{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 31, 16, 25, 29, 27, x, jest równa 2\nx . Mediana\ntych liczb jest równa\nA. 26\nB. 27\nC. 28\nD. 29\nα\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nŚrednia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 31, 16, 25, 29, 27, x jest równa x/2. Mediana tych liczb jest równa A. 26; B. 27; C. 28; D. 29.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nG9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do\nrachunku prawdopodobieństwa. Zdający\nwyznacza średnią arytmetyczną i medianę\nzestawu danych (G9.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(28\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie \\(x\\) z warunku na średnią, potem mediana\n\n**Krok 1: Wyrażamy warunek na średnią arytmetyczną.**\n\nŚrednia sześciu liczb to suma podzielona przez 6:\n\\[\\frac{31 + 16 + 25 + 29 + 27 + x}{6} = \\frac{x}{2}\\]\n\n**Krok 2: Liczymy sumę znanych liczb.**\n\\[31 + 16 + 25 + 29 + 27 = 128\\]\n\nRównanie przyjmuje postać:\n\\[\\frac{128 + x}{6} = \\frac{x}{2}\\]\n\n**Krok 3: Rozwiązujemy równanie** - mnożymy obie strony przez 6:\n\\[128 + x = 3x\\]\n\\[128 = 2x\\]\n\\[x = 64\\]\n\n**Krok 4: Wyznaczamy medianę.**\n\nMamy sześć liczb: \\(31,\\ 16,\\ 25,\\ 29,\\ 27,\\ 64\\).\n\nUstawiamy je rosnąco:\n\\[16,\\ 25,\\ \\mathbf{27},\\ \\mathbf{29},\\ 31,\\ 64\\]\n\nDla 6 liczb mediana to **średnia arytmetyczna 3. i 4. wyrazu** (środkowych dwóch):\n\\[Me = \\frac{27 + 29}{2} = \\frac{56}{2} = \\mathbf{28}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie warunku na średnią\n\nPrzy \\(x = 64\\) i medianie \\(28\\) sprawdzamy, czy średnia rzeczywiście wynosi \\(\\frac{x}{2} = 32\\):\n\n\\[\\frac{16 + 25 + 27 + 29 + 31 + 64}{6} = \\frac{192}{6} = 32\\]\n\nWarunek \\(\\frac{x}{2} = \\frac{64}{2} = 32\\) ✓\n\n**Wynik potwierdzony.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nŚrednia arytmetyczna:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nUżyta w Kroku 1 do zapisania równania na \\(x\\).\n\nMediana:\n> Dla parzystej liczby danych - średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów po posortowaniu.\n\nUżyta w Kroku 4 - tutaj \\(\\frac{27 + 29}{2} = 28\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\((26)\\) | Uczeń bierze średnią 2. i 3. wyrazu zamiast 3. i 4.: \\(\\frac{25 + 27}{2} = 26\\) - błędne wyznaczenie pozycji środkowych |\n| **B** \\((27)\\) | Uczeń bierze sam 3. wyraz jako medianę (zapomina o uśrednieniu): \\(27\\) - metoda dla nieparzystej liczby elementów zastosowana błędnie do parzystej |\n| **D** \\((29)\\) | Uczeń bierze sam 4. wyraz jako medianę: \\(29\\) - analogiczny błąd jak przy B, ale z drugiego środkowego |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mediana dla **parzystej** liczby danych to **średnia dwóch środkowych** wyrazów - nie jeden wyraz środkowy! Dla 6 liczb środkowe to wyraz 3. i 4. (nie 3. albo 4.).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przed wyznaczeniem mediany **zawsze sortuj** liczby! Tu \\(x = 64\\) jest większe od wszystkich pozostałych, więc wpada na koniec - nie „między\" inne liczby.