{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nRozwiąż nierówność\nx\nx\nx\nx\n6\n3\n4\n2\n2\n2\n>\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nRozwiąż nierówność 2x^2 - 4x > 3x^2 - 6x.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności\nkwadratowe z jedną niewiadomą (3.5).\nPrzykładowe rozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy polega na\nustaleniu pierwiastków trójmianu kwadratowego. Drugi etap polega na ustaleniu zbioru\nrozwiązań nierówności.\n1\n8 3\nx =\n1\n1\n3\n0,04\n4%\n25\n25\n3\n1\n83\nx =\n7\n8,2(3)\nx\n<\n<\n8,4(3)\n10\nx\n<\n<\n8,2(3);8,4(3)\n4%\nRealizacja pierwszego etapu\nI sposób\nRedukujemy wyrazy podobne i zapisujemy nierówność w postaci równoważnej\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n• obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\ni stąd\noraz\nalbo\n• wykorzystujemy postać iloczynową trójmianu\n2\n2\nx\nx\n:\n(\n)\n2\n0\nx x\n, stąd\noraz\n,\nalbo\n• stosujemy wzory Viète’a:\noraz\n, stąd\noraz\n,\nalbo\n• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu\n,\nlub\nzaznaczając je na wykresie\nII sposób\nWyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego\ni zapisujemy nierówność\nw postaci równoważnej, np.\nStąd\n(\n)\n(\n)\n2\n1\n1\n0\nx\n>\nNastępnie przekształcamy nierówność do postaci równoważnej, korzystając z własności\nwartości bezwzględnej\n,\nRealizacja drugiego etapu\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności:\nlub\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania, tzn. ustali pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np.:\n0\n2\n2\n>\nx\nx\nx\nx\n2\n2 +\n(\n)\n4\n0\n1\n4\n4\n⋅\n⋅\nΔ\n2\n2\n2\n2\n1\nx\n0\n2\n2\n2\n2\nx\n0\n1 =\nx\n2\n2 =\nx\n0\n2\n1\n⋅x\nx\n2\n2\n1\n+ x\nx\n0\n1 =\nx\n2\n2 =\nx\n1\n0\nx =\n2\n2\nx =\n-1\n1\n2\n3\n-2\n-1\n1\ny\n0\nx\nx\nx\n2\n2 +\n(\n)\n0\n1\n1\n2\n>\n-x\n(\n)\n1\n1\n2 <\nx\n1\n1 <\nx\n(\n)\n2\n,0\n(\n)\n2\n,0\n∈\nx\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n,\ni na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no zaznaczy\nna\nwykresie\nmiejsca\nzerowe\nfunkcji\ni na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no zapisze nierówność\ni na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności\nalbo\n• przy realizacji pierwszego etapu rozwiązania popełni błąd (ten sam błąd popełniony\nwielokrotnie traktuje się jak jeden błąd), ale otrzyma dwa różne pierwiastki,\ni konsekwentnie rozwiąże nierówność, np.:\no popełni błędy przy wyznaczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego\ni konsekwentnie rozwiąże nierówność,\no błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.\ni konsekwentnie rozwiąże nierówność,\no błędnie zapisze nierówność, np.\ni konsekwentnie ją rozwiąże.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności:\nlub\n, lub\ni\nalbo\n• sporządzi poprawną ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności w postaci:\n,\n,\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nAkceptujemy zapis przedziału nieuwzględniający porządku liczb na osi liczbowej, np.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez\n2\nx\nlub przez x, bez stosownego\nzałożenia, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez\n2\nx\n, rozważając przy tym dwa\nprzypadki\n2\nx >\ni\n2\nx <\n, rozwiąże nierówność w każdym z tych przypadków oraz wyznaczy\npoprawny zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje 2 punkty.