{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nDany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano\nodpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że\n90\nDEC\nBGF\n°\n\n\n(zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do\ntrójkąta FBG.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nG\n⋅\n⋅\n⋅\n\nMMA_1P\nDany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że |kąt DEC| = |kąt BGF| = 90° (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający rozpoznaje trójkąty podobne\ni wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) cechy\npodobieństwa trójkątów (7.3).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nNiech\nPonieważ\n, więc\nW\n:\n, więc\nTrójkąt CDE jest prostokątny oraz\n, więc\nPodobnie trójkąt BFG jest prostokątny i\n90\nFGB =\n\n, więc\nPonieważ trójkąty CDE i BFG mają równe kąty, więc na podstawie cechy podobieństwa kkk są\npodobne.\nII sposób\nNiech\ni\nTrójkąt CED jest podobny do trójkąta ABC (cecha kkk), bo\noraz\nPodobnie trójkąt GBF jest podobny do trójkąta ABC, (cecha kkk), bo\noraz\nStąd trójkąt CED jest podobny do trójkąta FBG (z przechodniości relacji podobieństwa).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• wskaże w dwóch trójkątach spośród trójkątów CBA, CDE i FBG jedną parę równych\nkątów ostrych i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, przy czym kąt przy\nwierzchołku B musi być wskazany dwukrotnie, jako kąt w obu trójkątach CBA i FBG,\nnp. zdający zapisze\nlub stwierdzi, że jest to wspólny kąt trójkątów\nCBA i FBG (analogicznie z kątem przy wierzchołku C w trójkątach CBA i CDE)\nalbo\n• zapisze, że trójkąt CBA jest podobny do trójkąta FBG i do trójkąta CDE i stąd\nwywnioskuje, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG, ale nie wskaże żadnej pary\nrównych kątów ostrych w tych trójkątach i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\n\nα\nACB\n90\n°\nCAB\n90\n°-\n\nα\nABC\nΔCDE\n90\n°\nDEC\n90\n°-\n\nα\nCDE\n90\n°\nDEC\n90\n°-\n\nα\nCDE\n\nα\nBFG\nACB\nDCE\nα\n\n\nABC\nFBG\nβ\n\n\nACB\nDCE\nα\n\n\n90\nCAB\nDEC\n°\n\n\nABC\nFBG\nβ\n\n\n90\nCAB\nFGB\n°\n\n\nFBG\nCBA\n\n\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający przyjmie konkretne miary kątów, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający przyjmie błędne zależności między kątami, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód podobieństwa △CDE ~ △FBG\n\nTo zadanie otwarte - nie ma litery do wyboru. Poniżej pełny, wzorcowy dowód.\n\n## Sposób 1 - Kąt kąt (AA), analiza kątów w trójkątach\n\n**Ustalamy oznaczenia kątów w trójkącie ABC.**\n\nTrójkąt \\(ABC\\) jest prostokątny. Kąt prosty leży przy wierzchołku \\(A\\) (bo \\(AC\\) i \\(AB\\) są przyprostokątnymi, a \\(BC\\) jest przeciwprostokątną).\n\nOznaczmy:\n\\[|\\angle ACB| = \\gamma, \\qquad |\\angle ABC| = \\beta\\]\n\nPonieważ suma kątów w trójkącie wynosi \\(180°\\), a \\(|\\angle BAC| = 90°\\):\n\\[\\gamma + \\beta = 90°\\]\n\n**Kąty w trójkącie CDE:**\n\n- \\(|\\angle DCE| = |\\angle ACB| = \\gamma\\) - to ten sam kąt przy wierzchołku \\(C\\)\n- \\(|\\angle DEC| = 90°\\) - dane w treści zadania\n- \\(|\\angle CDE| = 180° - 90° - \\gamma = 90° - \\gamma = \\beta\\) - z sumy kątów w trójkącie\n\n**Kąty w trójkącie FBG:**\n\n- \\(|\\angle GBF| = |\\angle ABC| = \\beta\\) - to ten sam kąt przy wierzchołku \\(B\\)\n- \\(|\\angle BGF| = 90°\\) - dane w treści zadania\n- \\(|\\angle BFG| = 180° - 90° - \\beta = 90° - \\beta = \\gamma\\) - z sumy kątów w trójkącie\n\n**Zestawienie kątów:**\n\n| Kąt | △CDE | △FBG |\n| \\(\\gamma\\) | \\(\\angle DCE\\) | \\(\\angle BFG\\) |\n| \\(\\beta\\) | \\(\\angle CDE\\) | \\(\\angle GBF\\) |\n| \\(90°\\) | \\(\\angle DEC\\) | \\(\\angle BGF\\) |\n\nTrójkąty \\(CDE\\) i \\(FBG\\) mają **wszystkie trzy kąty równe** (kolejno \\(\\gamma\\), \\(\\beta\\), \\(90°\\)).