{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nSkala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem\n0\nlog A\nR\nA\n, gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach,\n4\n0\n10\nA\ncm\njest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce\ntrzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii\ni rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy - mniejsza od 100 cm.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nSkala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem R = log(A / A_0), gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, A_0 = 10^{-4} cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy - mniejsza od 100 cm.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje definicję logarytmu\ni stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm\nilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym oraz\nwykorzystuje podstawowe własności potęg - również\nw zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy,\nnp. fizyką, chemią, informatyką (1.6, 1.5).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZapisujemy równanie\nKorzystamy z definicji logarytmu\nStąd\n,\nStwierdzamy, że\n2,2\n2\n10\n10\n100\n>\n, gdyż funkcja wykładnicza\n10x\ny =\njest rosnąca. Oznacza\nto, że\ncm.\nII sposób\nZapisujemy równanie\nTo równanie jest równoważne kolejno równaniom\n,\n,\nZatem\n. Korzystamy z definicji logarytmu i otrzymujemy równość\nStwierdzamy, że\n2,2\n2\n10\n10\n100\n>\n, gdyż funkcja wykładnicza\n10x\ny =\njest rosnąca. Oznacza\nto, że\ncm.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• wykorzysta definicję logarytmu i przekształci równanie\ndo postaci\n4\n6,2\nlog10\nA\n6,2\n4\n10\n10\nA\n6,2\n4\n10\n10\nA\n⋅\n2,2\n10\nA =\n100\nA >\n4\n6,2\nlog10\nA\n(\n)\n4\n6,2\nlog 10 A\n4\n6,2\nlog10\nlog A\n6,2\n4\nlog A\n2,2\nlog A\n2,2\n10\nA =\n100\nA >\n4\n6,2\nlog10\nA\n6,2\n4\n10\n10\nA\nalbo\n• wykorzysta własność logarytmu i przekształci równanie\ndo postaci\n4\n6,2\nlog\nlog10\nA\nlub\n4\n6,2\nlog\nlog10\nA\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\ngdy zapisze, że\ni stwierdzi, że amplituda tego trzęsienia ziemi była większa od\ncm.\nZdający otrzymuje 2 p.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający błędnie interpretuje treść zadania, w szczególności stosuje niepoprawne\npodstawienie do wzoru, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający nie obliczy amplitudy, ale uzasadni, że amplituda jest większa od 100 cm,\nto otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający nie obliczy amplitudy tylko zapisze bez uzasadnienia, że amplituda jest\nwiększa od 100 cm, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Amplituda wynosi \\(A = 10^{2{,}2} \\approx 158{,}5\\) cm - jest **większa** od 100 cm.\n\n## Sposób 1 - Rozwiązanie równania logarytmicznego\n\n**Dane:**\n\\[R = \\log\\frac{A}{A_0}, \\quad A_0 = 10^{-4} \\text{ cm}, \\quad R = 6{,}2\\]\n\n**Krok 1:** Podstawiamy znane wartości do wzoru.\n\\[6{,}2 = \\log\\frac{A}{10^{-4}}\\]\n\n**Krok 2:** Korzystamy z definicji logarytmu - jeśli \\(\\log x = c\\), to \\(x = 10^c\\).\n\\[\\frac{A}{10^{-4}} = 10^{6{,}2}\\]\n\n**Krok 3:** Wyznaczamy \\(A\\), mnożąc obie strony przez \\(10^{-4}\\).\n\\[A = 10^{6{,}2} \\cdot 10^{-4} = 10^{6{,}2 - 4} = 10^{2{,}2}\\]\n\n**Krok 4:** Porównujemy z 100 cm.\n\\[10^{2{,}2} \\quad \\text{vs} \\quad 100 = 10^2\\]\n\nPonieważ \\(2{,}2 > 2\\), a funkcja wykładnicza \\(10^x\\) jest rosnąca, mamy:\n\\[10^{2{,}2} > 10^2 = 100\\]\n\n**Wniosek:** Amplituda trzęsienia ziemi wynosi \\(A = 10^{2{,}2} \\approx 158{,}5\\) cm i jest **większa od 100 cm**.