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia \\(r\\) i \\(h\\) z tworzą \\(l\\) i kąta \\(60^\\circ\\).\n\nWartości z tabeli (s. 11):\n\\[\\sin 60^\\circ = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\cos 60^\\circ = \\frac{1}{2}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej wartości |\n| A - \\(36\\pi\\) | Wzięcie \\(r = l = 4\\) (mylenie tworzą z promieniem) i \\(h = 3\\): \\(\\frac{1}{3}\\pi \\cdot 16 \\cdot \\frac{27}{4} \\approx \\) - lub inne mylne podstawienia |\n| B - \\(18\\pi\\) | Wzięcie kąta rozwarcia \\(120^\\circ\\) jako kąta przy podstawie zamiast przy wierzchołku, co prowadzi do zamienionych lub błędnych wartości \\(r\\) i \\(h\\) |\n| C - \\(24\\pi\\) | **Pominięcie czynnika \\(\\frac{1}{3}\\)** w wzorze na objętość: \\(\\pi r^2 h = \\pi \\cdot 12 \\cdot 2 = 24\\pi\\) - to najczęstszy błąd! |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt rozwarcia \\(120^\\circ\\) to kąt **cały** przy wierzchołku - do trygonometrii używamy jego **połowy**, czyli \\(60^\\circ\\). Wzięcie \\(120^\\circ\\) wprost do \\(\\sin\\) lub \\(\\cos\\) to błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na objętość stożka ma \\(\\frac{1}{3}\\) - to najczęstsze \"zapomnienie\" w zadaniu maturalnym. Odróżnij stożek (\\(\\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\)) od walca (\\(\\pi r^2 h\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tworząca (\\(l = 4\\)) to **nie** wysokość ani promień - to ukośna krawędź. Wysokość i promień trzeba dopiero wyliczyć z trygonometrii.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Promień i wysokość z przekroju osiowego\nKąt rozwarcia \\(= 120^\\circ\\) - kąt między tworzącymi w przekroju osiowym. Półkąt przy wierzchołku = \\(60^\\circ\\).\n\nW trójkącie prostokątnym (połowa przekroju osiowego): tworząca \\(l = 4\\), kąt przy wierzchołku \\(= 60^\\circ\\), wysokość \\(h\\) (przyległa do wierzchołka), promień podstawy \\(r\\) (naprzeciw).\n\\[\\sin 60^\\circ = \\dfrac{r}{l} \\Rightarrow r = 4\\cdot\\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}.\\]\n\\[\\cos 60^\\circ = \\dfrac{h}{l} \\Rightarrow h = 4\\cdot\\tfrac{1}{2} = 2.\\]\n\n**Objętość stożka:**\n\\[V = \\tfrac{1}{3}\\pi r^2 h = \\tfrac{1}{3}\\pi\\cdot 12\\cdot 2 = 8\\pi.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośredni wzór\nW przekroju osiowym trójkąt równoramienny z kątem wierzchołkowym \\(120^\\circ\\) i ramionami \\(4\\):\n- wysokość trójkąta (= wysokość stożka): \\(h = 4\\cos 60^\\circ = 2\\)\n- połowa podstawy (= \\(r\\)): \\(r = 4\\sin 60^\\circ = 2\\sqrt{3}\\)\n\n\\[V = \\tfrac{1}{3}\\pi (2\\sqrt{3})^2\\cdot 2 = \\tfrac{1}{3}\\pi\\cdot 12\\cdot 2 = 8\\pi.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(36\\pi\\)** - \\(\\pi r^2 h = 24\\pi\\)? błędny wzór walca lub błąd rachunkowy.\n- **B. \\(18\\pi\\)** - być może policzono z r = 3.\n- **C. \\(24\\pi\\)** - wzór walca: \\(\\pi r^2 h = \\pi\\cdot 12\\cdot 2 = 24\\pi\\); pominięto \\(\\tfrac{1}{3}\\).\n\n**Kluczowe:** objętość stożka to \\(\\tfrac{1}{3}\\pi r^2 h\\), czyli **trzecia część** objętości walca o tej samej podstawie i wysokości.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie twierdzenia o twarzy stożka\nKrok 1: Obliczenie promienia stożka (r). Tworząca stożka (l) i promień (r) są związane przez twierdzenie o twarzy stożka: l² = r² + h², gdzie h to wysokość stożka. W naszym przypadku l = 4, więc 4² = r² + h².