\n\nNa mocy kryterium **kąt-kąt (KK)** wynika:\n\n\\[\\boxed{\\triangle CDE \\sim \\triangle FBG}\\]\n\nprzy odpowiedniości wierzchołków \\(C \\leftrightarrow F\\), \\(D \\leftrightarrow B\\), \\(E \\leftrightarrow G\\).\n\n## Sposób 2 - Wszystkie trzy trójkąty są podobne do trójkąta ABC\n\nPokażemy szerszą zależność: **każdy z trójkątów \\(CDE\\) i \\(FBG\\) jest podobny do trójkąta \\(ABC\\)**, a zatem oba są podobne do siebie.\n\n**△CDE ~ △CAB:**\n\nW trójkącie \\(CDE\\):\n- \\(|\\angle DCE| = \\gamma = |\\angle BCA|\\) - wspólny kąt przy \\(C\\)\n- \\(|\\angle DEC| = 90° = |\\angle CAB|\\) - kąt prosty\n\nDwa kąty równe → \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle CAB\\) (KK). ✓\n\n**△FBG ~ △BCA:**\n\nW trójkącie \\(FBG\\):\n- \\(|\\angle GBF| = \\beta = |\\angle ABC|\\) - wspólny kąt przy \\(B\\)\n- \\(|\\angle BGF| = 90° = |\\angle BAC|\\) - kąt prosty\n\nDwa kąty równe → \\(\\triangle FBG \\sim \\triangle BCA\\) (KK). ✓\n\nPonieważ \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle CAB\\) i \\(\\triangle FBG \\sim \\triangle BCA\\), a trójkąt \\(CAB\\) i \\(BCA\\) to ten sam trójkąt (różna kolejność wierzchołków, te same kąty), to:\n\n\\[\\triangle CDE \\sim \\triangle FBG \\qquad \\blacksquare\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - suma kątów w trójkącie:\n\\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180°\\]\nUżyliśmy tego do wyznaczenia brakujących kątów w trójkątach \\(CDE\\) i \\(FBG\\).\n\nKryterium podobieństwa **KK** (kąt-kąt) - trójkąty są podobne, gdy mają dwie pary kątów równych. Jest to twierdzenie podstawowe z planimetrii (s. 15-17 karty).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno po prostu napisać „kąty są równe, bo…\" bez podania DLACZEGO. Kluczowe jest wyjaśnienie, że \\(\\angle DCE = \\gamma\\) to **ten sam kąt**, co kąt \\(C\\) w trójkącie \\(ABC\\) - nie nowy kąt.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Właściwa odpowiedniość wierzchołków ma znaczenie! \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle FBG\\) oznacza konkretne pary: \\(C \\leftrightarrow F\\), \\(D \\leftrightarrow B\\), \\(E \\leftrightarrow G\\). Zamiana kolejności (np. \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle GBF\\)) to błąd - inna odpowiedniość, inne proporcje boków.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Do dowodu podobieństwa **wystarczą dwa kąty** (KK) - trzeciego nie trzeba sprawdzać osobno (automatycznie wynika z sumy kątów = 180°). Nie komplikuj dowodu, jeśli dwa kąty wystarczą!\n\n**Dowód.**\n\n### Sposób 1 - Cecha podobieństwa kkk (kąt-kąt-kąt)\nOznaczmy \\(\\angle ACB = \\alpha\\) (kąt ostry trójkąta \\(ABC\\) przy \\(C\\)).\n\n**W trójkącie \\(CDE\\):**\n- \\(\\angle DEC = 90^\\circ\\) (dane)\n- \\(\\angle DCE = \\alpha\\) (to kąt \\(\\angle ACB\\))\n- \\(\\angle CDE = 180^\\circ - 90^\\circ - \\alpha = 90^\\circ - \\alpha\\)\n\n**W trójkącie \\(ABC\\):** skoro \\(\\angle CAB = 90^\\circ\\) i \\(\\angle ACB = \\alpha\\), to \\(\\angle ABC = 90^\\circ - \\alpha\\).