{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nW tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych\nlat.\nkolejne lata\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nprzyrost (w cm)\n10\n10\n7\n8\n8\n7\nOblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany\nwynik zaokrąglij do 1 cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd\nw procentach.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nW tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat. Kolejne lata: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Przyrost (w cm): 10, 10, 7, 8, 8, 7. Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześci lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do 1 cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nG9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku\nprawdopodobieństwa. Zdający wyznacza średnią arytmetyczną\ni medianę zestawu danych (G9.4).\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza błąd bezwzględny i błąd\nwzględny przybliżenia (1.7).\nPrzykładowe rozwiązanie\nObliczamy średni roczny przyrost sosny:\nObliczamy błąd względny przybliżenia:\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\n• gdy obliczy średni roczny przyrost wysokości sosny:\ni na tym zakończy lub\ndalej popełnia błędy\nalbo\n• gdy otrzyma średni roczny przyrost wysokości sosny będący liczbą spełniającą\nnierówność\nlub nierówność\ni konsekwentnie obliczy błąd\nwzględny otrzymanego przybliżenia.\nUwaga:\nAkceptujemy wynik przybliżony z przedziału\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy błąd względny przybliżenia:","solution":"## Poprawna odpowiedź: średni przyrost = **8 cm**, błąd względny = **4%**\n\n## Sposób 1 - Obliczenie średniej arytmetycznej i błędu względnego\n\n**Krok 1: Zbieramy dane**\n\nPrzyrosty w kolejnych latach:\n\\[10, \\quad 10, \\quad 7, \\quad 8, \\quad 8, \\quad 7 \\quad \\text{[cm]}\\]\n\n**Krok 2: Obliczamy dokładną średnią arytmetyczną**\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{10 + 10 + 7 + 8 + 8 + 7}{6} = \\frac{50}{6} = \\frac{25}{3} \\approx 8{,}\\overline{3} \\text{ cm}\\]\n\n**Krok 3: Zaokrąglamy do 1 cm**\n\nPonieważ \\(\\frac{25}{3} \\approx 8{,}33 \\), zaokrąglamy do:\n\\[\\tilde{x} = 8 \\text{ cm}\\]\n\n**Krok 4: Obliczamy błąd bezwzględny**\n\n\\[\\Delta x = \\left|\\tilde{x} - \\bar{x}\\right| = \\left|8 - \\frac{25}{3}\\right| = \\left|\\frac{24}{3} - \\frac{25}{3}\\right| = \\frac{1}{3} \\text{ cm}\\]\n\n**Krok 5: Obliczamy błąd względny**\n\nBłąd względny to stosunek błędu bezwzględnego do wartości dokładnej:\n\\[\\delta = \\frac{\\Delta x}{|\\bar{x}|} = \\frac{\\dfrac{1}{3}}{\\dfrac{25}{3}} = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{3}{25} = \\frac{1}{25} = 0{,}04\\]\n\nWyrażony w procentach:\n\\[\\boxed{\\delta = 4\\%}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podejście ułamkowe krok po kroku\n\nZamiast od razu pisać ułamek, można krok po kroku dodawać i sprawdzać.\n\n**Suma przyrostów:**\n\\[10 + 10 = 20, \\quad 20 + 7 = 27, \\quad 27 + 8 = 35, \\quad 35 + 8 = 43, \\quad 43 + 7 = 50\\]\n\nSuma = **50 cm** - zgadza się.\n\n**Sprawdzenie zaokrąglenia:**\n\\[\\frac{50}{6} = 8{,}3333 \\]\n\nCyfra dziesiątek po przecinku to **3** (czyli \\(< 5\\)), więc zaokrąglamy **w dół** do 8 cm. ✓\n\n**Weryfikacja błędu względnego:**\n\\[\\delta = \\frac{|8 - \\frac{50}{6}|}{\\frac{50}{6}} = \\frac{\\frac{2}{6}}{\\frac{50}{6}} = \\frac{2}{50} = \\frac{1}{25} = 4\\% \\quad \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nUżyliśmy tego wzoru dla \\(n = 6\\) danych, obliczając \\(\\bar{x} = \\frac{50}{6}\\).\n\nWzór na **błąd względny** nie jest podany wprost w karcie CKE, ale wynika z definicji:\n\\[\\delta = \\frac{|\\tilde{x} - \\bar{x}|}{|\\bar{x}|}\\]\nJest to wiedza wymagana z podstawy programowej.