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwiązywaniu równania \\(\\frac{128+x}{6} = \\frac{x}{2}\\) łatwo o błąd przy mnożeniu - pamiętaj, że prawa strona to \\(\\frac{x}{2}\\), a nie \\(\\frac{x}{6}\\), więc po przemnożeniu przez 6 dostajemy \\(3x\\), nie \\(x\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie \\(x\\), potem mediana\n**Krok 1 - równanie:**\n\\[\\dfrac{31+16+25+29+27+x}{6} = \\dfrac{x}{2}\\]\n\\[\\dfrac{128+x}{6} = \\dfrac{x}{2}\\]\n\\[2(128+x) = 6x\\]\n\\[256 + 2x = 6x \\Rightarrow 4x = 256 \\Rightarrow x = 64.\\]\n\n**Krok 2 - sortowanie:** \\(16, 25, 27, 29, 31, 64\\).\n\n**Krok 3 - mediana 6 liczb** (parzysta ilość) = średnia z dwóch środkowych:\n\\[\\text{mediana} = \\tfrac{27 + 29}{2} = 28.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja średniej\nDla \\(x = 64\\): średnia = \\(\\tfrac{128+64}{6} = \\tfrac{192}{6} = 32 = \\tfrac{64}{2}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(26\\)** - źle odczytana środkowa para.\n- **B. \\(27\\)** - tylko jedna środkowa liczba (błąd: zapomnienie uśrednić 27 i 29).\n- **D. \\(29\\)** - to tylko jedna środkowa liczba.\n\n**Pamiętaj:** mediana dla parzystej liczby elementów to **średnia** z dwóch środkowych.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Obliczenie średniej arytmetycznej i wykorzystanie jej do znalezienia mediany\n1. **Obliczenie średniej arytmetycznej:**\nŚrednia arytmetyczna sześciu liczb to suma liczb podzielona przez liczbę liczb.\n\\[ \\frac{31 + 16 + 25 + 29 + 27 + x}{6} = \\frac{148 + x}{6} \\]\nZadanie mówi, że średnia arytmetyczna wynosi . Zatem:\n\\[ \\frac{148 + x}{6} = 28 \\]\nPomnożymy obie strony przez 6:\n\\[ 148 + x = 28 \\cdot 6 = 168 \\]\nOdejmujemy 148 od obu stron:\n\\[ x = 168 - 148 = 20 \\]\n\n2. **Znalezienie mediany:**\nLiczby uporządkowane to: 16, 20, 25, 27, 29, 31.\nPonieważ mamy 6 liczb (parzystną liczbę), mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych liczb. W tym przypadku, środkowe liczby to 25 i 27.\n\\[ \\text{Mediana} = \\frac{25 + 27}{2} = \\frac{52}{2} = 26 \\]\nZatem mediana tych liczb wynosi 26. Jednakże, zadanie pyta o medianę *dwojga* liczb, a my obliczyliśmy medianę wszystkich. Zatem musimy obliczyć medianę z dwóch liczb, które dają wynik 28.\n\n### Sposób 2: Obliczenie mediany bezpośrednio\n1. **Uporządkowanie liczb:**\nLiczby są: 16, 25, 27, 29, 31, x\nUporządkowane: 16, 25, 27, 29, 31, x\n\n2. **Znalezienie mediany:**\nPonieważ mamy 6 liczb, mediana to środkowa liczba, czyli trzecia liczba w uporządkowanej sekwencji.\n\\[ \\text{Mediana} = 27 \\]\nW tym przypadku, x musi być równe 20, aby średnia arytmetyczna była równa 28. Zatem, mediana to 27.\n\n📖 Karta wzorów: s.15, Pole trójk, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 26:** Jak pokazano w Sposobie 1, obliczyliśmy, że x = 20, a mediana z liczb 16, 20, 25, 27, 29, 31 wynosi 26.\n* **B. 27:** Jak pokazano w Sposobie 2, mediana z liczb 16, 25, 27, 29, 31, x wynosi 27.\n* **D. 29:** Podobnie jak w przypadku A i B, obliczenia prowadzą do innych wartości.\n\nWyjaśnienie błędnych odpowiedzi jest zawarte w powyższym punkcie. Kluczowe jest zrozumienie, że zadanie pyta o medianę *dwojga* liczb, a nie medianę wszystkich sześciu.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 25. (0-1)
Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 31, 16, 25, 29, 27, x, jest równa 2
x . Mediana
tych liczb jest równa
A. 26
B. 27
C. 28
D. 29
α