\n\n**W trójkącie \\(FBG\\):**\n- \\(\\angle BGF = 90^\\circ\\) (dane)\n- \\(\\angle FBG = \\angle ABC = 90^\\circ - \\alpha\\) (ten sam kąt)\n- \\(\\angle BFG = 180^\\circ - 90^\\circ - (90^\\circ - \\alpha) = \\alpha\\)\n\n**Porównanie trójkątów:**\n| Trójkąt | Kąty |\n| \\(CDE\\) | \\(\\alpha\\), \\(90^\\circ\\), \\(90^\\circ - \\alpha\\) |\n| \\(FBG\\) | \\(\\alpha\\), \\(90^\\circ\\), \\(90^\\circ - \\alpha\\) |\n\nOba trójkąty mają takie same kąty → są podobne (cecha kkk). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Przez pośredni trójkąt \\(ABC\\)\n**Twierdzenie pomocnicze:** \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle CBA\\):\n- wspólny kąt przy \\(C\\) (\\(\\alpha\\))\n- \\(\\angle DEC = \\angle CAB = 90^\\circ\\)\n\n**Analogicznie:** \\(\\triangle FBG \\sim \\triangle CBA\\):\n- wspólny kąt przy \\(B\\) (\\(90^\\circ - \\alpha\\))\n- \\(\\angle BGF = \\angle BAC = 90^\\circ\\)\n\n**Przechodniosć podobieństwa:** \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle CBA \\sim \\triangle FBG\\), więc \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle FBG\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n**Kluczowe:** dwa trójkąty prostokątne, które mają jeszcze jeden wspólny kąt ostry, są zawsze podobne (cecha 2 kątów wystarcza, bo trzeci jest wymuszony sumą \\(180^\\circ\\)).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 29. (0-2)<br>Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano<br>odpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że<br>90<br>DEC<br>BGF<br>°<br><br><br>(zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do<br>trójkąta FBG.<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>28.<br>29.<br>Maks. liczba pkt<br>2<br>2<br>Uzyskana liczba pkt<br>A<br>B<br>C<br>D<br>E<br>F<br>G<br>⋅<br>⋅<br>⋅</p>\n<p>MMA_1P<br>Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że |kąt DEC| = |kąt BGF| = 90° (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 29. (0-2)<br>V. Rozumowanie<br>i argumentacja.</p>\n<ol><li>Planimetria. Zdający rozpoznaje trójkąty podobne</li></ol>\n<p>i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) cechy<br>podobieństwa trójkątów (7.3).<br>Przykładowe rozwiązania<br>I sposób<br>Niech<br>Ponieważ<br>, więc<br>W<br>:<br>, więc<br>Trójkąt CDE jest prostokątny oraz<br>, więc<br>Podobnie trójkąt BFG jest prostokątny i<br>90<br>FGB =<br><br>, więc<br>Ponieważ trójkąty CDE i BFG mają równe kąty, więc na podstawie cechy podobieństwa kkk są<br>podobne.<br>II sposób<br>Niech<br>i<br>Trójkąt CED jest podobny do trójkąta ABC (cecha kkk), bo<br>oraz<br>Podobnie trójkąt GBF jest podobny do trójkąta ABC, (cecha kkk), bo<br>oraz<br>Stąd trójkąt CED jest podobny do trójkąta FBG (z przechodniości relacji podobieństwa).<br>Schemat punktowania<br>Zdający otrzymuje 1 p.<br>gdy<br>• wskaże w dwóch trójkątach spośród trójkątów CBA, CDE i FBG jedną parę równych<br>kątów ostrych i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, przy czym kąt przy<br>wierzchołku B musi być wskazany dwukrotnie, jako kąt w obu trójkątach CBA i FBG,<br>np. zdający zapisze<br>lub stwierdzi, że jest to wspólny kąt trójkątów<br>CBA i FBG (analogicznie z kątem przy wierzchołku C w trójkątach CBA i CDE)<br>albo<br>• zapisze, że trójkąt CBA jest podobny do trójkąta FBG i do trójkąta CDE i stąd<br>wywnioskuje, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG, ale nie wskaże żadnej pary<br>równych kątów ostrych w tych trójkątach i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.