{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-5)\nPodstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC .\nWysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa\njest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki\ntworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nPodstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC. Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n9. Stereometria. Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości\n(9.6).\nG10. Figury płaskie. Zdający stosuje twierdzenie Pitagorasa\n(G10.7).\nPrzykładowe rozwiązanie\nWprowadzamy oznaczenia jak na rysunku.\nPonieważ wysokość tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy, to\n3\n2\na\nH =\n. Objętość\nostrosłupa jest równa 27, więc otrzymujemy równanie\n,\nskąd otrzymujemy a = 6.\nWysokość ostrosłupa jest równa\nPunkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym ABC, zatem długość\nodcinka PO stanowi 1\n3 wysokości trójkąta ABC , czyli\n1\n1\n3\n3 3 3\n3\nOP\nH\n⋅\nZ twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla trójkąta POS otrzymujemy\n2\n2\n2\nh\nOP\nH\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n3 3\nh =\n,\n2\n30\nh =\nStąd\n30\nh =\n2\n1\n3\n3\n27\n3\n4\n2\na\na\n⋅\n⋅\n6 3\n3 3\n2\nH =\nA\nB\nC\na\nO\nP\nS\nH\nh\nPole powierzchni bocznej ostrosłupa jest zatem równe\n1\n1\n3\n3\n6 30\n9 30\n2\n2\nbP\nah\n= ⋅\n= ⋅\n⋅\nCosinus kąta nachylenia wysokości ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy\n3\n10\ncos\n10\n30\nOP\nh\nα =\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający:\n• zapisze równanie, z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy ostrosłupa:\nalbo\n• zapisze równanie, z którego można obliczyć wysokość ostrosłupa:\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający obliczy długość krawędzi podstawy ostrosłupa\n6\na =\nlub wysokość ostrosłupa\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nUwaga:\nZdający może obliczyć od razu tangens kąta nachylenia wysokości ściany bocznej do\npłaszczyzny podstawy ostrosłupa:\n1\n3\ntg\n3\nH\nH\nα =\n,\na następnie obliczyć szukaną wartość cosinusa tego kąta:\nOtrzymuje wtedy 2 punkty.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy\n• wysokość ściany bocznej ostrosłupa:\nalbo\n• długość krawędzi bocznej ostrosłupa:\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\n2\n1\n3\n3\n27\n3\n4\n2\na\na\n⋅\n⋅\n2\n2\n3\n1\n3\n27\n3\n4\nH\nH\n\n\n\n\n\n\n⋅\n⋅\n3 3\nH =\n10\ncos\n10\nα =\n30\n39\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający obliczy:\n• pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS:\nalbo\n• cosinus kąta nachylenia wysokości ściany bocznej do płaszczyzny podstawy:\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS:\ni cosinus kąta nachylenia\nwysokości ściany bocznej do płaszczyzny podstawy:\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozważa inną bryłę niż podana w zadaniu, to za całe rozwiązanie otrzymuje\n0 punktów.\n2. Jeżeli zdający popełni błąd merytoryczny np. w zastosowaniu twierdzenia Pitagorasa przy\nobliczaniu wysokości ściany bocznej lub w interpretacji własności trójkąta równobocznego,\nto otrzymuje za całe rozwiązanie otrzymuje co najwyżej 2 punkty.\n3. Akceptujemy poprawne przybliżenia dziesiętne liczb rzeczywistych.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**Pole powierzchni bocznej:** \\(9\\sqrt{30}\\)\n\n**Cosinus kąta między apothemą a podstawą:** \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{10}}{10}\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie boku z objętości, potem apothema\n\n**Krok 1: Wprowadzenie oznaczeń.**\n\nNiech \\(a\\) = bok podstawy (trójkąt równoboczny \\(ABC\\)).\n\nWysokość trójkąta równobocznego:\n\\[h_\\triangle = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nWarunek zadania: \\(SO = h_\\triangle\\), zatem:\n\\[h = SO = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczenie \\(a\\) z objętości.**\n\nPole podstawy (trójkąt równoboczny):\n\\[P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\nObjętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{a^3 \\cdot 3}{8} = \\frac{a^3}{8}\\]\n\nZ warunku \\(V = 27\\):\n\\[\\frac{a^3}{8} = 27 \\implies a^3 = 216 \\implies a = 6\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczenie wysokości ostrosłupa i inradius podstawy.**\n\n\\[h = SO = \\frac{6\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}\\]\n\nŚrodek \\(O\\) ostrosłupa prawidłowego leży w środku ciężkości podstawy. Odległość od \\(O\\) do środka boku (inradius trójkąta równobocznego):\n\\[r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6} = \\frac{6\\sqrt{3}}{6} = \\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 4: Apothema ostrosłupa (wysokość ściany bocznej).**\n\nNiech \\(M\\) = środek boku \\(AB\\). Trójkąt \\(SOM\\) jest prostokątny (w \\(O\\)), ponieważ \\(SO \\perp\\) podstawa i \\(OM \\perp AB\\). Zatem:\n\\[SM = \\sqrt{SO^2 + OM^2} = \\sqrt{(3\\sqrt{3})^2 + (\\sqrt{3})^2} = \\sqrt{27 + 3} = \\sqrt{30}\\]\n\n**Krok 5: Pole powierzchni bocznej.**\n\nOstrosłup ma 3 ściany boczne - każda to trójkąt równoramienny o podstawie \\(a = 6\\) i wysokości \\(SM = \\sqrt{30}\\):\n\\[P_b = 3 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot SM = 3 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot \\sqrt{30} = \\boxed{9\\sqrt{30}}\\]\n\n**Krok 6: Cosinus kąta między apothemą a podstawą.