\nKrok 2: Obliczenie wysokości stożka (h). Wiemy, że kąt rozwarcia stożka ma miarę 120 stopni. Kąt pomiędzy tworzącą a wysokością stożka jest równy 60 stopni (ponieważ jest to połowa kąta rozwarcia). Możemy użyć funkcji tangensa: tan(60°) = r/h. Znamy tan(60°) = √3, więc √3 = r/h, co oznacza, że r = h√3.\nKrok 3: Podstawienie r = h√3 do równania l² = r² + h². Mamy 4² = (h√3)² + h², czyli 16 = 3h² + h². Zatem 16 = 4h², co daje h² = 4, więc h = 2.\nKrok 4: Obliczenie objętości stożka (V). Objętość stożka jest dana wzorem: V = (1/3)πr²h. Podstawiamy r = h√3 = 2√3 i h = 2: V = (1/3)π(2√3)²(2) = (1/3)π(12)(2) = (1/3)π(24) = 8π.\n\n📖 Karta wzorów: s.15, Pitagoras, strona 15\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na objętość stożka z kąta rozwarcia\nKrok 1: Znamy tworząca (l=4) i kąt rozwarcia (α = 120°). Objętość stożka można obliczyć z kąta rozwarcia za pomocą wzoru: V = (1/3) * l² * sin(α).\nKrok 2: Podstawiamy wartości: V = (1/3) * 4² * sin(120°) = (1/3) * 16 * (√3/2) = (16√3) / 6 = (8√3) / 3. To nie jest odpowiedź, więc musimy sprawdzić, czy dobrze interpretowaliśmy kąt rozwarcia. Kąt rozwarcia to kąt między tworzącą a ciętą z wierzchołka stożka. W tym przypadku, kąt rozwarcia to kąt między tworzącą a ciętą.\n\nKrok 3: Ponownie obliczamy objętość stożka, korzystając z twierdzenia o twarzy stożka. Wzór na objętość stożka to V = (1/3)πr²h. W naszym przypadku, h = 2 i r = h√3 = 2√3. Zatem V = (1/3)π(2√3)²(2) = (1/3)π(12)(2) = 8π.\n\n📖 Karta wzorów: s.26, Stożek, V=πr²h/3, strona 26\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 36π:** Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ obliczenia nie prowadzą do tego wyniku.\n* **B. 18π:** Podobnie jak A, ta odpowiedź jest błędna.\n* **C. 24π:** Ta odpowiedź również jest błędna, ponieważ obliczenia nie prowadzą do tego wyniku.\n* **D. 8π:** Ta odpowiedź jest poprawna, ponieważ obliczenia (z wykorzystaniem twierdzenia o twarzy stożka i kąta rozwarcia) prowadzą do tego wyniku.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 23. (0-1)<br>Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego<br>stożka jest równa<br>A. 36π<br>B. 18π<br>C. 24π<br>D. 8π<br>Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa A. 36π; B. 18π; C. 24π; D. 8π.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 23. (0-1)<br>I. Wykorzystanie<br>i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Stereometria. Zdający rozpoznaje</li></ol>\n<p>w walcach i stożkach kąty między odcinkami<br>i płaszczyznami (9.3).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>D<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(8\\pi\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Trygonometria w przekroju osiowym</h4>\n<p><strong>Rysujemy przekrój osiowy stożka</strong> - to trójkąt równoramienny z kątem przy wierzchołku \\(120^\\circ\\).</p>\n<p>Kąt rozwarcia stożka = \\(120^\\circ\\) to kąt przy wierzchołku <strong>całego</strong> trójkąta, więc kąt między tworzącą a osią stożka wynosi:<br>\\[\\frac{120^\\circ}{2} = 60^\\circ\\]</p>\n<p>Tworząca to ramię trójkąta: \\(l = 4\\).