\n

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

MMA_1P
Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 31, 16, 25, 29, 27, x jest równa x/2. Mediana tych liczb jest równa A. 26; B. 27; C. 28; D. 29.

","answer_text_html":"

Zadanie 25. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
G9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do
rachunku prawdopodobieństwa. Zdający
wyznacza średnią arytmetyczną i medianę
zestawu danych (G9.4).
Wersja
I
Wersja
II
C
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(28\\)

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie \\(x\\) z warunku na średnią, potem mediana

\n

Krok 1: Wyrażamy warunek na średnią arytmetyczną.

\n

Średnia sześciu liczb to suma podzielona przez 6:
\\[\\frac{31 + 16 + 25 + 29 + 27 + x}{6} = \\frac{x}{2}\\]

\n

Krok 2: Liczymy sumę znanych liczb.
\\[31 + 16 + 25 + 29 + 27 = 128\\]

\n

Równanie przyjmuje postać:
\\[\\frac{128 + x}{6} = \\frac{x}{2}\\]

\n

Krok 3: Rozwiązujemy równanie - mnożymy obie strony przez 6:
\\[128 + x = 3x\\]
\\[128 = 2x\\]
\\[x = 64\\]

\n

Krok 4: Wyznaczamy medianę.

\n

Mamy sześć liczb: \\(31,\\ 16,\\ 25,\\ 29,\\ 27,\\ 64\\).

\n

Ustawiamy je rosnąco:
\\[16,\\ 25,\\ \\mathbf{27},\\ \\mathbf{29},\\ 31,\\ 64\\]

\n

Dla 6 liczb mediana to średnia arytmetyczna 3. i 4. wyrazu (środkowych dwóch):
\\[Me = \\frac{27 + 29}{2} = \\frac{56}{2} = \\mathbf{28}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie warunku na średnią

\n

Przy \\(x = 64\\) i medianie \\(28\\) sprawdzamy, czy średnia rzeczywiście wynosi \\(\\frac{x}{2} = 32\\):

\n

\\[\\frac{16 + 25 + 27 + 29 + 31 + 64}{6} = \\frac{192}{6} = 32\\]

\n

Warunek \\(\\frac{x}{2} = \\frac{64}{2} = 32\\) ✓

\n

Wynik potwierdzony.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)

\n

Średnia arytmetyczna:
\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]
Użyta w Kroku 1 do zapisania równania na \\(x\\).

\n

Mediana:

\n
Dla parzystej liczby danych - średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów po posortowaniu.
\n

Użyta w Kroku 4 - tutaj \\(\\frac{27 + 29}{2} = 28\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A \\((26)\\) | Uczeń bierze średnią 2. i 3. wyrazu zamiast 3. i 4.: \\(\\frac{25 + 27}{2} = 26\\) - błędne wyznaczenie pozycji środkowych |
| B \\((27)\\) | Uczeń bierze sam 3. wyraz jako medianę (zapomina o uśrednieniu): \\(27\\) - metoda dla nieparzystej liczby elementów zastosowana błędnie do parzystej |
| D \\((29)\\) | Uczeń bierze sam 4. wyraz jako medianę: \\(29\\) - analogiczny błąd jak przy B, ale z drugiego środkowego |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Mediana dla parzystej liczby danych to średnia dwóch środkowych wyrazów - nie jeden wyraz środkowy! Dla 6 liczb środkowe to wyraz 3. i 4. (nie 3. albo 4.).
\n
⚠️ Uwaga: Przed wyznaczeniem mediany zawsze sortuj liczby! Tu \\(x = 64\\) jest większe od wszystkich pozostałych, więc wpada na koniec - nie „między" inne liczby.
\n
⚠️ Uwaga: Przy rozwiązywaniu równania \\(\\frac{128+x}{6} = \\frac{x}{2}\\) łatwo o błąd przy mnożeniu - pamiętaj, że prawa strona to \\(\\frac{x}{2}\\), a nie \\(\\frac{x}{6}\\), więc po przemnożeniu przez 6 dostajemy \\(3x\\), nie \\(x\\).
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Wyznaczenie \\(x\\), potem mediana
\n