**\n\nApothema \\(SM\\) tworzy kąt \\(\\alpha\\) z płaszczyzną podstawy. Rzut \\(SM\\) na podstawę to \\(OM\\). Z trójkąta prostokątnego \\(SOM\\):\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{OM}{SM} = \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{30}} = \\sqrt{\\frac{3}{30}} = \\sqrt{\\frac{1}{10}} = \\boxed{\\frac{\\sqrt{10}}{10}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja objętości i sprawdzenie trygonometryczne\n\n**Weryfikacja \\(a = 6\\):**\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{36\\sqrt{3}}{4} \\cdot 3\\sqrt{3} = \\frac{1}{3} \\cdot 9\\sqrt{3} \\cdot 3\\sqrt{3} = \\frac{1}{3} \\cdot 9 \\cdot 3 \\cdot 3 = \\frac{1}{3} \\cdot 81 = 27 \\checkmark\\]\n\n**Cosinus kąta - sposób przez sinus:**\n\nZ trójkąta \\(SOM\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{SO}{SM} = \\frac{3\\sqrt{3}}{\\sqrt{30}} = \\frac{3\\sqrt{3}}{\\sqrt{30}} = 3\\sqrt{\\frac{3}{30}} = 3\\sqrt{\\frac{1}{10}} = \\frac{3}{\\sqrt{10}}\\]\n\nSprawdzenie jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\frac{9}{10} + \\frac{1}{10} = 1 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-18)** - pole i wysokość trójkąta równobocznego (bok \\(a\\)):\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyte do wyznaczenia \\(h = SO\\) oraz \\(P_p\\).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]\nUżyte do wyznaczenia boku \\(a\\) z warunku \\(V = 27\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[SM = \\sqrt{SO^2 + OM^2}\\]\nUżyte do wyznaczenia apothemy \\(SM = \\sqrt{30}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Wysokość ściany bocznej\" to **apothema ostrosłupa** \\(SM\\) (od wierzchołka \\(S\\) do środka boku podstawy \\(M\\)), a NIE krawędź boczna \\(SA\\). To typowa pomyłka, która zaburza wynik pola i kąta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Inradius trójkąta równobocznego \\(r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\) (= jedna trzecia wysokości), a **nie** \\(\\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\). Mylenie inradius z circumradius daje błędną apothemę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu cosinusa kąta między apothemą a podstawą: cosinus odpowiada rzutowi poziomemu \\(OM\\), a **nie** wysokości \\(SO\\). Jeśli piszesz \\(\\cos\\alpha = \\frac{SO}{SM}\\), to liczysz sinus, nie cosinus!\n\n**Odpowiedź: \\(P_b = 9\\sqrt{30}\\); \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{10}}{10}\\)**\n\n### Sposób 1 - Pełne rozwiązanie krok po kroku\n**Krok 1 - wyznaczenie krawędzi podstawy \\(a\\).** Wysokość trójkąta równobocznego o boku \\(a\\): \\(H_p = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\). Z treści: wysokość ostrosłupa \\(H = H_p = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\).\n\nPole podstawy: \\(P_p = \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\).\n\nObjętość:\n\\[V = \\tfrac{1}{3}P_p\\cdot H = \\tfrac{1}{3}\\cdot\\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\cdot\\tfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{a^3\\cdot 3}{24} = \\tfrac{a^3}{8} = 27.\\]\n\\[a^3 = 216 \\Rightarrow a = 6.\\]\n\n**Krok 2 - wysokość ostrosłupa:**\n\\[H = \\tfrac{6\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}.\\]\n\n**Krok 3 - wysokość ściany bocznej \\(h\\).** Punkt \\(O\\) (środek podstawy = punkt przecięcia wysokości) leży na wysokości trójkąta równobocznego w \\(\\tfrac{1}{3}\\) od podstawy. Odległość od \\(O\\) do środka krawędzi podstawy:\n\\[|OP| = \\tfrac{1}{3}H_p = \\tfrac{1}{3}\\cdot 3\\sqrt{3} = \\sqrt{3}.\\]\n\nZ Pitagorasa w trójkącie \\(SOP\\):\n\\[h^2 = |OP|^2 + H^2 = 3 + 27 = 30 \\Rightarrow h = \\sqrt{30}.\\]\n\n**Krok 4 - pole powierzchni bocznej:**\n\\[P_b = 3\\cdot\\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h = 3\\cdot\\tfrac{1}{2}\\cdot 6\\cdot\\sqrt{30} = 9\\sqrt{30}.\\]\n\n**Krok 5 - cosinus kąta \\(\\alpha\\) między \\(h\\) a podstawą:**\nW trójkącie \\(SOP\\) kąt \\(\\alpha\\) to kąt przy \\(P\\) (podstawa trójkąta). \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{|OP|}{h}\\):\n\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{30}} = \\sqrt{\\tfrac{3}{30}} = \\sqrt{\\tfrac{1}{10}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{10}} = \\dfrac{\\sqrt{10}}{10}.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja przez \\(\\tan\\alpha\\)\n\\[\\tan\\alpha = \\dfrac{H}{|OP|} = \\dfrac{3\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = 3.\\]\nStąd \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{1}{\\sqrt{1 + 9}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{10}} = \\dfrac{\\sqrt{10}}{10}\\) ✓.\n\n**Wynik:** \\(P_b = 9\\sqrt{30}\\) ≈ \\(49{,}3\\); \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{10}}{10}\\) ≈ \\(0{,}316\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"stereometria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 33. (0-5)
Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC .
Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa
jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki
tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

