{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-4)\nJeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów,\nktóre różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nJeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\nSP9. Wielokąty, koła, okręgi. Zdający stosuje twierdzenie\no sumie kątów trójkąta (SP9.3).\nG7. Równania. Zdający rozwiązuje równania stopnia pierwszego\nz jedną niewiadomą (G7.3).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nNiech\noznacza najmniejszy kąt trójkąta. Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są\noraz\n. Suma kątów trójkąta jest równa\n, więc\n,\n,\nStąd\noraz\nII sposób\nNiech\noznacza największy kąt trójkąta. Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są\noraz\n. Suma kątów trójkąta jest równa\n, więc\n,\n,\n78\n°\nα\nStąd\n26\n3 =\n°\nα\noraz\n50\n76\n3 +\n° =\n°\nα\n4\n6,2\nlog10\nA\n2,2\n10\nA =\n100\nα\n50\nα +\n°\n3α\n180°\n3\n50\n180\nα\nα\nα\n° =\n°\n5\n130\nα =\n°\n26\nα =\n°\n50\n76\nα +\n° =\n°\n3\n78\nα =\n°\nα\n50\n3 +\n°\nα\n3\nα\n180°\n50\n180\n3\n3\n° +\n°\nα\nα\nα\n5\n390\n°\nα\nIII sposób\nNiech α oznacza ten kąt trójkąta, który nie jest ani największy, ani najmniejszy. Zatem\npozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są\n50\n°\nα\noraz (\n)\n3\n50\n°\nα\n. Suma kątów trójkąta jest\nrówna 180°, więc\n(\n)\n50\n3\n50\n180\n°+\n° =\n°\nα\nα\nα\n,\n5\n380\n°\nα\n,\n76\n°\nα\nStąd\n50\n26\n° =\n°\nα\noraz (\n)\n3\n50\n78\n° =\n°\nα\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający zapisze:\n• kąty trójkąta w zależności od jednego kąta, np.:\n,\n,\nlub\n, lub\nalbo\n• układ dwóch równań, np.\n50\n180\n3 ,\nα\nα\nβ\nβ\nα\n° +\n°\n\n\n\nalbo\n• układ trzech równań, np.\n180\n3\n50\nα\nβ\nγ\nγ\nα\nβ\nα\n°\n\n=\n\n\n°\n\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:\nlub\n, lub\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy jeden z kątów trójkąta, np.:\nlub\n, lub\ni na tym\nzakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy wszystkie kąty trójkąta.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający tylko poda kąty (26°,76°,78°), to otrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający tylko poda kąty i sprawdzi wszystkie warunki zadania, to otrzymuje 2 punkty.\nα\n50\nα +\n° 3α\n,\n50 ,\n3\n3 +\n°\nα α\nα\n(\n)\n50 ,\n, 3\n50\n°\n°\nα\nα\nα\n3\n50\n180\nα\nα\nα\n° =\n°\n50\n180\n3\n3\n° +\n°\nα\nα\nα\n(\n)\n50\n3\n50\n180\n°+\n° =\n°\nα\nα\nα\n26\nα =\n°\n78\n°\nα\n76\n°\nα","solution":"## Poprawna odpowiedź: kąty trójkąta to \\(26°\\), \\(76°\\) i \\(78°\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań (podstawienie)\n\n**Oznaczamy kąty:**\n\nNiech dwa kąty różniące się o \\(50°\\) to:\n- mniejszy: \\(x\\)\n- większy: \\(x + 50°\\)\n\nTrzeci kąt jest trzy razy większy od **mniejszego** z tych dwóch, czyli:\n\\[x_3 = 3x\\]\n\n**Korzystamy z sumy kątów w trójkącie:**\n\\[x + (x + 50°) + 3x = 180°\\]\n\\[5x + 50° = 180°\\]\n\\[5x = 130°\\]\n\\[\\boxed{x = 26°}\\]\n\n**Wyznaczamy wszystkie trzy kąty:**\n\\[x = 26°, \\quad x + 50° = 76°, \\quad 3x = 78°\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(26° + 76° + 78° = 180°\\) ✓\nRóżnica: \\(76° - 26° = 50°\\) ✓\nTrzykrotność mniejszego: \\(3 \\cdot 26° = 78°\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja i sprawdzenie warunków\n\nSprawdzamy każdy warunek z treści zadania dla kątów \\(26°, 76°, 78°\\):\n\n| Warunek | Sprawdzenie |\n| Suma kątów = \\(180°\\) | \\(26° + 76° + 78° = 180°\\) ✓ |\n| Dwa kąty różnią się o \\(50°\\) | \\(76° - 26° = 50°\\) ✓ |\n| Jeden kąt = 3 × mniejszy z pary | \\(3 \\cdot 26° = 78°\\) ✓ |\n\n**Czy istnieje inne rozwiązanie?