Krok 1 - równanie:
\\[\\dfrac{31+16+25+29+27+x}{6} = \\dfrac{x}{2}\\]
\\[\\dfrac{128+x}{6} = \\dfrac{x}{2}\\]
\\[2(128+x) = 6x\\]
\\[256 + 2x = 6x \\Rightarrow 4x = 256 \\Rightarrow x = 64.\\]

\n

Krok 2 - sortowanie: \\(16, 25, 27, 29, 31, 64\\).

\n

Krok 3 - mediana 6 liczb (parzysta ilość) = średnia z dwóch środkowych:
\\[\\text{mediana} = \\tfrac{27 + 29}{2} = 28.\\]

\n
Sposób 2 - Weryfikacja średniej
\n

Dla \\(x = 64\\): średnia = \\(\\tfrac{128+64}{6} = \\tfrac{192}{6} = 32 = \\tfrac{64}{2}\\) ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: mediana dla parzystej liczby elementów to średnia z dwóch środkowych.

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Obliczenie średniej arytmetycznej i wykorzystanie jej do znalezienia mediany
\n
  1. Obliczenie średniej arytmetycznej:
\n

Średnia arytmetyczna sześciu liczb to suma liczb podzielona przez liczbę liczb.
\\[ \\frac{31 + 16 + 25 + 29 + 27 + x}{6} = \\frac{148 + x}{6} \\]
Zadanie mówi, że średnia arytmetyczna wynosi . Zatem:
\\[ \\frac{148 + x}{6} = 28 \\]
Pomnożymy obie strony przez 6:
\\[ 148 + x = 28 \\cdot 6 = 168 \\]
Odejmujemy 148 od obu stron:
\\[ x = 168 - 148 = 20 \\]

\n
  1. Znalezienie mediany:
\n

Liczby uporządkowane to: 16, 20, 25, 27, 29, 31.
Ponieważ mamy 6 liczb (parzystną liczbę), mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych liczb. W tym przypadku, środkowe liczby to 25 i 27.
\\[ \\text{Mediana} = \\frac{25 + 27}{2} = \\frac{52}{2} = 26 \\]
Zatem mediana tych liczb wynosi 26. Jednakże, zadanie pyta o medianę dwojga liczb, a my obliczyliśmy medianę wszystkich. Zatem musimy obliczyć medianę z dwóch liczb, które dają wynik 28.

\n
Sposób 2: Obliczenie mediany bezpośrednio
\n
  1. Uporządkowanie liczb:
\n

Liczby są: 16, 25, 27, 29, 31, x
Uporządkowane: 16, 25, 27, 29, 31, x

\n
  1. Znalezienie mediany:
\n

Ponieważ mamy 6 liczb, mediana to środkowa liczba, czyli trzecia liczba w uporządkowanej sekwencji.
\\[ \\text{Mediana} = 27 \\]
W tym przypadku, x musi być równe 20, aby średnia arytmetyczna była równa 28. Zatem, mediana to 27.

\n

📖 Karta wzorów: s.15, Pole trójk, strona 15

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Wyjaśnienie błędnych odpowiedzi jest zawarte w powyższym punkcie. Kluczowe jest zrozumienie, że zadanie pyta o medianę dwojga liczb, a nie medianę wszystkich sześciu.

"}]}