{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nCiąg (\n)\nna\njest określony wzorem\n2\n2\n2\nna\nn\nn\ndla\n1\nn ≥. Wykaż, że suma każdych dwóch\nkolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.\n\nMMA_1P\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 2n^2+2n dla n ≥ 1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego\nmnożenia na\noraz\n(2.1).\nPrzykładowe rozwiązanie\nRozważmy wyraz\n2\n2\n2\nna\nn\nn\nWyraz\n1\nna + można zapisać, jako\nWtedy\nZatem\nLiczba\njest naturalna. To kończy dowód.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy poprawnie zapisze sumę dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu, np.\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwaga:\nJeżeli zdający sprawdzi prawdziwość tezy tylko dla konkretnych wartości n, to otrzymuje\n0 punktów.\n(\n)\n2\na\nb\n±\n2\n2\na\nb\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n6\n4\nna\nn\nn\nn\nn\n2\n2\n2\n1\n2\n2\n2\n6\n4\n4\n8\n4\nn\nn\na\na\nn\nn\nn\nn\nn\nn\n(\n)\n2\n1\n2\n2\nn\nn\na\na\nn\n2\n2\nn\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n2\n2\n1\n2\n1\nn\nn\na\na\nn\nn\nn\nn","solution":"## Poprawna odpowiedź: suma \\(a_n + a_{n+1} = (2n+2)^2\\), co jest kwadratem liczby naturalnej \\(2n+2\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie sumy i wyłuczenie pełnego kwadratu\n\n**Wyznaczamy \\(a_{n+1}\\)**, podstawiając \\(n+1\\) w miejsce \\(n\\):\n\n\\[a_{n+1} = 2(n+1)^2 + 2(n+1)\\]\n\nRozwijamy:\n\\[a_{n+1} = 2(n^2 + 2n + 1) + 2n + 2 = 2n^2 + 4n + 2 + 2n + 2 = 2n^2 + 6n + 4\\]\n\n**Liczymy sumę dwóch kolejnych wyrazów:**\n\n\\[a_n + a_{n+1} = (2n^2 + 2n) + (2n^2 + 6n + 4)\\]\n\n\\[= 4n^2 + 8n + 4\\]\n\n**Rozpoznajemy pełny kwadrat** - wzór skróconego mnożenia \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\):\n\n\\[4n^2 + 8n + 4 = 4(n^2 + 2n + 1) = 4(n+1)^2 = \\big(2(n+1)\\big)^2 = (2n+2)^2\\]\n\n**Wniosek:** Ponieważ \\(n \\geq 1\\), mamy \\(2n + 2 \\geq 4\\), więc \\(2n+2 \\in \\mathbb{N}\\).\n\n\\[\\boxed{a_n + a_{n+1} = (2n+2)^2}\\]\n\n**To jest kwadrat liczby naturalnej \\(2n+2\\).** Co należało wykazać. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Wyłączanie czynnika wspólnego (faktoryzacja bez rozwijania nawiasów)\n\nZamiast rozwijać wszystkie nawiasy, **najpierw faktoryzujemy** każdy wyraz:\n\n\\[a_n = 2n^2 + 2n = 2n(n+1)\\]\n\n\\[a_{n+1} = 2(n+1)^2 + 2(n+1) = 2(n+1)\\cdot(n+1) + 2(n+1) = 2(n+1)\\big[(n+1)+1\\big] = 2(n+1)(n+2)\\]\n\n**Sumujemy, wyłączając wspólny czynnik \\(2(n+1)\\):**\n\n\\[a_n + a_{n+1} = 2n(n+1) + 2(n+1)(n+2) = 2(n+1)\\big[n + (n+2)\\big]\\]\n\n\\[= 2(n+1) \\cdot (2n+2) = 2(n+1) \\cdot 2(n+1) = 4(n+1)^2 = \\big(2(n+1)\\big)^2\\]\n\nTen sposób jest **szybszy** - unikamy rozwijania i od razu dostrzegamy symetrię. Wynik identyczny: \\((2n+2)^2\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na kwadrat sumy:\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do rozpoznania, że \\(n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2\\).\n\nAlternatywnie w Sposobie 2 - zamiast wzoru skróconego mnożenia wystarczy samo **wyłączanie czynnika wspólnego**, co jest działaniem elementarnym (nie wymaga wzoru z karty).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy sprawdzić dla kilku wartości \\(n\\) (np. \\(n=1, 2, 3\\)). To jest zadanie na **dowód ogólny** - musisz pokazać, że działa dla każdego \\(n \\geq 1\\), a nie tylko dla konkretnych przykładów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj napisać **dlaczego wynik jest liczbą naturalną**. Sam zapis \\((2n+2)^2\\) nie kończy dowodu - trzeba zaznaczyć, że \\(2n+2 \\in \\mathbb{N}\\) dla \\(n \\geq 1\\), czyli że stoimy pod dobrze określonym kwadratem liczby naturalnej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd przy liczeniu \\(a_{n+1}\\) - pomylenie \\(2(n+1)^2\\) z \\((2n+1)^2\\). Wzór mówi \\(a_n = 2n^2 + 2n\\), więc \\(a_{n+1} = 2\\cdot(n+1)^2 + 2\\cdot(n+1)\\), a **nie** \\(2n^2 + 2(n+1)\\) - zmieniamy **oba** wystąpienia \\(n\\)!\n\n**Dowód.**\n\n### Sposób 1 - Bezpośrednie rozwinięcie\nRozważmy sumę dwóch kolejnych wyrazów \\(a_n + a_{n+1}\\) dla \\(n \\ge 1\\).\n\n**Krok 1 - obliczenie \\(a_{n+1}\\):**\n\\[a_{n+1} = 2(n+1)^2 + 2(n+1) = 2(n^2+2n+1) + 2n+2 = 2n^2 + 4n + 2 + 2n + 2 = 2n^2 + 6n + 4.\\]\n\n**Krok 2 - suma:**\n\\[a_n + a_{n+1} = (2n^2+2n) + (2n^2+6n+4) = 4n^2 + 8n + 4.\\]\n\n**Krok 3 - rozpoznanie kwadratu:**\n\\[4n^2 + 8n + 4 = 4(n^2+2n+1) = 4(n+1)^2 = (2(n+1))^2 = (2n+2)^2.\\]\n\n**Krok 4 - \\(2n+2\\) to liczba naturalna** dla \\(n \\ge 1\\).\n\nZatem \\(a_n + a_{n+1} = (2n+2)^2\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Przez wzór skróconego mnożenia\nZauważamy że \\(a_n = 2n(n+1)\\). Wtedy \\(a_{n+1} = 2(n+1)(n+2)\\). Suma:\n\\[a_n + a_{n+1} = 2(n+1)[n + (n+2)] = 2(n+1)(2n+2) = 4(n+1)^2 = (2(n+1))^2. \\quad \\blacksquare\\]\n\n**Uwaga:** kluczowym krokiem jest rozpoznanie \\((2n+2)^2\\) w wyrażeniu \\(4n^2 + 8n + 4\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
Ciąg (
)
na
jest określony wzorem
2
2
2
na
n
n
dla
1
n ≥. Wykaż, że suma każdych dwóch
kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