\n\n## Sposób 2 - Własność logarytmu sumy + szacowanie\n\n**Krok 1:** Rozwijamy logarytm ułamka.\n\\[6{,}2 = \\log\\frac{A}{10^{-4}} = \\log A - \\log 10^{-4} = \\log A - (-4) = \\log A + 4\\]\n\n**Krok 2:** Wyznaczamy \\(\\log A\\).\n\\[\\log A = 6{,}2 - 4 = 2{,}2\\]\n\n**Krok 3:** Przechodzimy do wartości \\(A\\).\n\\[A = 10^{2{,}2}\\]\n\n**Krok 4:** Sprawdzamy, czy \\(A > 100\\), sprawdzając logarytm ze 100.\n\\[\\log 100 = \\log 10^2 = 2\\]\n\nSkoro \\(\\log A = 2{,}2 > 2 = \\log 100\\), a logarytm jest funkcją rosnącą, to:\n\\[A > 100 \\text{ cm}\\]\n\n**Wniosek taki sam:** amplituda jest większa od 100 cm.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nDefinicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\n\nUżyliśmy tego w kroku 2 Sposobu 1, by przejść od \\(\\log\\frac{A}{10^{-4}} = 6{,}2\\) do \\(\\frac{A}{10^{-4}} = 10^{6{,}2}\\).\n\nWłasność logarytmu ilorazu:\n\\[\\log\\frac{x}{y} = \\log x - \\log y\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do rozwinięcia \\(\\log\\frac{A}{10^{-4}}\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nDziałanie na potęgach:\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\n\nUżyliśmy tego przy obliczeniu \\(10^{6{,}2} \\cdot 10^{-4} = 10^{2{,}2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log\\) bez podstawy to logarytm dziesiętny \\(\\log_{10}\\) - nie mylić z \\(\\ln\\) (logarytmem naturalnym). Na maturze PP zawsze chodzi o \\(\\log_{10}\\), gdy nie ma podanej podstawy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(10^{6{,}2} \\cdot 10^{-4}\\) dodajemy wykładniki: \\(6{,}2 + (-4) = 2{,}2\\), **nie** mnożymy. Typowy błąd: \\(6{,}2 \\cdot (-4)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Do rozstrzygnięcia porównania wystarczy porównać wykładniki (\\(2{,}2 > 2\\)), nie trzeba liczyć przybliżonej wartości \\(10^{2{,}2}\\). Wystarczy stwierdzić, że skoro podstawa \\(10 > 1\\), to \\(10^{2{,}2} > 10^2 = 100\\).\n\n**Odpowiedź: \\(A = 10^{2{,}2}\\) cm \\(>\\) 100 cm**\n\n### Sposób 1 - Z definicji logarytmu\nRównanie:\n\\[6{,}2 = \\log\\dfrac{A}{10^{-4}}\\]\nZ definicji logarytmu dziesiętnego:\n\\[\\dfrac{A}{10^{-4}} = 10^{6{,}2}\\]\n\\[A = 10^{6{,}2}\\cdot 10^{-4} = 10^{6{,}2 - 4} = 10^{2{,}2}\\text{ cm}.\\]\n\n**Porównanie z 100 cm = \\(10^2\\) cm:**\nSkoro \\(10^{2{,}2} > 10^2\\) (funkcja wykładnicza \\(y = 10^x\\) rosnąca, \\(2{,}2 > 2\\)):\n\\[A > 100 \\text{ cm}.\\]\n\n### Sposób 2 - Z własności logarytmu\n\\[6{,}2 = \\log\\dfrac{A}{10^{-4}} = \\log A - \\log 10^{-4} = \\log A + 4.\\]\n\\[\\log A = 6{,}2 - 4 = 2{,}2.\\]\n\\[A = 10^{2{,}2}\\text{ cm}.\\]\nWniosek: \\(A > 10^2 = 100\\) cm.\n\n### Sposób 3 - Oszacowanie \\(10^{2{,}2}\\)\n\\(10^{2{,}2} = 10^2 \\cdot 10^{0{,}2} = 100\\cdot 10^{0{,}2}\\). Ponieważ \\(10^{0{,}2} > 1\\) (bo \\(0{,}2 > 0\\)), to \\(10^{2{,}2} > 100\\).\n\nDokładniej: \\(10^{0{,}2} \\approx 1{,}585\\), więc \\(A \\approx 158{,}5\\) cm.\n\n**Odpowiedź:** amplituda \\(A \\approx 10^{2{,}2} \\approx 158{,}5\\) cm, jest **większa** od 100 cm.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"logarytmy","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem
0
log A
R
A
, gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach,
4
0
10
A
cm
jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce
trzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii
i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy - mniejsza od 100 cm.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1P
Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem R = log(A / A_0), gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, A_0 = 10^{-4} cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy - mniejsza od 100 cm.

