Zadanie 24. (0-1)
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od
wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną
podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).
Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze
A.
°
30
B.
°
45
C.
°
60
D.
°
75
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek). Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze A. 30°; B. 45°; C. 60°; D. 75°.
Zadanie 24. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.
w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między
odcinkami i płaszczyznami (9.2).
Wersja
I
Wersja
II
B
A
Ustawiamy układ współrzędnych. Niech graniastosłup ma podstawę kwadratową o boku \\(a\\) i wysokość \\(h\\). Wierzchołki dolnej podstawy:
\\[A = (0,0,0),\\quad B = (a,0,0),\\quad C = (a,a,0),\\quad D = (0,a,0)\\]
i górnej: \\(A', B', C', D'\\) powyżej o \\(h\\).
Dane o wymiarach. Przekątna podstawy:
\\[|AC| = a\\sqrt{2}\\]
Warunek: przekątna jest dwa razy dłuższa od wysokości:
\\[a\\sqrt{2} = 2h \\implies h = \\frac{a\\sqrt{2}}{2} = \\frac{a}{\\sqrt{2}}\\]
Opis przekroju. Płaszczyzna przekroju przechodzi przez przekątną \\(AC\\) dolnej podstawy i przez wierzchołek \\(B' = (a,0,h)\\) górnej podstawy.
\nLinia przecięcia z podstawą to właśnie \\(AC\\), więc kąt \\(\\alpha\\) to kąt dwuścienny wzdłuż \\(AC\\) między płaszczyzną przekroju a podstawą.
\nLiczymy odległość od \\(B'\\) do prostej \\(AC\\).
\nKierunek prostej \\(AC\\): \\(\\vec{u} = \\frac{1}{\\sqrt{2}}[1,1,0]\\).
\nWektor \\(\\overrightarrow{AB'} = [a, 0, h]\\).
\nRzut \\(\\overrightarrow{AB'}\\) na \\(\\vec{u}\\):
\\[\\text{rzut} = \\left([a,0,h] \\cdot \\frac{[1,1,0]}{\\sqrt{2}}\\right)\\frac{[1,1,0]}{\\sqrt{2}} = \\frac{a}{\\sqrt{2}} \\cdot \\frac{[1,1,0]}{\\sqrt{2}} = \\frac{a}{2}[1,1,0]\\]
Stopa prostopadłej z \\(B'\\) na prostą \\(AC\\) = punkt \\(M = \\left(\\frac{a}{2}, \\frac{a}{2}, 0\\right)\\) (środek \\(AC\\)).
\nWektor \\(\\overrightarrow{MB'} = \\left(\\frac{a}{2}, -\\frac{a}{2}, h\\right)\\).
\nKąt \\(\\alpha\\) to kąt między \\(\\overrightarrow{MB'}\\) a jego rzutem na podstawę \\(\\overrightarrow{MB'}_{\\text{podstawa}} = \\left(\\frac{a}{2}, -\\frac{a}{2}, 0\\right)\\):
\n\\[\\tan\\alpha = \\frac{h}{\\left|\\left(\\frac{a}{2}, -\\frac{a}{2}, 0\\right)\\right|} = \\frac{h}{\\sqrt{\\frac{a^2}{4}+\\frac{a^2}{4}}} = \\frac{h}{\\frac{a}{\\sqrt{2}}}\\]
\nPodstawiamy \\(h = \\frac{a}{\\sqrt{2}}\\):
\\[\\tan\\alpha = \\frac{\\dfrac{a}{\\sqrt{2}}}{\\dfrac{a}{\\sqrt{2}}} = 1\\]
\\[\\boxed{\\alpha = 45°}\\]
\nKlucz: kąt dwuścianny mierzy się przez prostopadłą do krawędzi obu ścian.
\nTrójkąt \\(MBB'\\) jest prostokątny przy \\(B\\). Kąt \\(\\angle B'MB = \\alpha\\):
\\[\\tan\\alpha = \\frac{|BB'|}{|MB|} = \\frac{h}{\\dfrac{a}{\\sqrt{2}}} = \\frac{\\dfrac{a}{\\sqrt{2}}}{\\dfrac{a}{\\sqrt{2}}} = 1 \\implies \\alpha = 45°\\]
Trójkąt \\(MBB'\\) jest prostokątny równoramienny - oba ramiona (poziome i pionowe) są równe. ✓
\nDział 10 (Planimetria, s. 15-21) - twierdzenie Pitagorasa i wzór na przekątną kwadratu:
\\[d = a\\sqrt{2}\\]
Użyte do wyznaczenia długości przekątnej podstawy.
Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - graniastosłup:
\\[V = P_p \\cdot h\\]
Kontekst: definicja i własności graniastosłupa prawidłowego czworokątnego (podstawa kwadratowa, boczne krawędzie prostopadłe do podstawy).
Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - definicja tangensu:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b} = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyległa}}\\]
Użyte do wyznaczenia kąta w trójkącie \\(MBB'\\): \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 1 \\implies \\alpha = 45°\\).
| Odp. | Typowy błąd |
| A (\\(30°\\)) | Uczeń dzieli \\(h\\) przez pełną przekątną \\(a\\sqrt{2}\\) zamiast przez odległość od \\(B\\) do \\(AC\\): \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{a\\sqrt{2}} = \\frac{1}{2}\\), czyli \\(\\alpha \\approx 26{,}6°\\). Wynik nie jest kątem "ładnym" - uczeń zaokrągla do \\(30°\\), co jest błędem. |
| C (\\(60°\\)) | Uczeń odwraca stosunek: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a/\\sqrt{2}}{h} = \\frac{a/\\sqrt{2}}{a/\\sqrt{2}} = 1\\) tu trudniej. Częsty błąd: branie boku \\(a\\) zamiast odległości od wierzchołka do przekątnej, co daje \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{a/2} = \\sqrt{2}\\), stąd \\(\\alpha \\approx 54{,}7°\\), zaokrąglane do \\(60°\\). |
| D (\\(75°\\)) | Niepoprawna identyfikacja kąta - uczeń mierzy kąt między płaszczyzną przekroju a boczną ścianą graniastosłupa, a nie podstawą. |
⚠️ Uwaga: Kąt dwuścianny między płaszczyzną a podstawą NIE mierzy się dowolną prostą w tej płaszczyźnie - tylko prostopadłą do krawędzi przecięcia (tu: do przekątnej \\(AC\\)). To najczęstszy błąd w zadaniach o kątach w bryłach!\n
⚠️ Uwaga: Środek przekątnej kwadratu jest jednocześnie rzutem bocznego wierzchołka na tę przekątną - to nieoczywisty fakt wart zapamiętania. Wynika z symetrii kwadratu.\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź zawsze, czy pytanie pyta o kąt z podstawą czy z boczną ścianą - to dwa różne kąty dwuścienne tego samego przekroju!\n
Poprawna odpowiedź: B
\nOznaczmy wysokość graniastosłupa \\(h\\). Wtedy przekątna podstawy = \\(2h\\).
\nPłaszczyzna przekroju zawiera przekątną podstawy (długości \\(2h\\)) i wierzchołek górnej podstawy (nad jednym z rogów nie leżących na przekątnej). Kąt \\(\\alpha\\) to kąt między tą płaszczyzną a podstawą.
\nGdzie leży wierzchołek? W kwadracie \\(ABCD\\) podstawy: przekątna np. \\(AC\\) długości \\(2h\\). Wierzchołek górnej \\(F\\) (nad \\(B\\)). Odległość \\(B\\) od \\(AC\\) = połowa drugiej przekątnej = \\(h\\) (bo w kwadracie obie przekątne są równe).
\nW trójkącie prostokątnym z podstawą \\(h\\) (pozioma odległość \\(B\\) do \\(AC\\)) i wysokością \\(h\\) (pionowa wysokość graniastosłupa):
\\[\\tan\\alpha = \\tfrac{h}{h} = 1 \\Rightarrow \\alpha = 45^\\circ.\\]
Ponieważ \\(\\tan\\alpha = 1\\), kąt \\(\\alpha = 45^\\circ\\). Trójkąt \\(45^\\circ-45^\\circ-90^\\circ\\) z równymi przyprostokątnymi.
\nKluczowe: punkt, w którym rzutuje się wierzchołek górnej podstawy na dolną, jest rogiem kwadratu - odległość od przekątnej wynosi dokładnie połowę drugiej przekątnej = \\(h\\).
\nPoprawna odpowiedź: B
\nh będzie wysokością graniastosłupa.d² = a² + a² (gdzie a to długość boku podstawy). Zatem d = a√2. W naszym przypadku d = 2h. Zatem 2h = a√2, czyli a = (2h) / √2 = h√2.h to przyprostokątnaa to przyprostokątnaα to kąt przy wierzchołku trójkąta.tan(α) = h / a = h / (h√2) = 1/√2 = √2 / 2tan(α) = √2 / 2. Wiemy, że tan(45°) = 1. Zatem α = arctan(√2 / 2) = 45°.📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Tryg: sin²α+cos²α=1)
\nh - wysokość graniastosłupad - przekątna podstawy (2h)a - długość boku podstawyd² = a² + a² = 2a². Zatem a = d / √2 = (2h) / √2 = h√2.d), a górne wierzchołki to wierzchołki kwadratu (a), a kąt między nimi to α:d² = a² + a² - 2 * a * a * cos(α)(2h)² = (h√2)² + (h√2)² - 2 * (h√2) * (h√2) * cos(α)4h² = 2h² + 2h² - 4h² * cos(α)4h² = 4h² - 4h² * cos(α)0 = -4h² * cos(α)cos(α) = 0α = 90° - To jest błąd, bo nie jest to poprawny sposób rozwiązania. Należy użyć innego podejścia.
tan(α) = h / a = h / (h√2) = 1/√2 = √2 / 2. Zatem α = arctan(√2 / 2) = 45°.
📖 Karta wzorów: s.13, strona 13 (Sumy kątów: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ) - choć nie używamy bezpośrednio sumy kątów, to ta karta ilustruje, że kąty w trójkącie są powiązane.
\ntan(30°) = 1/√3, co nie zgadza się z obliczoną wartością tan(α) = √2 / 2.tan(60°) = √3, co również nie zgadza się z obliczoną wartością tan(α) = √2 / 2.tan(75°) ≈ 3.73, co jest znacznie większe niż √2 / 2 ≈ 0.707.Wszystkie inne odpowiedzi są błędne, ponieważ nie prowadzą do poprawnej wartości kąta α. Kluczem do rozwiązania jest obliczenie tangensa kąta α z wykorzystaniem zależności między wysokością i przekątną podstawy.
"}]}