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Błąd względny liczymy zawsze względem wartości **dokładnej** (mianownik = \\(\\frac{25}{3}\\)), a **nie** względem wartości zaokrąglonej (nie dzielić przez 8!). Dzielenie przez 8 dałoby \\(\\frac{1/3}{8} \\approx 4{,}17\\%\\) - błędnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zaokrąglaniu \\(8{,}\\overline{3}\\) do 1 cm uczniowie czasem zaokrąglają „do góry\" na 9 - to błąd. Reguła zaokrąglania: jeśli pierwsza odrzucana cyfra wynosi 0-4, zaokrąglamy w dół. Tutaj mamy \\(8{,}3 \\) → zaokrąglamy do **8**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić błędu **względnego** z błędem **bezwzględnym**! Błąd bezwzględny to \\(\\frac{1}{3}\\) cm, a błąd względny to \\(4\\%\\). Zadanie pyta o oba.\n\n**Odpowiedź: Błąd względny \\(= \\dfrac{1}{25} = 4\\%\\)**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie krok po kroku\n**Krok 1 - średnia dokładna:**\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{10 + 10 + 7 + 8 + 8 + 7}{6} = \\dfrac{50}{6} = \\dfrac{25}{3} = 8\\dfrac{1}{3} \\approx 8{,}33\\text{ cm}.\\]\n\n**Krok 2 - zaokrąglenie do 1 cm:**\n\\[\\bar{x}_{\\text{przybl}} = 8\\text{ cm}.\\]\n\n**Krok 3 - błąd bezwzględny:**\n\\[|\\bar{x} - \\bar{x}_{\\text{przybl}}| = \\left|\\tfrac{25}{3} - 8\\right| = \\left|\\tfrac{25 - 24}{3}\\right| = \\tfrac{1}{3}.\\]\n\n**Krok 4 - błąd względny:**\n\\[\\delta = \\dfrac{|\\bar{x} - \\bar{x}_{\\text{przybl}}|}{\\bar{x}} = \\dfrac{1/3}{25/3} = \\dfrac{1}{25} = 0{,}04 = 4\\%.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednie wyliczenie\nBłąd względny = błąd bezwzględny / wartość dokładna:\n\\[\\delta = \\dfrac{\\tfrac{1}{3}\\text{ cm}}{\\tfrac{25}{3}\\text{ cm}} = \\dfrac{1}{25} = 4\\%.\\]\n\n**Odpowiedź:** błąd względny = **4%**.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"algebra","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 26. (0-2)<br>W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych<br>lat.<br>kolejne lata<br>1<br>2<br>3<br>4<br>5<br>6<br>przyrost (w cm)<br>10<br>10<br>7<br>8<br>8<br>7<br>Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany<br>wynik zaokrąglij do 1 cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd<br>w procentach.<br>Odpowiedź:</p>\n<p>MMA_1P<br>W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat. Kolejne lata: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Przyrost (w cm): 10, 10, 7, 8, 8, 7. Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześci lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do 1 cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 26. (0-2)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>G9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku<br>prawdopodobieństwa. Zdający wyznacza średnią arytmetyczną<br>i medianę zestawu danych (G9.4).</p>\n<ol><li>Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza błąd bezwzględny i błąd</li></ol>\n<p>względny przybliżenia (1.7).<br>Przykładowe rozwiązanie<br>Obliczamy średni roczny przyrost sosny:<br>Obliczamy błąd względny przybliżenia:<br>Schemat punktowania<br>Zdający otrzymuje 1 p.<br>• gdy obliczy średni roczny przyrost wysokości sosny:<br>i na tym zakończy lub<br>dalej popełnia błędy<br>albo<br>• gdy otrzyma średni roczny przyrost wysokości sosny będący liczbą spełniającą<br>nierówność<br>lub nierówność<br>i konsekwentnie obliczy błąd<br>względny otrzymanego przybliżenia.<br>Uwaga:<br>Akceptujemy wynik przybliżony z przedziału<br>Zdający otrzymuje 2 p.<br>gdy obliczy błąd względny przybliżenia:</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: średni przyrost = <strong>8 cm</strong>, błąd względny = <strong>4%</strong></h4>\n<h4>Sposób 1 - Obliczenie średniej arytmetycznej i błędu względnego</h4>\n<p><strong>Krok 1: Zbieramy dane</strong></p>\n<p>Przyrosty w kolejnych latach:<br>\\[10, \\quad 10, \\quad 7, \\quad 8, \\quad 8, \\quad 7 \\quad \\text{[cm]}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Obliczamy dokładną średnią arytmetyczną</strong></p>\n<p>\\[\\bar{x} = \\frac{10 + 10 + 7 + 8 + 8 + 7}{6} = \\frac{50}{6} = \\frac{25}{3} \\approx 8{,}\\overline{3} \\text{ cm}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Zaokrąglamy do 1 cm</strong></p>\n<p>Ponieważ \\(\\frac{25}{3} \\approx 8{,}33 \\), zaokrąglamy do:<br>\\[\\tilde{x} = 8 \\text{ cm}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Obliczamy błąd bezwzględny</strong></p>\n<p>\\[\\Delta x = \\left|\\tilde{x} - \\bar{x}\\right| = \\left|8 - \\frac{25}{3}\\right| = \\left|\\frac{24}{3} - \\frac{25}{3}\\right| = \\frac{1}{3} \\text{ cm}\\]</p>\n<p><strong>Krok 5: Obliczamy błąd względny</strong></p>\n<p>Błąd względny to stosunek błędu bezwzględnego do wartości dokładnej:<br>\\[\\delta = \\frac{\\Delta x}{|\\bar{x}|} = \\frac{\\dfrac{1}{3}}{\\dfrac{25}{3}} = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{3}{25} = \\frac{1}{25} = 0{,}04\\]</p>\n<p>Wyrażony w procentach:<br>\\[\\boxed{\\delta = 4\\%}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podejście ułamkowe krok po kroku</h4>\n<p>Zamiast od razu pisać ułamek, można krok po kroku dodawać i sprawdzać.</p>\n<p><strong>Suma przyrostów:</strong><br>\\[10 + 10 = 20, \\quad 20 + 7 = 27, \\quad 27 + 8 = 35, \\quad 35 + 8 = 43, \\quad 43 + 7 = 50\\]</p>\n<p>Suma = <strong>50 cm</strong> - zgadza się.</p>\n<p><strong>Sprawdzenie zaokrąglenia:</strong><br>\\[\\frac{50}{6} = 8{,}3333 \\]</p>\n<p>Cyfra dziesiątek po przecinku to <strong>3</strong> (czyli \\(&lt; 5\\)), więc zaokrąglamy <strong>w dół</strong> do 8 cm. ✓</p>\n<p><strong>Weryfikacja błędu względnego:</strong><br>\\[\\delta = \\frac{|8 - \\frac{50}{6}|}{\\frac{50}{6}} = \\frac{\\frac{2}{6}}{\\frac{50}{6}} = \\frac{2}{50} = \\frac{1}{25} = 4\\% \\quad \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)</strong> - wzór na średnią arytmetyczną:<br>\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]<br>Użyliśmy tego wzoru dla \\(n = 6\\) danych, obliczając \\(\\bar{x} = \\frac{50}{6}\\).</p>\n<p>Wzór na <strong>błąd względny</strong> nie jest podany wprost w karcie CKE, ale wynika z definicji:<br>\\[\\delta = \\frac{|\\tilde{x} - \\bar{x}|}{|\\bar{x}|}\\]<br>Jest to wiedza wymagana z podstawy programowej.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Błąd względny liczymy zawsze względem wartości <strong>dokładnej</strong> (mianownik = \\(\\frac{25}{3}\\)), a <strong>nie</strong> względem wartości zaokrąglonej (nie dzielić przez 8!). Dzielenie przez 8 dałoby \\(\\frac{1/3}{8} \\approx 4{,}17\\%\\) - błędnie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy zaokrąglaniu \\(8{,}\\overline{3}\\) do 1 cm uczniowie czasem zaokrąglają „do góry&quot; na 9 - to błąd. Reguła zaokrąglania: jeśli pierwsza odrzucana cyfra wynosi 0-4, zaokrąglamy w dół. Tutaj mamy \\(8{,}3 \\) → zaokrąglamy do <strong>8</strong>.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić błędu <strong>względnego</strong> z błędem <strong>bezwzględnym</strong>! Błąd bezwzględny to \\(\\frac{1}{3}\\) cm, a błąd względny to \\(4\\%\\). Zadanie pyta o oba.</blockquote>\n<p><strong>Odpowiedź: Błąd względny \\(= \\dfrac{1}{25} = 4\\%\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Obliczenie krok po kroku</h5>\n<p><strong>Krok 1 - średnia dokładna:</strong><br>\\[\\bar{x} = \\dfrac{10 + 10 + 7 + 8 + 8 + 7}{6} = \\dfrac{50}{6} = \\dfrac{25}{3} = 8\\dfrac{1}{3} \\approx 8{,}33\\text{ cm}.\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - zaokrąglenie do 1 cm:</strong><br>\\[\\bar{x}_{\\text{przybl}} = 8\\text{ cm}.\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - błąd bezwzględny:</strong><br>\\[|\\bar{x} - \\bar{x}_{\\text{przybl}}| = \\left|\\tfrac{25}{3} - 8\\right| = \\left|\\tfrac{25 - 24}{3}\\right| = \\tfrac{1}{3}.\\]</p>\n<p><strong>Krok 4 - błąd względny:</strong><br>\\[\\delta = \\dfrac{|\\bar{x} - \\bar{x}_{\\text{przybl}}|}{\\bar{x}} = \\dfrac{1/3}{25/3} = \\dfrac{1}{25} = 0{,}04 = 4\\%.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Bezpośrednie wyliczenie</h5>\n<p>Błąd względny = błąd bezwzględny / wartość dokładna:<br>\\[\\delta = \\dfrac{\\tfrac{1}{3}\\text{ cm}}{\\tfrac{25}{3}\\text{ cm}} = \\dfrac{1}{25} = 4\\%.\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> błąd względny = <strong>4%</strong>.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$4\\\\%$</p>"}]}