\n1\n0\nx =\n2\n2\nx =\n2\n( )\n2\nf x\nx\nx\n1\n1\nx -\n<\n2\n2\n1\n+ x\nx\n1\n1 >\nx\n(\n)\n2\n,0\n(\n)\n2\n,0\n∈\nx\n0\nx >\n2\nx <\n0\nx >\n2\nx <\n(\n)\n2, 0\nx\n0\n2","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (0, 2)\\)\n\n## Sposób 1 - przeniesienie wszystkiego na jedną stronę i rozkład na czynniki\n\n**Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę** (odejmujemy prawą stronę od lewej):\n\n\\[2x^2 - 4x > 3x^2 - 6x\\]\n\n\\[2x^2 - 4x - 3x^2 + 6x > 0\\]\n\n\\[-x^2 + 2x > 0\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-1\\) - **uwaga: zmienia się kierunek nierówności!**\n\n\\[x^2 - 2x < 0\\]\n\n**Wyłączamy \\(x\\) przed nawias:**\n\n\\[x(x - 2) < 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy **jeden jest dodatni, a drugi ujemny**.\n\nSzkicujemy parabolę \\(f(x) = x(x-2) = x^2 - 2x\\):\n- Ramiona skierowane w górę (współczynnik przy \\(x^2\\) jest dodatni: \\(+1\\))\n- Miejsca zerowe: \\(x_1 = 0\\) i \\(x_2 = 2\\)\n- Parabola leży **poniżej osi \\(OX\\)** (czyli \\(f(x) < 0\\)) dla \\(x \\in (0, 2)\\)\n\n\\[\\boxed{x \\in (0, 2)}\\]\n\n## Sposób 2 - analiza znaku iloczynu (tabela znaków)\n\nZ poprzedniego kroku mamy: \\(x(x-2) < 0\\)\n\nWyznaczamy znaki każdego czynnika:\n\n| Przedział | \\(x\\) | \\(x - 2\\) | Iloczyn \\(x(x-2)\\) |\n| \\(x < 0\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(0 < x < 2\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn jest ujemny tylko dla \\(x \\in (0, 2)\\) - co potwierdza wynik ze Sposobu 1.\n\n**Weryfikacja punktem:** Weźmy \\(x = 1 \\in (0,2)\\):\n- Lewa strona: \\(2(1)^2 - 4(1) = 2 - 4 = -2\\)\n- Prawa strona: \\(3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3\\)\n- Czy \\(-2 > -3\\)? **Tak** ✓\n\nWeźmy \\(x = 3 \\notin (0,2)\\):\n- Lewa: \\(2(9) - 4(3) = 18 - 12 = 6\\)\n- Prawa: \\(3(9) - 6(3) = 27 - 18 = 9\\)\n- Czy \\(6 > 9\\)? **Nie** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe trójmianu kwadratowego oraz postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy faktu, że parabola z ramionami w górę (\\(a > 0\\)) przyjmuje wartości ujemne **między** miejscami zerowymi, czyli dla \\(x \\in (x_1, x_2)\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożenie (lub dzielenie) nierówności przez liczbę **ujemną** odwraca znak nierówności! Gdy przenosimy \\(-x^2 + 2x > 0\\) do postaci \\(x^2 - 2x < 0\\), znak \\(>\\) staje się \\(<\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadań.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziału - granice \\(x = 0\\) i \\(x = 2\\) **nie należą** do rozwiązania, bo nierówność jest ostra (\\(>\\), nie \\(\\geq\\)). Zapis \\(\\langle 0, 2 \\rangle\\) byłby błędem - poprawnie \\((0, 2)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zatrzymuj się na etapie \\(x^2 - 2x < 0\\) i nie próbuj \"przenosić\" \\(x^2\\) - wyłącz czynnik wspólny \\(x\\) i korzystaj z tabeli znaków lub wykresu paraboli.\n\n**Rozwiązanie: \\(x\\in(0, 2)\\)**\n\n### Sposób 1 - Sprowadzenie do postaci standardowej\n\\[2x^2 - 4x > 3x^2 - 6x\\]\n\\[2x^2 - 4x - 3x^2 + 6x > 0\\]\n\\[-x^2 + 2x > 0\\]\nMnożymy obie strony przez \\(-1\\) (zmieniamy znak nierówności):\n\\[x^2 - 2x < 0.\\]\nRozkład: \\(x(x-2) < 0\\).\n\nMiejsca zerowe: \\(x = 0\\), \\(x = 2\\). Parabola \\(x^2 - 2x\\) z ramionami w górę - przyjmuje ujemne wartości **między** pierwiastkami:\n\\[x \\in (0, 2).\\]\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\(x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1 < 0 \\iff (x-1)^2 < 1 \\iff |x-1| < 1 \\iff -1 < x-1 < 1 \\iff 0 < x < 2.\\)\n\n### Sposób 3 - Szkic wykresu\nFunkcja \\(f(x) = -x^2 + 2x\\) to parabola z ramionami w dół, miejsca zerowe \\(0\\) i \\(2\\). Wartości dodatnie (nierówność \\(>0\\)) osiąga między miejscami zerowymi: \\(x\\in(0, 2)\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in (0, 2)\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
Rozwiąż nierówność
x
x
x
x
6
3
4
2
2
2

