{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nRozwiąż równanie (\n)(\n)\n2\n4\n2\n15\n0\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nRozwiąż równanie (4-x)(x^2 + 2x - 15) = 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji\n3. Równania i nierówności. Zdający korzysta z własności\niloczynu przy rozwiązywaniu równań typu\n(3.7).\nPrzykładowe rozwiązanie\nLewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników\noraz\n. Zatem iloczyn\nten jest równy 0, gdy co najmniej jeden z tych czynników jest równy 0, czyli\nlub\nRozwiązaniem równania\njest\nRozwiązania równania\nmożemy wyznaczyć, korzystając:\n• ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego:\n,\n,\nalbo\n• ze wzorów Viète’a:\noraz\ni stąd\n,\n,\nalbo\n• z postaci iloczynowej trójmianu\n, stąd\n,\n,\nalbo\n• z własności wartości bezwzględnej, przekształcając najpierw równanie do postaci\nrównoważnej\n, skąd\nlub\n, czyli\nlub\nZatem wszystkie rozwiązania równania to:\nlub\n, lub\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zapisze dwa równania:\ni\n(wystarczy, że z rozwiązania\nwynika, że zdający wyznacza pierwiastki każdego z wielomianów:\n,\n)\nalbo\n• zapisze rozwiązanie\n,\nalbo\n• obliczy co najmniej jeden pierwiastek trójmianu\n:\n,\n,\nalbo\n• wyznaczy jeden z pierwiastków wielomianu\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n,\n,\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający obliczy trzy pierwiastki, ale w odpowiedzi końcowej podaje tylko dwa, to\notrzymuje 1 punkt.\n(\n)(\n)\n1\n7\n0\nx x\nx\n4\nx\n2\n2\n15\nx\nx\n4\n0\nx\n2\n2\n15\n0\nx\nx\n4\n0\nx\n4\nx =\n2\n2\n15\n0\nx\nx\n(\n)\n2\n2\n2\n4 1\n15\n64\n8\nΔ =\n-⋅⋅-\n1\n2\n8\n5\n2\nx\n2\n2\n8\n3\n2\nx\n1\n2\n2\nx\nx\n1\n2\n15\nx\nx\n⋅\n1\n5\nx = -\n2\n3\nx =\n2\n2\n15\nx\nx\n(\n)(\n)\n5\n3\n0\nx\nx\n1\n5\nx = -\n2\n3\nx =\n1\n4\nx +\n1\n4\nx + =\n1\n4\nx + = -\n3\nx =\n5\nx = -\n4\nx =\n5\nx = -\n3\nx =\n4\n0\nx\n2\n2\n15\n0\nx\nx\n4\nx\n2\n2\n15\nx\nx\n4\nx =\n2\n2\n15\nx\nx\n5\nx = -\n3\nx =\n3\n2\n2\n23\n60\nx\nx\nx\n5\nx = -\n3\nx =\n4\nx =\n2. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania bez stosownego założenia przez\n4\nx -\nlub przez\ndrugi czynnik i oblicza pierwiastki (lub pierwiastek) dla pozostałej części, to otrzymuje\n0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -5\\) lub \\(x = 3\\) lub \\(x = 4\\)\n\nTrzy pierwiastki równania: \\(x_1 = -5\\), \\(x_2 = 3\\), \\(x_3 = 4\\).\n\n## Sposób 1 - Własność iloczynu (zero product property)\n\n**Kluczowa obserwacja:** iloczyn dwóch czynników wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z nich wynosi zero.\n\n\\[(4-x)(x^2 + 2x - 15) = 0\\]\n\nMamy zatem dwa przypadki:\n\n**Przypadek 1:** \\(4 - x = 0\\)\n\n\\[x = 4\\]\n\n**Przypadek 2:** \\(x^2 + 2x - 15 = 0\\)\n\nLiczymy wyróżnik:\n\\[\\Delta = 2^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-15) = 4 + 60 = 64\\]\n\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 8\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{-2 - 8}{2} = \\frac{-10}{2} = -5\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{-2 + 8}{2} = \\frac{6}{2} = 3\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\{-5,\\ 3,\\ 4\\}\\)\n\n## Sposób 2 - Faktoryzacja trójmianu kwadratowego\n\nZamiast używać wzoru ogólnego, rozkładamy \\(x^2 + 2x - 15\\) na czynniki \"z głowy\".\n\nSzukamy dwóch liczb, których **iloczyn wynosi \\(-15\\)** i **suma wynosi \\(2\\)**:\n\n\\[(-5) \\cdot 3 = -15 \\quad \\text{i} \\quad (-5) + 3 = -2 \\quad \\text{❌}\\]\n\\[5 \\cdot (-3) = -15 \\quad \\text{i} \\quad 5 + (-3) = 2 \\quad \\text{✓}\\]\n\nZatem:\n\\[x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)\\]\n\nRównanie przyjmuje postać:\n\\[(4 - x)(x + 5)(x - 3) = 0\\]\n\nPrzyrównujemy każdy czynnik do zera:\n\n\\[4 - x = 0 \\implies x = 4\\]\n\\[x + 5 = 0 \\implies x = -5\\]\n\\[x - 3 = 0 \\implies x = 3\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\{-5,\\ 3,\\ 4\\}\\) - wynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na miejsca zerowe trójmianu:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do rozwiązania równania \\(x^2 + 2x - 15 = 0\\) (gdzie \\(a = 1\\), \\(b = 2\\), \\(c = -15\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Własność iloczynu zerowego działa **tylko gdy iloczyn równa się zero**. Gdyby zadanie brzmiało \\((4-x)(x^2+2x-15) = 6\\), **nie wolno** podzielić równania na dwa przypadki analogicznie - ta metoda nie zadziała!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o **wszystkich** czynnikach - tu mamy trzy pierwiastki, nie dwa. Uczniowie często rozwiązują tylko trójmian, zapominając o \\(4 - x = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(\\Delta\\) dla \\(x^2 + 2x - 15\\) pamiętaj, że \\(c = -15\\), więc \\(-4ac = -4 \\cdot 1 \\cdot (-15) = +60\\). Zgubienie tego minusa to najczęstszy błąd!\n\n**Rozwiązanie: \\(x \\in \\{-5, 3, 4\\}\\)**\n\n### Sposób 1 - Iloczyn = 0 ⇔ jeden z czynników = 0\n**Czynnik 1:** \\(4 - x = 0 \\Rightarrow x = 4\\).\n\n**Czynnik 2:** \\(x^2 + 2x - 15 = 0\\):\n\\[\\Delta = 4 + 60 = 64, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 8\\]\n\\[x_{1,2} = \\tfrac{-2 \\pm 8}{2}\\]\n\\[x_1 = \\tfrac{-2-8}{2} = -5, \\quad x_2 = \\tfrac{-2+8}{2} = 3.\\]\n\n**Rozwiązania:** \\(x = 4, x = 3, x = -5\\).\n\n### Sposób 2 - Rozkład trójmianu przez Viète'a\n\\(x^2 + 2x - 15 = 0\\): sumy/iloczyn: \\(x_1+x_2 = -2, x_1 x_2 = -15\\). Szukamy dwóch liczb: \\(-5\\) i \\(3\\) ✓.\nRozkład: \\((x+5)(x-3) = 0\\) → \\(x = -5\\) lub \\(x = 3\\).\n\n### Sposób 3 - Postać iloczynowa całkowitego wielomianu\n\\((4-x)(x^2+2x-15) = (4-x)(x+5)(x-3)\\). Iloczyn trzech czynników:\n\\[4 - x = 0 \\lor x + 5 = 0 \\lor x - 3 = 0\\]\n\\[x = 4 \\lor x = -5 \\lor x = 3.\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\{-5, 3, 4\\}\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
Rozwiąż równanie (
)(
)
2
4
2
15
0
x
x
x
Odpowiedź:

\n

MMA_1P
Rozwiąż równanie (4-x)(x^2 + 2x - 15) = 0.

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający korzysta z własności
\n

iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu
(3.7).
Przykładowe rozwiązanie
Lewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników
oraz
. Zatem iloczyn
ten jest równy 0, gdy co najmniej jeden z tych czynników jest równy 0, czyli
lub
Rozwiązaniem równania
jest
Rozwiązania równania
możemy wyznaczyć, korzystając:
• ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego:
,
,
albo
• ze wzorów Viète’a:
oraz
i stąd
,
,
albo
• z postaci iloczynowej trójmianu
, stąd
,
,
albo
• z własności wartości bezwzględnej, przekształcając najpierw równanie do postaci
równoważnej
, skąd
lub
, czyli
lub
Zatem wszystkie rozwiązania równania to:
lub
, lub
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zapisze dwa równania:
i
(wystarczy, że z rozwiązania
wynika, że zdający wyznacza pierwiastki każdego z wielomianów:
,
)
albo
• zapisze rozwiązanie
,
albo
• obliczy co najmniej jeden pierwiastek trójmianu
:
,
,
albo
• wyznaczy jeden z pierwiastków wielomianu
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:
,
,
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający obliczy trzy pierwiastki, ale w odpowiedzi końcowej podaje tylko dwa, to
\n

otrzymuje 1 punkt.
(
)(
)
1
7
0
x x
x
4
x
2
2
15
x
x
4
0
x
2
2
15
0
x
x
4
0
x
4
x =
2
2
15
0
x
x
(
)
2
2
2
4 1
15
64
8
Δ =
-⋅⋅-
1
2
8
5
2
x
2
2
8
3
2
x
1
2
2
x
x
1
2
15
x
x
⋅
1
5
x = -
2
3
x =
2
2
15
x
x
(
)(
)
5
3
0
x
x
1
5
x = -
2
3
x =
1
4
x +
1
4
x + =
1
4
x + = -
3
x =
5
x = -
4
x =
5
x = -
3
x =
4
0
x
2
2
15
0
x
x
4
x
2
2
15
x
x
4
x =
2
2
15
x
x
5
x = -
3
x =
3
2
2
23
60
x
x
x
5
x = -
3
x =
4
x =

\n
  1. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania bez stosownego założenia przez
\n

4
x -
lub przez
drugi czynnik i oblicza pierwiastki (lub pierwiastek) dla pozostałej części, to otrzymuje
0 punktów.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = -5\\) lub \\(x = 3\\) lub \\(x = 4\\)

\n

Trzy pierwiastki równania: \\(x_1 = -5\\), \\(x_2 = 3\\), \\(x_3 = 4\\).