\n

MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
33.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1P
Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC. Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy tego ostrosłupa.

","answer_text_html":"

Zadanie 33. (0-5)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Stereometria. Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń
\n

długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości
(9.6).
G10. Figury płaskie. Zdający stosuje twierdzenie Pitagorasa
(G10.7).
Przykładowe rozwiązanie
Wprowadzamy oznaczenia jak na rysunku.
Ponieważ wysokość tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy, to
3
2
a
H =
. Objętość
ostrosłupa jest równa 27, więc otrzymujemy równanie
,
skąd otrzymujemy a = 6.
Wysokość ostrosłupa jest równa
Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym ABC, zatem długość
odcinka PO stanowi 1
3 wysokości trójkąta ABC , czyli
1
1
3
3 3 3
3
OP
H
⋅
Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla trójkąta POS otrzymujemy
2
2
2
h
OP
H
,
(
)
(
)
2
2
2
3
3 3
h =
,
2
30
h =
Stąd
30
h =
2
1
3
3
27
3
4
2
a
a
⋅
⋅
6 3
3 3
2
H =
A
B
C
a
O
P
S
H
h
Pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest zatem równe
1
1
3
3
6 30
9 30
2
2
bP
ah
= ⋅
= ⋅
⋅
Cosinus kąta nachylenia wysokości ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy
3
10
cos
10
30
OP
h
α =
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający:
• zapisze równanie, z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy ostrosłupa:
albo
• zapisze równanie, z którego można obliczyć wysokość ostrosłupa:
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający obliczy długość krawędzi podstawy ostrosłupa
6
a =
lub wysokość ostrosłupa
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Uwaga:
Zdający może obliczyć od razu tangens kąta nachylenia wysokości ściany bocznej do
płaszczyzny podstawy ostrosłupa:
1
3
tg
3
H
H
α =
,
a następnie obliczyć szukaną wartość cosinusa tego kąta:
Otrzymuje wtedy 2 punkty.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający obliczy
• wysokość ściany bocznej ostrosłupa:
albo
• długość krawędzi bocznej ostrosłupa:
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
2
1
3
3
27
3
4
2
a
a
⋅
⋅
2
2
3
1
3
27
3
4
H
H