\n
\n

Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
26.
27.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1P
Rozwiąż nierówność 2x^2 - 4x > 3x^2 - 6x.

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności
\n

kwadratowe z jedną niewiadomą (3.5).
Przykładowe rozwiązanie
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy polega na
ustaleniu pierwiastków trójmianu kwadratowego. Drugi etap polega na ustaleniu zbioru
rozwiązań nierówności.
1
8 3
x =
1
1
3
0,04
4%
25
25
3
1
83
x =
7
8,2(3)
x
<
<
8,4(3)
10
x
<
<
8,2(3);8,4(3)
4%
Realizacja pierwszego etapu
I sposób
Redukujemy wyrazy podobne i zapisujemy nierówność w postaci równoważnej
Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego
• obliczamy wyróżnik tego trójmianu:
i stąd
oraz
albo
• wykorzystujemy postać iloczynową trójmianu
2
2
x
x
:
(
)
2
0
x x
, stąd
oraz
,
albo
• stosujemy wzory Viète’a:
oraz
, stąd
oraz
,
albo
• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu
,
lub
zaznaczając je na wykresie
II sposób
Wyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego
i zapisujemy nierówność
w postaci równoważnej, np.
Stąd
(
)
(
)
2
1
1
0
x

\n
\n

Następnie przekształcamy nierówność do postaci równoważnej, korzystając z własności
wartości bezwzględnej
,
Realizacja drugiego etapu
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności:
lub
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania, tzn. ustali pierwiastki trójmianu kwadratowego
i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np.:
0
2
2

\n
\n

x
x
x
x
2
2 +
(
)
4
0
1
4
4
⋅
⋅
Δ
2
2
2
2
1
x
0
2
2
2
2
x
0
1 =
x
2
2 =
x
0
2
1
⋅x
x
2
2
1

\n\n

x
0
1 =
x
2
2 =
x
1
0
x =
2
2
x =
-1
1
2
3
-2
-1
1
y
0
x
x
x
2
2 +
(
)
0
1
1
2

\n
\n

-x
(
)
1
1
2 <
x
1
1 <
x
(
)
2
,0
(
)
2
,0
∈
x
o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego
,
i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o zaznaczy
na
wykresie
miejsca
zerowe
funkcji
i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o zapisze nierówność
i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności
albo
• przy realizacji pierwszego etapu rozwiązania popełni błąd (ten sam błąd popełniony
wielokrotnie traktuje się jak jeden błąd), ale otrzyma dwa różne pierwiastki,
i konsekwentnie rozwiąże nierówność, np.:
o popełni błędy przy wyznaczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego
i konsekwentnie rozwiąże nierówność,
o błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.
i konsekwentnie rozwiąże nierówność,
o błędnie zapisze nierówność, np.
i konsekwentnie ją rozwiąże.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:
• poda zbiór rozwiązań nierówności:
lub
, lub
i
albo
• sporządzi poprawną ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór
rozwiązań nierówności w postaci:
,
,
albo
• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów.
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Akceptujemy zapis przedziału nieuwzględniający porządku liczb na osi liczbowej, np.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez
\n

2
x
lub przez x, bez stosownego
założenia, to otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez
\n

2
x
, rozważając przy tym dwa
przypadki
2
x >
i
2
x <
, rozwiąże nierówność w każdym z tych przypadków oraz wyznaczy
poprawny zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje 2 punkty.
1
0
x =
2
2
x =
2
( )
2
f x
x
x
1
1
x -
<
2
2
1

\n\n

x
1
1 >
x
(
)
2
,0
(
)
2
,0
∈
x
0
x >
2
x <
0
x >
2
x <
(
)
2, 0
x
0
2

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (0, 2)\\)

\n

Sposób 1 - przeniesienie wszystkiego na jedną stronę i rozkład na czynniki

\n

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę (odejmujemy prawą stronę od lewej):

\n

\\[2x^2 - 4x > 3x^2 - 6x\\]

\n

\\[2x^2 - 4x - 3x^2 + 6x > 0\\]

\n

\\[-x^2 + 2x > 0\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(-1\\) - uwaga: zmienia się kierunek nierówności!