\n

MMA_1P
Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 2n^2+2n dla n ≥ 1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
V. Rozumowanie
i argumentacja.

\n
  1. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego
\n

mnożenia na
oraz
(2.1).
Przykładowe rozwiązanie
Rozważmy wyraz
2
2
2
na
n
n
Wyraz
1
na + można zapisać, jako
Wtedy
Zatem
Liczba
jest naturalna. To kończy dowód.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy poprawnie zapisze sumę dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu, np.
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Uwaga:
Jeżeli zdający sprawdzi prawdziwość tezy tylko dla konkretnych wartości n, to otrzymuje
0 punktów.
(
)
2
a
b
±
2
2
a
b
(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
1
2
6
4
na
n
n
n
n
2
2
2
1
2
2
2
6
4
4
8
4
n
n
a
a
n
n
n
n
n
n
(
)
2
1
2
2
n
n
a
a
n
2
2
n
(
)
(
)
2
2
1
2
2
2
1
2
1
n
n
a
a
n
n
n
n

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: suma \\(a_n + a_{n+1} = (2n+2)^2\\), co jest kwadratem liczby naturalnej \\(2n+2\\)

\n

Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie sumy i wyłuczenie pełnego kwadratu

\n

Wyznaczamy \\(a_{n+1}\\), podstawiając \\(n+1\\) w miejsce \\(n\\):

\n

\\[a_{n+1} = 2(n+1)^2 + 2(n+1)\\]

\n

Rozwijamy:
\\[a_{n+1} = 2(n^2 + 2n + 1) + 2n + 2 = 2n^2 + 4n + 2 + 2n + 2 = 2n^2 + 6n + 4\\]

\n

Liczymy sumę dwóch kolejnych wyrazów:

\n

\\[a_n + a_{n+1} = (2n^2 + 2n) + (2n^2 + 6n + 4)\\]

\n

\\[= 4n^2 + 8n + 4\\]

\n

Rozpoznajemy pełny kwadrat - wzór skróconego mnożenia \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\):

\n

\\[4n^2 + 8n + 4 = 4(n^2 + 2n + 1) = 4(n+1)^2 = \\big(2(n+1)\\big)^2 = (2n+2)^2\\]

\n

Wniosek: Ponieważ \\(n \\geq 1\\), mamy \\(2n + 2 \\geq 4\\), więc \\(2n+2 \\in \\mathbb{N}\\).