⋅
⋅
3 3
H =
10
cos
10
α =
30
39
Rozwiązanie prawie pełne 4 p.
Zdający obliczy:
• pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS:
albo
• cosinus kąta nachylenia wysokości ściany bocznej do płaszczyzny podstawy:
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Zdający obliczy pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS:
i cosinus kąta nachylenia
wysokości ściany bocznej do płaszczyzny podstawy:
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający rozważa inną bryłę niż podana w zadaniu, to za całe rozwiązanie otrzymuje
\n

0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błąd merytoryczny np. w zastosowaniu twierdzenia Pitagorasa przy
\n

obliczaniu wysokości ściany bocznej lub w interpretacji własności trójkąta równobocznego,
to otrzymuje za całe rozwiązanie otrzymuje co najwyżej 2 punkty.

\n
  1. Akceptujemy poprawne przybliżenia dziesiętne liczb rzeczywistych.
","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

Pole powierzchni bocznej: \\(9\\sqrt{30}\\)

\n

Cosinus kąta między apothemą a podstawą: \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{10}}{10}\\)

\n

Sposób 1 - wyznaczenie boku z objętości, potem apothema

\n

Krok 1: Wprowadzenie oznaczeń.

\n

Niech \\(a\\) = bok podstawy (trójkąt równoboczny \\(ABC\\)).

\n

Wysokość trójkąta równobocznego:
\\[h_\\triangle = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Warunek zadania: \\(SO = h_\\triangle\\), zatem:
\\[h = SO = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Krok 2: Wyznaczenie \\(a\\) z objętości.

\n

Pole podstawy (trójkąt równoboczny):
\\[P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]

\n

Objętość ostrosłupa:
\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{a^3 \\cdot 3}{8} = \\frac{a^3}{8}\\]

\n

Z warunku \\(V = 27\\):
\\[\\frac{a^3}{8} = 27 \\implies a^3 = 216 \\implies a = 6\\]

\n

Krok 3: Wyznaczenie wysokości ostrosłupa i inradius podstawy.

\n

\\[h = SO = \\frac{6\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}\\]

\n

Środek \\(O\\) ostrosłupa prawidłowego leży w środku ciężkości podstawy. Odległość od \\(O\\) do środka boku (inradius trójkąta równobocznego):
\\[r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6} = \\frac{6\\sqrt{3}}{6} = \\sqrt{3}\\]

\n

Krok 4: Apothema ostrosłupa (wysokość ściany bocznej).

\n

Niech \\(M\\) = środek boku \\(AB\\). Trójkąt \\(SOM\\) jest prostokątny (w \\(O\\)), ponieważ \\(SO \\perp\\) podstawa i \\(OM \\perp AB\\). Zatem:
\\[SM = \\sqrt{SO^2 + OM^2} = \\sqrt{(3\\sqrt{3})^2 + (\\sqrt{3})^2} = \\sqrt{27 + 3} = \\sqrt{30}\\]

\n

Krok 5: Pole powierzchni bocznej.

\n

Ostrosłup ma 3 ściany boczne - każda to trójkąt równoramienny o podstawie \\(a = 6\\) i wysokości \\(SM = \\sqrt{30}\\):
\\[P_b = 3 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot SM = 3 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot \\sqrt{30} = \\boxed{9\\sqrt{30}}\\]

\n

Krok 6: Cosinus kąta między apothemą a podstawą.

\n

Apothema \\(SM\\) tworzy kąt \\(\\alpha\\) z płaszczyzną podstawy. Rzut \\(SM\\) na podstawę to \\(OM\\). Z trójkąta prostokątnego \\(SOM\\):
\\[\\cos\\alpha = \\frac{OM}{SM} = \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{30}} = \\sqrt{\\frac{3}{30}} = \\sqrt{\\frac{1}{10}} = \\boxed{\\frac{\\sqrt{10}}{10}}\\]

\n

Sposób 2 - weryfikacja objętości i sprawdzenie trygonometryczne

\n

Weryfikacja \\(a = 6\\):
\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{36\\sqrt{3}}{4} \\cdot 3\\sqrt{3} = \\frac{1}{3} \\cdot 9\\sqrt{3} \\cdot 3\\sqrt{3} = \\frac{1}{3} \\cdot 9 \\cdot 3 \\cdot 3 = \\frac{1}{3} \\cdot 81 = 27 \\checkmark\\]