<br><br>α<br>ACB<br>90<br>°<br>CAB<br>90<br>°-<br><br>α<br>ABC<br>ΔCDE<br>90<br>°<br>DEC<br>90<br>°-<br><br>α<br>CDE<br>90<br>°<br>DEC<br>90<br>°-<br><br>α<br>CDE<br><br>α<br>BFG<br>ACB<br>DCE<br>α<br><br><br>ABC<br>FBG<br>β<br><br><br>ACB<br>DCE<br>α<br><br><br>90<br>CAB<br>DEC<br>°<br><br><br>ABC<br>FBG<br>β<br><br><br>90<br>CAB<br>FGB<br>°<br><br><br>FBG<br>CBA<br><br><br>Zdający otrzymuje 2 p.<br>gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający przyjmie konkretne miary kątów, to otrzymuje 0 punktów.</li><li>Jeżeli zdający przyjmie błędne zależności między kątami, to otrzymuje 0 punktów.</li></ol>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: Dowód podobieństwa △CDE ~ △FBG</h4>\n<p>To zadanie otwarte - nie ma litery do wyboru. Poniżej pełny, wzorcowy dowód.</p>\n<h4>Sposób 1 - Kąt kąt (AA), analiza kątów w trójkątach</h4>\n<p><strong>Ustalamy oznaczenia kątów w trójkącie ABC.</strong></p>\n<p>Trójkąt \\(ABC\\) jest prostokątny. Kąt prosty leży przy wierzchołku \\(A\\) (bo \\(AC\\) i \\(AB\\) są przyprostokątnymi, a \\(BC\\) jest przeciwprostokątną).</p>\n<p>Oznaczmy:<br>\\[|\\angle ACB| = \\gamma, \\qquad |\\angle ABC| = \\beta\\]</p>\n<p>Ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi \\(180°\\), a \\(|\\angle BAC| = 90°\\):<br>\\[\\gamma + \\beta = 90°\\]</p>\n<p><strong>Kąty w trójkącie CDE:</strong></p>\n<ul><li>\\(|\\angle DCE| = |\\angle ACB| = \\gamma\\) - to ten sam kąt przy wierzchołku \\(C\\)</li><li>\\(|\\angle DEC| = 90°\\) - dane w treści zadania</li><li>\\(|\\angle CDE| = 180° - 90° - \\gamma = 90° - \\gamma = \\beta\\) - z sumy kątów w trójkącie</li></ul>\n<p><strong>Kąty w trójkącie FBG:</strong></p>\n<ul><li>\\(|\\angle GBF| = |\\angle ABC| = \\beta\\) - to ten sam kąt przy wierzchołku \\(B\\)</li><li>\\(|\\angle BGF| = 90°\\) - dane w treści zadania</li><li>\\(|\\angle BFG| = 180° - 90° - \\beta = 90° - \\beta = \\gamma\\) - z sumy kątów w trójkącie</li></ul>\n<p><strong>Zestawienie kątów:</strong></p>\n<p>| Kąt | △CDE | △FBG |<br>| \\(\\gamma\\) | \\(\\angle DCE\\) | \\(\\angle BFG\\) |<br>| \\(\\beta\\) | \\(\\angle CDE\\) | \\(\\angle GBF\\) |<br>| \\(90°\\) | \\(\\angle DEC\\) | \\(\\angle BGF\\) |</p>\n<p>Trójkąty \\(CDE\\) i \\(FBG\\) mają <strong>wszystkie trzy kąty równe</strong> (kolejno \\(\\gamma\\), \\(\\beta\\), \\(90°\\)).</p>\n<p>Na mocy kryterium <strong>kąt-kąt (KK)</strong> wynika:</p>\n<p>\\[\\boxed{\\triangle CDE \\sim \\triangle FBG}\\]</p>\n<p>przy odpowiedniości wierzchołków \\(C \\leftrightarrow F\\), \\(D \\leftrightarrow B\\), \\(E \\leftrightarrow G\\).</p>\n<h4>Sposób 2 - Wszystkie trzy trójkąty są podobne do trójkąta ABC</h4>\n<p>Pokażemy szerszą zależność: <strong>każdy z trójkątów \\(CDE\\) i \\(FBG\\) jest podobny do trójkąta \\(ABC\\)</strong>, a zatem oba są podobne do siebie.</p>\n<p><strong>△CDE ~ △CAB:</strong></p>\n<p>W trójkącie \\(CDE\\):</p>\n<ul><li>\\(|\\angle DCE| = \\gamma = |\\angle BCA|\\) - wspólny kąt przy \\(C\\)</li><li>\\(|\\angle DEC| = 90° = |\\angle CAB|\\) - kąt prosty</li></ul>\n<p>Dwa kąty równe → \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle CAB\\) (KK). ✓</p>\n<p><strong>△FBG ~ △BCA:</strong></p>\n<p>W trójkącie \\(FBG\\):</p>\n<ul><li>\\(|\\angle GBF| = \\beta = |\\angle ABC|\\) - wspólny kąt przy \\(B\\)</li><li>\\(|\\angle BGF| = 90° = |\\angle BAC|\\) - kąt prosty</li></ul>\n<p>Dwa kąty równe → \\(\\triangle FBG \\sim \\triangle BCA\\) (KK). ✓</p>\n<p>Ponieważ \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle CAB\\) i \\(\\triangle FBG \\sim \\triangle BCA\\), a trójkąt \\(CAB\\) i \\(BCA\\) to ten sam trójkąt (różna kolejność wierzchołków, te same kąty), to:</p>\n<p>\\[\\triangle CDE \\sim \\triangle FBG \\qquad \\blacksquare\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - suma kątów w trójkącie:<br>\\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180°\\]<br>Użyliśmy tego do wyznaczenia brakujących kątów w trójkątach \\(CDE\\) i \\(FBG\\).