**\n\nGdybyśmy błędnie założyli, że trzeci kąt to trzykrotność **większego** z pary (czyli \\(3(x+50°)\\)):\n\\[x + (x+50°) + 3(x+50°) = 180°\\]\n\\[5x + 200° = 180° \\implies x = -4°\\]\n\nWynik ujemny - **niemożliwy**, więc jedyne poprawne rozwiązanie to \\(26°, 76°, 78°\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - suma kątów trójkąta:\n\\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180°\\]\nTo podstawowy fakt geometryczny, który pozwolił nam zapisać równanie i wyznaczyć \\(x\\).\n\nW tym zadaniu nie używamy żadnych innych wzorów z karty CKE - wystarczy własność sumy kątów i prosta algebra.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Trzy razy większy od mniejszego\" - trzeba poprawnie zidentyfikować, **który** kąt jest mniejszy z pary. Jeśli przez pomyłkę weźmiesz \\(3(x + 50°)\\) zamiast \\(3x\\), dostaniesz ujemny kąt - sygnał błędu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo przeoczyć, że kąty \\(76°\\) i \\(78°\\) są do siebie bardzo podobne - wynik \\(26°, 76°, 78°\\) jest poprawny, chociaż dwa kąty są bliskie. Nie mylić z trójkątem równoramiennym!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj wynik: suma trzech kątów **musi** być dokładnie \\(180°\\). To łatwy i szybki test poprawności.\n\n**Odpowiedź: Kąty trójkąta: \\(26^\\circ\\), \\(76^\\circ\\), \\(78^\\circ\\)**\n\n### Sposób 1 - Najmniejszy kąt jako zmienna\nNiech \\(\\alpha\\) - najmniejszy kąt. Wtedy:\n- drugi (spośród pozostałych dwóch) = \\(\\alpha + 50^\\circ\\)\n- trzeci = \\(3\\alpha\\) (trzy razy większy od \\(\\alpha\\))\n\n**Suma kątów trójkąta** = \\(180^\\circ\\):\n\\[\\alpha + (\\alpha + 50^\\circ) + 3\\alpha = 180^\\circ\\]\n\\[5\\alpha + 50^\\circ = 180^\\circ\\]\n\\[5\\alpha = 130^\\circ \\Rightarrow \\alpha = 26^\\circ.\\]\n\nPozostałe:\n- \\(\\alpha + 50^\\circ = 76^\\circ\\)\n- \\(3\\alpha = 78^\\circ\\)\n\nSprawdzenie: \\(26 + 76 + 78 = 180\\) ✓. \\(78 = 3\\cdot 26\\) ✓. \\(76 - 26 = 50\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Największy kąt jako zmienna\nNiech \\(\\alpha\\) - największy kąt. Pozostałe: \\(\\tfrac{\\alpha}{3}\\) (bo \\(\\alpha = 3\\cdot\\) najmniejszy) i \\(\\tfrac{\\alpha}{3} + 50^\\circ\\).\n\nSuma:\n\\[\\tfrac{\\alpha}{3} + \\tfrac{\\alpha}{3} + 50^\\circ + \\alpha = 180^\\circ\\]\n\\[\\tfrac{5\\alpha}{3} = 130^\\circ \\Rightarrow \\alpha = 78^\\circ.\\]\nStąd \\(\\tfrac{\\alpha}{3} = 26^\\circ\\), \\(\\tfrac{\\alpha}{3} + 50^\\circ = 76^\\circ\\).\n\n### Sposób 3 - Kąt średni (środkowy) jako zmienna\nNiech \\(\\alpha\\) - kąt średni. Pozostałe: \\(\\alpha - 50^\\circ\\) (najmniejszy) i \\(3(\\alpha - 50^\\circ)\\) (największy).\n\\[(\\alpha-50^\\circ) + \\alpha + 3(\\alpha-50^\\circ) = 180^\\circ\\]\n\\[5\\alpha - 200^\\circ = 180^\\circ \\Rightarrow \\alpha = 76^\\circ.\\]\nStąd najmniejszy = \\(26^\\circ\\), największy = \\(78^\\circ\\).\n\n**Odpowiedź:** kąty trójkąta: **\\(26^\\circ\\), \\(76^\\circ\\), \\(78^\\circ\\)**.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 32. (0-4)
Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów,
które różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.