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje definicję logarytmu
\n

i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm
ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym oraz
wykorzystuje podstawowe własności potęg - również
w zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy,
np. fizyką, chemią, informatyką (1.6, 1.5).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Zapisujemy równanie
Korzystamy z definicji logarytmu
Stąd
,
Stwierdzamy, że
2,2
2
10
10
100

\n
\n

, gdyż funkcja wykładnicza
10x
y =
jest rosnąca. Oznacza
to, że
cm.
II sposób
Zapisujemy równanie
To równanie jest równoważne kolejno równaniom
,
,
Zatem
. Korzystamy z definicji logarytmu i otrzymujemy równość
Stwierdzamy, że
2,2
2
10
10
100

\n
\n

, gdyż funkcja wykładnicza
10x
y =
jest rosnąca. Oznacza
to, że
cm.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• wykorzysta definicję logarytmu i przekształci równanie
do postaci
4
6,2
log10
A
6,2
4
10
10
A
6,2
4
10
10
A
⋅
2,2
10
A =
100
A >
4
6,2
log10
A
(
)
4
6,2
log 10 A
4
6,2
log10
log A
6,2
4
log A
2,2
log A
2,2
10
A =
100
A >
4
6,2
log10
A
6,2
4
10
10
A
albo
• wykorzysta własność logarytmu i przekształci równanie
do postaci
4
6,2
log
log10
A
lub
4
6,2
log
log10
A
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
gdy zapisze, że
i stwierdzi, że amplituda tego trzęsienia ziemi była większa od
cm.
Zdający otrzymuje 2 p.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie interpretuje treść zadania, w szczególności stosuje niepoprawne
\n

podstawienie do wzoru, to otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający nie obliczy amplitudy, ale uzasadni, że amplituda jest większa od 100 cm,
\n

to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający nie obliczy amplitudy tylko zapisze bez uzasadnienia, że amplituda jest
\n

większa od 100 cm, to otrzymuje 0 punktów.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Amplituda wynosi \\(A = 10^{2{,}2} \\approx 158{,}5\\) cm - jest większa od 100 cm.

\n

Sposób 1 - Rozwiązanie równania logarytmicznego

\n

Dane:
\\[R = \\log\\frac{A}{A_0}, \\quad A_0 = 10^{-4} \\text{ cm}, \\quad R = 6{,}2\\]

\n

Krok 1: Podstawiamy znane wartości do wzoru.
\\[6{,}2 = \\log\\frac{A}{10^{-4}}\\]

\n

Krok 2: Korzystamy z definicji logarytmu - jeśli \\(\\log x = c\\), to \\(x = 10^c\\).
\\[\\frac{A}{10^{-4}} = 10^{6{,}2}\\]

\n

Krok 3: Wyznaczamy \\(A\\), mnożąc obie strony przez \\(10^{-4}\\).
\\[A = 10^{6{,}2} \\cdot 10^{-4} = 10^{6{,}2 - 4} = 10^{2{,}2}\\]

\n

Krok 4: Porównujemy z 100 cm.
\\[10^{2{,}2} \\quad \\text{vs} \\quad 100 = 10^2\\]

\n

Ponieważ \\(2{,}2 > 2\\), a funkcja wykładnicza \\(10^x\\) jest rosnąca, mamy:
\\[10^{2{,}2} > 10^2 = 100\\]

\n

Wniosek: Amplituda trzęsienia ziemi wynosi \\(A = 10^{2{,}2} \\approx 158{,}5\\) cm i jest większa od 100 cm.