</p>\n<p>Kryterium podobieństwa <strong>KK</strong> (kąt-kąt) - trójkąty są podobne, gdy mają dwie pary kątów równych. Jest to twierdzenie podstawowe z planimetrii (s. 15-17 karty).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie wolno po prostu napisać „kąty są równe, bo…&quot; bez podania DLACZEGO. Kluczowe jest wyjaśnienie, że \\(\\angle DCE = \\gamma\\) to <strong>ten sam kąt</strong>, co kąt \\(C\\) w trójkącie \\(ABC\\) - nie nowy kąt.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Właściwa odpowiedniość wierzchołków ma znaczenie! \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle FBG\\) oznacza konkretne pary: \\(C \\leftrightarrow F\\), \\(D \\leftrightarrow B\\), \\(E \\leftrightarrow G\\). Zamiana kolejności (np. \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle GBF\\)) to błąd - inna odpowiedniość, inne proporcje boków.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Do dowodu podobieństwa <strong>wystarczą dwa kąty</strong> (KK) - trzeciego nie trzeba sprawdzać osobno (automatycznie wynika z sumy kątów = 180°). Nie komplikuj dowodu, jeśli dwa kąty wystarczą!</blockquote>\n<p><strong>Dowód.</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Cecha podobieństwa kkk (kąt-kąt-kąt)</h5>\n<p>Oznaczmy \\(\\angle ACB = \\alpha\\) (kąt ostry trójkąta \\(ABC\\) przy \\(C\\)).</p>\n<p><strong>W trójkącie \\(CDE\\):</strong></p>\n<ul><li>\\(\\angle DEC = 90^\\circ\\) (dane)</li><li>\\(\\angle DCE = \\alpha\\) (to kąt \\(\\angle ACB\\))</li><li>\\(\\angle CDE = 180^\\circ - 90^\\circ - \\alpha = 90^\\circ - \\alpha\\)</li></ul>\n<p><strong>W trójkącie \\(ABC\\):</strong> skoro \\(\\angle CAB = 90^\\circ\\) i \\(\\angle ACB = \\alpha\\), to \\(\\angle ABC = 90^\\circ - \\alpha\\).</p>\n<p><strong>W trójkącie \\(FBG\\):</strong></p>\n<ul><li>\\(\\angle BGF = 90^\\circ\\) (dane)</li><li>\\(\\angle FBG = \\angle ABC = 90^\\circ - \\alpha\\) (ten sam kąt)</li><li>\\(\\angle BFG = 180^\\circ - 90^\\circ - (90^\\circ - \\alpha) = \\alpha\\)</li></ul>\n<p><strong>Porównanie trójkątów:</strong><br>| Trójkąt | Kąty |<br>| \\(CDE\\) | \\(\\alpha\\), \\(90^\\circ\\), \\(90^\\circ - \\alpha\\) |<br>| \\(FBG\\) | \\(\\alpha\\), \\(90^\\circ\\), \\(90^\\circ - \\alpha\\) |</p>\n<p>Oba trójkąty mają takie same kąty → są podobne (cecha kkk). \\(\\blacksquare\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez pośredni trójkąt \\(ABC\\)</h5>\n<p><strong>Twierdzenie pomocnicze:</strong> \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle CBA\\):</p>\n<ul><li>wspólny kąt przy \\(C\\) (\\(\\alpha\\))</li><li>\\(\\angle DEC = \\angle CAB = 90^\\circ\\)</li></ul>\n<p><strong>Analogicznie:</strong> \\(\\triangle FBG \\sim \\triangle CBA\\):</p>\n<ul><li>wspólny kąt przy \\(B\\) (\\(90^\\circ - \\alpha\\))</li><li>\\(\\angle BGF = \\angle BAC = 90^\\circ\\)</li></ul>\n<p><strong>Przechodniosć podobieństwa:</strong> \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle CBA \\sim \\triangle FBG\\), więc \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle FBG\\). \\(\\blacksquare\\)</p>\n<p><strong>Kluczowe:</strong> dwa trójkąty prostokątne, które mają jeszcze jeden wspólny kąt ostry, są zawsze podobne (cecha 2 kątów wystarcza, bo trzeci jest wymuszony sumą \\(180^\\circ\\)).</p>"}]}