\n

MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
32.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1P
Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (0-4)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
SP9. Wielokąty, koła, okręgi. Zdający stosuje twierdzenie
o sumie kątów trójkąta (SP9.3).
G7. Równania. Zdający rozwiązuje równania stopnia pierwszego
z jedną niewiadomą (G7.3).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Niech
oznacza najmniejszy kąt trójkąta. Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są
oraz
. Suma kątów trójkąta jest równa
, więc
,
,
Stąd
oraz
II sposób
Niech
oznacza największy kąt trójkąta. Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są
oraz
. Suma kątów trójkąta jest równa
, więc
,
,
78
°
α
Stąd
26
3 =
°
α
oraz
50
76
3 +
° =
°
α
4
6,2
log10
A
2,2
10
A =
100
α
50
α +
°
3α
180°
3
50
180
α
α
α
° =
°
5
130
α =
°
26
α =
°
50
76
α +
° =
°
3
78
α =
°
α
50
3 +
°
α
3
α
180°
50
180
3
3
° +
°
α
α
α
5
390
°
α
III sposób
Niech α oznacza ten kąt trójkąta, który nie jest ani największy, ani najmniejszy. Zatem
pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są
50
°
α
oraz (
)
3
50
°
α
. Suma kątów trójkąta jest
równa 180°, więc
(
)
50
3
50
180
°+
° =
°
α
α
α
,
5
380
°
α
,
76
°
α
Stąd
50
26
° =
°
α
oraz (
)
3
50
78
° =
°
α
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający zapisze:
• kąty trójkąta w zależności od jednego kąta, np.:
,
,
lub
, lub
albo
• układ dwóch równań, np.
50
180
3 ,
α
α
β
β
α
° +
°



albo
• układ trzech równań, np.
180
3
50
α
β
γ
γ
α
β
α
°

=


°

i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:
lub
, lub
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający obliczy jeden z kątów trójkąta, np.:
lub
, lub
i na tym
zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy wszystkie kąty trójkąta.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający tylko poda kąty (26°,76°,78°), to otrzymuje 1 punkt.
  2. Jeżeli zdający tylko poda kąty i sprawdzi wszystkie warunki zadania, to otrzymuje 2 punkty.
\n

α
50
α +
° 3α
,
50 ,
3
3 +
°
α α
α
(
)
50 ,
, 3
50
°
°
α
α
α
3
50
180
α
α
α
° =
°
50
180
3
3
° +
°
α
α
α
(
)
50
3
50
180
°+
° =
°
α
α
α
26
α =
°
78
°
α
76
°
α

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: kąty trójkąta to \\(26°\\), \\(76°\\) i \\(78°\\)

\n

Sposób 1 - Układ równań (podstawienie)

\n

Oznaczamy kąty:

\n

Niech dwa kąty różniące się o \\(50°\\) to:

\n\n

Trzeci kąt jest trzy razy większy od mniejszego z tych dwóch, czyli:
\\[x_3 = 3x\\]

\n

Korzystamy z sumy kątów w trójkącie:
\\[x + (x + 50°) + 3x = 180°\\]
\\[5x + 50° = 180°\\]
\\[5x = 130°\\]
\\[\\boxed{x = 26°}\\]

\n

Wyznaczamy wszystkie trzy kąty:
\\[x = 26°, \\quad x + 50° = 76°, \\quad 3x = 78°\\]

\n

Sprawdzenie: \\(26° + 76° + 78° = 180°\\) ✓
Różnica: \\(76° - 26° = 50°\\) ✓
Trzykrotność mniejszego: \\(3 \\cdot 26° = 78°\\) ✓

\n

Sposób 2 - Weryfikacja i sprawdzenie warunków

\n

Sprawdzamy każdy warunek z treści zadania dla kątów \\(26°, 76°, 78°\\):

\n

| Warunek | Sprawdzenie |
| Suma kątów = \\(180°\\) | \\(26° + 76° + 78° = 180°\\) ✓ |
| Dwa kąty różnią się o \\(50°\\) | \\(76° - 26° = 50°\\) ✓ |
| Jeden kąt = 3 × mniejszy z pary | \\(3 \\cdot 26° = 78°\\) ✓ |

\n

Czy istnieje inne rozwiązanie?