\n

\\[x^2 - 2x < 0\\]

\n

Wyłączamy \\(x\\) przed nawias:

\n

\\[x(x - 2) < 0\\]

\n

Iloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy jeden jest dodatni, a drugi ujemny.

\n

Szkicujemy parabolę \\(f(x) = x(x-2) = x^2 - 2x\\):

\n\n

\\[\\boxed{x \\in (0, 2)}\\]

\n

Sposób 2 - analiza znaku iloczynu (tabela znaków)

\n

Z poprzedniego kroku mamy: \\(x(x-2) < 0\\)

\n

Wyznaczamy znaki każdego czynnika:

\n

| Przedział | \\(x\\) | \\(x - 2\\) | Iloczyn \\(x(x-2)\\) |
| \\(x < 0\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |
| \\(0 < x < 2\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |
| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |

\n

Iloczyn jest ujemny tylko dla \\(x \\in (0, 2)\\) - co potwierdza wynik ze Sposobu 1.

\n

Weryfikacja punktem: Weźmy \\(x = 1 \\in (0,2)\\):

\n\n

Weźmy \\(x = 3 \\notin (0,2)\\):

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - miejsca zerowe trójmianu kwadratowego oraz postać iloczynowa:
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]
Użyliśmy faktu, że parabola z ramionami w górę (\\(a > 0\\)) przyjmuje wartości ujemne między miejscami zerowymi, czyli dla \\(x \\in (x_1, x_2)\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Mnożenie (lub dzielenie) nierówności przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności! Gdy przenosimy \\(-x^2 + 2x > 0\\) do postaci \\(x^2 - 2x < 0\\), znak \\(>\\) staje się \\(<\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadań.
\n
⚠️ Uwaga: Końce przedziału - granice \\(x = 0\\) i \\(x = 2\\) nie należą do rozwiązania, bo nierówność jest ostra (\\(>\\), nie \\(\\geq\\)). Zapis \\(\\langle 0, 2 \\rangle\\) byłby błędem - poprawnie \\((0, 2)\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie zatrzymuj się na etapie \\(x^2 - 2x < 0\\) i nie próbuj "przenosić" \\(x^2\\) - wyłącz czynnik wspólny \\(x\\) i korzystaj z tabeli znaków lub wykresu paraboli.
\n

Rozwiązanie: \\(x\\in(0, 2)\\)

\n
Sposób 1 - Sprowadzenie do postaci standardowej
\n

\\[2x^2 - 4x > 3x^2 - 6x\\]
\\[2x^2 - 4x - 3x^2 + 6x > 0\\]
\\[-x^2 + 2x > 0\\]
Mnożymy obie strony przez \\(-1\\) (zmieniamy znak nierówności):
\\[x^2 - 2x < 0.\\]
Rozkład: \\(x(x-2) < 0\\).

\n

Miejsca zerowe: \\(x = 0\\), \\(x = 2\\). Parabola \\(x^2 - 2x\\) z ramionami w górę - przyjmuje ujemne wartości między pierwiastkami:
\\[x \\in (0, 2).\\]

\n
Sposób 2 - Postać kanoniczna
\n

\\(x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1 < 0 \\iff (x-1)^2 < 1 \\iff |x-1| < 1 \\iff -1 < x-1 < 1 \\iff 0 < x < 2.\\)

\n
Sposób 3 - Szkic wykresu
\n

Funkcja \\(f(x) = -x^2 + 2x\\) to parabola z ramionami w dół, miejsca zerowe \\(0\\) i \\(2\\). Wartości dodatnie (nierówność \\(>0\\)) osiąga między miejscami zerowymi: \\(x\\in(0, 2)\\).

\n

Odpowiedź: \\(x \\in (0, 2)\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\\\in (0, 2)$

"}]}