</p>\n<p><strong>Wyznaczamy promień podstawy \\(r\\):</strong><br>\\[r = l \\cdot \\sin 60^\\circ = 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Wyznaczamy wysokość \\(h\\):</strong><br>\\[h = l \\cdot \\cos 60^\\circ = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\]</p>\n<p><strong>Obliczamy objętość:</strong><br>\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot (2\\sqrt{3})^2 \\cdot 2 = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 12 \\cdot 2 = \\boxed{8\\pi}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wzory Pitagorasa jako weryfikacja</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy \\(r\\), \\(h\\), \\(l\\) tworzą spójny trójkąt prostokątny:<br>\\[r^2 + h^2 = (2\\sqrt{3})^2 + 2^2 = 12 + 4 = 16 = 4^2 = l^2 \\checkmark\\]</p>\n<p>Tw. Pitagorasa spełnione - wyznaczone wymiary są poprawne. Objętość \\(8\\pi\\) jest prawidłowa.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - objętość stożka:<br>\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]<br>Użyliśmy do obliczenia objętości po wyznaczeniu \\(r\\) i \\(h\\).</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - definicje sinus i cosinus:<br>\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]<br>Użyliśmy do wyznaczenia \\(r\\) i \\(h\\) z tworzą \\(l\\) i kąta \\(60^\\circ\\).</p>\n<p>Wartości z tabeli (s. 11):<br>\\[\\sin 60^\\circ = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\cos 60^\\circ = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej wartości |<br>| A - \\(36\\pi\\) | Wzięcie \\(r = l = 4\\) (mylenie tworzą z promieniem) i \\(h = 3\\): \\(\\frac{1}{3}\\pi \\cdot 16 \\cdot \\frac{27}{4} \\approx \\) - lub inne mylne podstawienia |<br>| B - \\(18\\pi\\) | Wzięcie kąta rozwarcia \\(120^\\circ\\) jako kąta przy podstawie zamiast przy wierzchołku, co prowadzi do zamienionych lub błędnych wartości \\(r\\) i \\(h\\) |<br>| C - \\(24\\pi\\) | <strong>Pominięcie czynnika \\(\\frac{1}{3}\\)</strong> w wzorze na objętość: \\(\\pi r^2 h = \\pi \\cdot 12 \\cdot 2 = 24\\pi\\) - to najczęstszy błąd! |</p>\n<h4>Typowe pułapki</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt rozwarcia \\(120^\\circ\\) to kąt <strong>cały</strong> przy wierzchołku - do trygonometrii używamy jego <strong>połowy</strong>, czyli \\(60^\\circ\\). Wzięcie \\(120^\\circ\\) wprost do \\(\\sin\\) lub \\(\\cos\\) to błąd.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór na objętość stożka ma \\(\\frac{1}{3}\\) - to najczęstsze &quot;zapomnienie&quot; w zadaniu maturalnym. Odróżnij stożek (\\(\\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\)) od walca (\\(\\pi r^2 h\\)).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Tworząca (\\(l = 4\\)) to <strong>nie</strong> wysokość ani promień - to ukośna krawędź. Wysokość i promień trzeba dopiero wyliczyć z trygonometrii.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Promień i wysokość z przekroju osiowego</h5>\n<p>Kąt rozwarcia \\(= 120^\\circ\\) - kąt między tworzącymi w przekroju osiowym. Półkąt przy wierzchołku = \\(60^\\circ\\).</p>\n<p>W trójkącie prostokątnym (połowa przekroju osiowego): tworząca \\(l = 4\\), kąt przy wierzchołku \\(= 60^\\circ\\), wysokość \\(h\\) (przyległa do wierzchołka), promień podstawy \\(r\\) (naprzeciw).<br>\\[\\sin 60^\\circ = \\dfrac{r}{l} \\Rightarrow r = 4\\cdot\\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}.\\]<br>\\[\\cos 60^\\circ = \\dfrac{h}{l} \\Rightarrow h = 4\\cdot\\tfrac{1}{2} = 2.\\]</p>\n<p><strong>Objętość stożka:</strong><br>\\[V = \\tfrac{1}{3}\\pi r^2 h = \\tfrac{1}{3}\\pi\\cdot 12\\cdot 2 = 8\\pi.