\n

Gdybyśmy błędnie założyli, że trzeci kąt to trzykrotność większego z pary (czyli \\(3(x+50°)\\)):
\\[x + (x+50°) + 3(x+50°) = 180°\\]
\\[5x + 200° = 180° \\implies x = -4°\\]

\n

Wynik ujemny - niemożliwy, więc jedyne poprawne rozwiązanie to \\(26°, 76°, 78°\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - suma kątów trójkąta:
\\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180°\\]
To podstawowy fakt geometryczny, który pozwolił nam zapisać równanie i wyznaczyć \\(x\\).

\n

W tym zadaniu nie używamy żadnych innych wzorów z karty CKE - wystarczy własność sumy kątów i prosta algebra.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: „Trzy razy większy od mniejszego" - trzeba poprawnie zidentyfikować, który kąt jest mniejszy z pary. Jeśli przez pomyłkę weźmiesz \\(3(x + 50°)\\) zamiast \\(3x\\), dostaniesz ujemny kąt - sygnał błędu.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo przeoczyć, że kąty \\(76°\\) i \\(78°\\) są do siebie bardzo podobne - wynik \\(26°, 76°, 78°\\) jest poprawny, chociaż dwa kąty są bliskie. Nie mylić z trójkątem równoramiennym!
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdzaj wynik: suma trzech kątów musi być dokładnie \\(180°\\). To łatwy i szybki test poprawności.
\n

Odpowiedź: Kąty trójkąta: \\(26^\\circ\\), \\(76^\\circ\\), \\(78^\\circ\\)

\n
Sposób 1 - Najmniejszy kąt jako zmienna
\n

Niech \\(\\alpha\\) - najmniejszy kąt. Wtedy:

\n\n

Suma kątów trójkąta = \\(180^\\circ\\):
\\[\\alpha + (\\alpha + 50^\\circ) + 3\\alpha = 180^\\circ\\]
\\[5\\alpha + 50^\\circ = 180^\\circ\\]
\\[5\\alpha = 130^\\circ \\Rightarrow \\alpha = 26^\\circ.\\]

\n

Pozostałe:

\n\n

Sprawdzenie: \\(26 + 76 + 78 = 180\\) ✓. \\(78 = 3\\cdot 26\\) ✓. \\(76 - 26 = 50\\) ✓.

\n
Sposób 2 - Największy kąt jako zmienna
\n

Niech \\(\\alpha\\) - największy kąt. Pozostałe: \\(\\tfrac{\\alpha}{3}\\) (bo \\(\\alpha = 3\\cdot\\) najmniejszy) i \\(\\tfrac{\\alpha}{3} + 50^\\circ\\).

\n

Suma:
\\[\\tfrac{\\alpha}{3} + \\tfrac{\\alpha}{3} + 50^\\circ + \\alpha = 180^\\circ\\]
\\[\\tfrac{5\\alpha}{3} = 130^\\circ \\Rightarrow \\alpha = 78^\\circ.\\]
Stąd \\(\\tfrac{\\alpha}{3} = 26^\\circ\\), \\(\\tfrac{\\alpha}{3} + 50^\\circ = 76^\\circ\\).

\n
Sposób 3 - Kąt średni (środkowy) jako zmienna
\n

Niech \\(\\alpha\\) - kąt średni. Pozostałe: \\(\\alpha - 50^\\circ\\) (najmniejszy) i \\(3(\\alpha - 50^\\circ)\\) (największy).
\\[(\\alpha-50^\\circ) + \\alpha + 3(\\alpha-50^\\circ) = 180^\\circ\\]
\\[5\\alpha - 200^\\circ = 180^\\circ \\Rightarrow \\alpha = 76^\\circ.\\]
Stąd najmniejszy = \\(26^\\circ\\), największy = \\(78^\\circ\\).

\n

Odpowiedź: kąty trójkąta: \\(26^\\circ\\), \\(76^\\circ\\), \\(78^\\circ\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$26^{\\circ}$, $76^{\\circ}$, $78^{\\circ}$

"}]}