\n

Sposób 1 - Własność iloczynu (zero product property)

\n

Kluczowa obserwacja: iloczyn dwóch czynników wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z nich wynosi zero.

\n

\\[(4-x)(x^2 + 2x - 15) = 0\\]

\n

Mamy zatem dwa przypadki:

\n

Przypadek 1: \\(4 - x = 0\\)

\n

\\[x = 4\\]

\n

Przypadek 2: \\(x^2 + 2x - 15 = 0\\)

\n

Liczymy wyróżnik:
\\[\\Delta = 2^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-15) = 4 + 60 = 64\\]

\n

\\[\\sqrt{\\Delta} = 8\\]

\n

\\[x_1 = \\frac{-2 - 8}{2} = \\frac{-10}{2} = -5\\]

\n

\\[x_2 = \\frac{-2 + 8}{2} = \\frac{6}{2} = 3\\]

\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\{-5,\\ 3,\\ 4\\}\\)

\n

Sposób 2 - Faktoryzacja trójmianu kwadratowego

\n

Zamiast używać wzoru ogólnego, rozkładamy \\(x^2 + 2x - 15\\) na czynniki "z głowy".

\n

Szukamy dwóch liczb, których iloczyn wynosi \\(-15\\) i suma wynosi \\(2\\):

\n

\\[(-5) \\cdot 3 = -15 \\quad \\text{i} \\quad (-5) + 3 = -2 \\quad \\text{❌}\\]
\\[5 \\cdot (-3) = -15 \\quad \\text{i} \\quad 5 + (-3) = 2 \\quad \\text{✓}\\]

\n

Zatem:
\\[x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)\\]

\n

Równanie przyjmuje postać:
\\[(4 - x)(x + 5)(x - 3) = 0\\]

\n

Przyrównujemy każdy czynnik do zera:

\n

\\[4 - x = 0 \\implies x = 4\\]
\\[x + 5 = 0 \\implies x = -5\\]
\\[x - 3 = 0 \\implies x = 3\\]

\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\{-5,\\ 3,\\ 4\\}\\) - wynik zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzór na miejsca zerowe trójmianu:
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do rozwiązania równania \\(x^2 + 2x - 15 = 0\\) (gdzie \\(a = 1\\), \\(b = 2\\), \\(c = -15\\)).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Własność iloczynu zerowego działa tylko gdy iloczyn równa się zero. Gdyby zadanie brzmiało \\((4-x)(x^2+2x-15) = 6\\), nie wolno podzielić równania na dwa przypadki analogicznie - ta metoda nie zadziała!
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj o wszystkich czynnikach - tu mamy trzy pierwiastki, nie dwa. Uczniowie często rozwiązują tylko trójmian, zapominając o \\(4 - x = 0\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy wyznaczaniu \\(\\Delta\\) dla \\(x^2 + 2x - 15\\) pamiętaj, że \\(c = -15\\), więc \\(-4ac = -4 \\cdot 1 \\cdot (-15) = +60\\). Zgubienie tego minusa to najczęstszy błąd!
\n

Rozwiązanie: \\(x \\in \\{-5, 3, 4\\}\\)

\n
Sposób 1 - Iloczyn = 0 ⇔ jeden z czynników = 0
\n

Czynnik 1: \\(4 - x = 0 \\Rightarrow x = 4\\).

\n

Czynnik 2: \\(x^2 + 2x - 15 = 0\\):
\\[\\Delta = 4 + 60 = 64, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 8\\]
\\[x_{1,2} = \\tfrac{-2 \\pm 8}{2}\\]
\\[x_1 = \\tfrac{-2-8}{2} = -5, \\quad x_2 = \\tfrac{-2+8}{2} = 3.\\]

\n

Rozwiązania: \\(x = 4, x = 3, x = -5\\).

\n
Sposób 2 - Rozkład trójmianu przez Viète'a
\n

\\(x^2 + 2x - 15 = 0\\): sumy/iloczyn: \\(x_1+x_2 = -2, x_1 x_2 = -15\\). Szukamy dwóch liczb: \\(-5\\) i \\(3\\) ✓.
Rozkład: \\((x+5)(x-3) = 0\\) → \\(x = -5\\) lub \\(x = 3\\).

\n
Sposób 3 - Postać iloczynowa całkowitego wielomianu
\n

\\((4-x)(x^2+2x-15) = (4-x)(x+5)(x-3)\\). Iloczyn trzech czynników:
\\[4 - x = 0 \\lor x + 5 = 0 \\lor x - 3 = 0\\]
\\[x = 4 \\lor x = -5 \\lor x = 3.\\]

\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\{-5, 3, 4\\}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x=4$ lub $x=-5$, lub $x=3$

"}]}