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Bezpośredni wzór</h5>\n<p>W przekroju osiowym trójkąt równoramienny z kątem wierzchołkowym \\(120^\\circ\\) i ramionami \\(4\\):</p>\n<ul><li>wysokość trójkąta (= wysokość stożka): \\(h = 4\\cos 60^\\circ = 2\\)</li><li>połowa podstawy (= \\(r\\)): \\(r = 4\\sin 60^\\circ = 2\\sqrt{3}\\)</li></ul>\n<p>\\[V = \\tfrac{1}{3}\\pi (2\\sqrt{3})^2\\cdot 2 = \\tfrac{1}{3}\\pi\\cdot 12\\cdot 2 = 8\\pi.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(36\\pi\\)</strong> - \\(\\pi r^2 h = 24\\pi\\)? błędny wzór walca lub błąd rachunkowy.</li><li><strong>B. \\(18\\pi\\)</strong> - być może policzono z r = 3.</li><li><strong>C. \\(24\\pi\\)</strong> - wzór walca: \\(\\pi r^2 h = \\pi\\cdot 12\\cdot 2 = 24\\pi\\); pominięto \\(\\tfrac{1}{3}\\).</li></ul>\n<p><strong>Kluczowe:</strong> objętość stożka to \\(\\tfrac{1}{3}\\pi r^2 h\\), czyli <strong>trzecia część</strong> objętości walca o tej samej podstawie i wysokości.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie twierdzenia o twarzy stożka</h5>\n<p>Krok 1: Obliczenie promienia stożka (r). Tworząca stożka (l) i promień (r) są związane przez twierdzenie o twarzy stożka: l² = r² + h², gdzie h to wysokość stożka. W naszym przypadku l = 4, więc 4² = r² + h².<br>Krok 2: Obliczenie wysokości stożka (h). Wiemy, że kąt rozwarcia stożka ma miarę 120 stopni. Kąt pomiędzy tworzącą a wysokością stożka jest równy 60 stopni (ponieważ jest to połowa kąta rozwarcia). Możemy użyć funkcji tangensa: tan(60°) = r/h. Znamy tan(60°) = √3, więc √3 = r/h, co oznacza, że r = h√3.<br>Krok 3: Podstawienie r = h√3 do równania l² = r² + h². Mamy 4² = (h√3)² + h², czyli 16 = 3h² + h². Zatem 16 = 4h², co daje h² = 4, więc h = 2.<br>Krok 4: Obliczenie objętości stożka (V). Objętość stożka jest dana wzorem: V = (1/3)πr²h. Podstawiamy r = h√3 = 2√3 i h = 2: V = (1/3)π(2√3)²(2) = (1/3)π(12)(2) = (1/3)π(24) = 8π.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.15, Pitagoras, strona 15</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie wzoru na objętość stożka z kąta rozwarcia</h5>\n<p>Krok 1: Znamy tworząca (l=4) i kąt rozwarcia (α = 120°). Objętość stożka można obliczyć z kąta rozwarcia za pomocą wzoru: V = (1/3) * l² * sin(α).<br>Krok 2: Podstawiamy wartości: V = (1/3) * 4² * sin(120°) = (1/3) * 16 * (√3/2) = (16√3) / 6 = (8√3) / 3. To nie jest odpowiedź, więc musimy sprawdzić, czy dobrze interpretowaliśmy kąt rozwarcia. Kąt rozwarcia to kąt między tworzącą a ciętą z wierzchołka stożka. W tym przypadku, kąt rozwarcia to kąt między tworzącą a ciętą.</p>\n<p>Krok 3: Ponownie obliczamy objętość stożka, korzystając z twierdzenia o twarzy stożka. Wzór na objętość stożka to V = (1/3)πr²h. W naszym przypadku, h = 2 i r = h√3 = 2√3. Zatem V = (1/3)π(2√3)²(2) = (1/3)π(12)(2) = 8π.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.26, Stożek, V=πr²h/3, strona 26</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. 36π:</strong> Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ obliczenia nie prowadzą do tego wyniku.</li><li><strong>B. 18π:</strong> Podobnie jak A, ta odpowiedź jest błędna.</li><li><strong>C. 24π:</strong> Ta odpowiedź również jest błędna, ponieważ obliczenia nie prowadzą do tego wyniku.</li><li><strong>D. 8π:</strong> Ta odpowiedź jest poprawna, ponieważ obliczenia (z wykorzystaniem twierdzenia o twarzy stożka i kąta rozwarcia) prowadzą do tego wyniku.</li></ul>"}]}