\n

\\[\\boxed{a_n + a_{n+1} = (2n+2)^2}\\]

\n

To jest kwadrat liczby naturalnej \\(2n+2\\). Co należało wykazać. \\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - Wyłączanie czynnika wspólnego (faktoryzacja bez rozwijania nawiasów)

\n

Zamiast rozwijać wszystkie nawiasy, najpierw faktoryzujemy każdy wyraz:

\n

\\[a_n = 2n^2 + 2n = 2n(n+1)\\]

\n

\\[a_{n+1} = 2(n+1)^2 + 2(n+1) = 2(n+1)\\cdot(n+1) + 2(n+1) = 2(n+1)\\big[(n+1)+1\\big] = 2(n+1)(n+2)\\]

\n

Sumujemy, wyłączając wspólny czynnik \\(2(n+1)\\):

\n

\\[a_n + a_{n+1} = 2n(n+1) + 2(n+1)(n+2) = 2(n+1)\\big[n + (n+2)\\big]\\]

\n

\\[= 2(n+1) \\cdot (2n+2) = 2(n+1) \\cdot 2(n+1) = 4(n+1)^2 = \\big(2(n+1)\\big)^2\\]

\n

Ten sposób jest szybszy - unikamy rozwijania i od razu dostrzegamy symetrię. Wynik identyczny: \\((2n+2)^2\\). \\(\\blacksquare\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - wzór na kwadrat sumy:
\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 do rozpoznania, że \\(n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2\\).

\n

Alternatywnie w Sposobie 2 - zamiast wzoru skróconego mnożenia wystarczy samo wyłączanie czynnika wspólnego, co jest działaniem elementarnym (nie wymaga wzoru z karty).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy sprawdzić dla kilku wartości \\(n\\) (np. \\(n=1, 2, 3\\)). To jest zadanie na dowód ogólny - musisz pokazać, że działa dla każdego \\(n \\geq 1\\), a nie tylko dla konkretnych przykładów.
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj napisać dlaczego wynik jest liczbą naturalną. Sam zapis \\((2n+2)^2\\) nie kończy dowodu - trzeba zaznaczyć, że \\(2n+2 \\in \\mathbb{N}\\) dla \\(n \\geq 1\\), czyli że stoimy pod dobrze określonym kwadratem liczby naturalnej.
\n
⚠️ Uwaga: Częsty błąd przy liczeniu \\(a_{n+1}\\) - pomylenie \\(2(n+1)^2\\) z \\((2n+1)^2\\). Wzór mówi \\(a_n = 2n^2 + 2n\\), więc \\(a_{n+1} = 2\\cdot(n+1)^2 + 2\\cdot(n+1)\\), a nie \\(2n^2 + 2(n+1)\\) - zmieniamy oba wystąpienia \\(n\\)!
\n

Dowód.

\n
Sposób 1 - Bezpośrednie rozwinięcie
\n

Rozważmy sumę dwóch kolejnych wyrazów \\(a_n + a_{n+1}\\) dla \\(n \\ge 1\\).

\n

Krok 1 - obliczenie \\(a_{n+1}\\):
\\[a_{n+1} = 2(n+1)^2 + 2(n+1) = 2(n^2+2n+1) + 2n+2 = 2n^2 + 4n + 2 + 2n + 2 = 2n^2 + 6n + 4.\\]

\n

Krok 2 - suma:
\\[a_n + a_{n+1} = (2n^2+2n) + (2n^2+6n+4) = 4n^2 + 8n + 4.\\]

\n

Krok 3 - rozpoznanie kwadratu:
\\[4n^2 + 8n + 4 = 4(n^2+2n+1) = 4(n+1)^2 = (2(n+1))^2 = (2n+2)^2.\\]

\n

Krok 4 - \\(2n+2\\) to liczba naturalna dla \\(n \\ge 1\\).

\n

Zatem \\(a_n + a_{n+1} = (2n+2)^2\\). \\(\\blacksquare\\)

\n
Sposób 2 - Przez wzór skróconego mnożenia
\n

Zauważamy że \\(a_n = 2n(n+1)\\). Wtedy \\(a_{n+1} = 2(n+1)(n+2)\\). Suma:
\\[a_n + a_{n+1} = 2(n+1)[n + (n+2)] = 2(n+1)(2n+2) = 4(n+1)^2 = (2(n+1))^2. \\quad \\blacksquare\\]

\n

Uwaga: kluczowym krokiem jest rozpoznanie \\((2n+2)^2\\) w wyrażeniu \\(4n^2 + 8n + 4\\).

"}]}