\n

Sposób 2 - Własność logarytmu sumy + szacowanie

\n

Krok 1: Rozwijamy logarytm ułamka.
\\[6{,}2 = \\log\\frac{A}{10^{-4}} = \\log A - \\log 10^{-4} = \\log A - (-4) = \\log A + 4\\]

\n

Krok 2: Wyznaczamy \\(\\log A\\).
\\[\\log A = 6{,}2 - 4 = 2{,}2\\]

\n

Krok 3: Przechodzimy do wartości \\(A\\).
\\[A = 10^{2{,}2}\\]

\n

Krok 4: Sprawdzamy, czy \\(A > 100\\), sprawdzając logarytm ze 100.
\\[\\log 100 = \\log 10^2 = 2\\]

\n

Skoro \\(\\log A = 2{,}2 > 2 = \\log 100\\), a logarytm jest funkcją rosnącą, to:
\\[A > 100 \\text{ cm}\\]

\n

Wniosek taki sam: amplituda jest większa od 100 cm.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)

\n

Definicja logarytmu:
\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]

\n

Użyliśmy tego w kroku 2 Sposobu 1, by przejść od \\(\\log\\frac{A}{10^{-4}} = 6{,}2\\) do \\(\\frac{A}{10^{-4}} = 10^{6{,}2}\\).

\n

Własność logarytmu ilorazu:
\\[\\log\\frac{x}{y} = \\log x - \\log y\\]

\n

Użyliśmy tego w Sposobie 2 do rozwinięcia \\(\\log\\frac{A}{10^{-4}}\\).

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)

\n

Działanie na potęgach:
\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]

\n

Użyliśmy tego przy obliczeniu \\(10^{6{,}2} \\cdot 10^{-4} = 10^{2{,}2}\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(\\log\\) bez podstawy to logarytm dziesiętny \\(\\log_{10}\\) - nie mylić z \\(\\ln\\) (logarytmem naturalnym). Na maturze PP zawsze chodzi o \\(\\log_{10}\\), gdy nie ma podanej podstawy.
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(10^{6{,}2} \\cdot 10^{-4}\\) dodajemy wykładniki: \\(6{,}2 + (-4) = 2{,}2\\), nie mnożymy. Typowy błąd: \\(6{,}2 \\cdot (-4)\\).
\n
⚠️ Uwaga: Do rozstrzygnięcia porównania wystarczy porównać wykładniki (\\(2{,}2 > 2\\)), nie trzeba liczyć przybliżonej wartości \\(10^{2{,}2}\\). Wystarczy stwierdzić, że skoro podstawa \\(10 > 1\\), to \\(10^{2{,}2} > 10^2 = 100\\).
\n

Odpowiedź: \\(A = 10^{2{,}2}\\) cm \\(>\\) 100 cm

\n
Sposób 1 - Z definicji logarytmu
\n

Równanie:
\\[6{,}2 = \\log\\dfrac{A}{10^{-4}}\\]
Z definicji logarytmu dziesiętnego:
\\[\\dfrac{A}{10^{-4}} = 10^{6{,}2}\\]
\\[A = 10^{6{,}2}\\cdot 10^{-4} = 10^{6{,}2 - 4} = 10^{2{,}2}\\text{ cm}.\\]

\n

Porównanie z 100 cm = \\(10^2\\) cm:
Skoro \\(10^{2{,}2} > 10^2\\) (funkcja wykładnicza \\(y = 10^x\\) rosnąca, \\(2{,}2 > 2\\)):
\\[A > 100 \\text{ cm}.\\]

\n
Sposób 2 - Z własności logarytmu
\n

\\[6{,}2 = \\log\\dfrac{A}{10^{-4}} = \\log A - \\log 10^{-4} = \\log A + 4.\\]
\\[\\log A = 6{,}2 - 4 = 2{,}2.\\]
\\[A = 10^{2{,}2}\\text{ cm}.\\]
Wniosek: \\(A > 10^2 = 100\\) cm.

\n
Sposób 3 - Oszacowanie \\(10^{2{,}2}\\)
\n

\\(10^{2{,}2} = 10^2 \\cdot 10^{0{,}2} = 100\\cdot 10^{0{,}2}\\). Ponieważ \\(10^{0{,}2} > 1\\) (bo \\(0{,}2 > 0\\)), to \\(10^{2{,}2} > 100\\).

\n

Dokładniej: \\(10^{0{,}2} \\approx 1{,}585\\), więc \\(A \\approx 158{,}5\\) cm.

\n

Odpowiedź: amplituda \\(A \\approx 10^{2{,}2} \\approx 158{,}5\\) cm, jest większa od 100 cm.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$A > 100$ cm

"}]}