\n

Cosinus kąta - sposób przez sinus:

\n

Z trójkąta \\(SOM\\):
\\[\\sin\\alpha = \\frac{SO}{SM} = \\frac{3\\sqrt{3}}{\\sqrt{30}} = \\frac{3\\sqrt{3}}{\\sqrt{30}} = 3\\sqrt{\\frac{3}{30}} = 3\\sqrt{\\frac{1}{10}} = \\frac{3}{\\sqrt{10}}\\]

\n

Sprawdzenie jedynki trygonometrycznej:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\frac{9}{10} + \\frac{1}{10} = 1 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-18) - pole i wysokość trójkąta równobocznego (bok \\(a\\)):
\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]
Użyte do wyznaczenia \\(h = SO\\) oraz \\(P_p\\).

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - objętość ostrosłupa:
\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]
Użyte do wyznaczenia boku \\(a\\) z warunku \\(V = 27\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[SM = \\sqrt{SO^2 + OM^2}\\]
Użyte do wyznaczenia apothemy \\(SM = \\sqrt{30}\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: „Wysokość ściany bocznej" to apothema ostrosłupa \\(SM\\) (od wierzchołka \\(S\\) do środka boku podstawy \\(M\\)), a NIE krawędź boczna \\(SA\\). To typowa pomyłka, która zaburza wynik pola i kąta.
\n
⚠️ Uwaga: Inradius trójkąta równobocznego \\(r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\) (= jedna trzecia wysokości), a nie \\(\\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\). Mylenie inradius z circumradius daje błędną apothemę.
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu cosinusa kąta między apothemą a podstawą: cosinus odpowiada rzutowi poziomemu \\(OM\\), a nie wysokości \\(SO\\). Jeśli piszesz \\(\\cos\\alpha = \\frac{SO}{SM}\\), to liczysz sinus, nie cosinus!
\n

Odpowiedź: \\(P_b = 9\\sqrt{30}\\); \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{10}}{10}\\)

\n
Sposób 1 - Pełne rozwiązanie krok po kroku
\n

Krok 1 - wyznaczenie krawędzi podstawy \\(a\\). Wysokość trójkąta równobocznego o boku \\(a\\): \\(H_p = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\). Z treści: wysokość ostrosłupa \\(H = H_p = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\).

\n

Pole podstawy: \\(P_p = \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\).

\n

Objętość:
\\[V = \\tfrac{1}{3}P_p\\cdot H = \\tfrac{1}{3}\\cdot\\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\cdot\\tfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{a^3\\cdot 3}{24} = \\tfrac{a^3}{8} = 27.\\]
\\[a^3 = 216 \\Rightarrow a = 6.\\]

\n

Krok 2 - wysokość ostrosłupa:
\\[H = \\tfrac{6\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}.\\]

\n

Krok 3 - wysokość ściany bocznej \\(h\\). Punkt \\(O\\) (środek podstawy = punkt przecięcia wysokości) leży na wysokości trójkąta równobocznego w \\(\\tfrac{1}{3}\\) od podstawy. Odległość od \\(O\\) do środka krawędzi podstawy:
\\[|OP| = \\tfrac{1}{3}H_p = \\tfrac{1}{3}\\cdot 3\\sqrt{3} = \\sqrt{3}.\\]

\n

Z Pitagorasa w trójkącie \\(SOP\\):
\\[h^2 = |OP|^2 + H^2 = 3 + 27 = 30 \\Rightarrow h = \\sqrt{30}.\\]

\n

Krok 4 - pole powierzchni bocznej:
\\[P_b = 3\\cdot\\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h = 3\\cdot\\tfrac{1}{2}\\cdot 6\\cdot\\sqrt{30} = 9\\sqrt{30}.\\]

\n

Krok 5 - cosinus kąta \\(\\alpha\\) między \\(h\\) a podstawą:
W trójkącie \\(SOP\\) kąt \\(\\alpha\\) to kąt przy \\(P\\) (podstawa trójkąta). \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{|OP|}{h}\\):
\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{30}} = \\sqrt{\\tfrac{3}{30}} = \\sqrt{\\tfrac{1}{10}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{10}} = \\dfrac{\\sqrt{10}}{10}.\\]

\n
Sposób 2 - Weryfikacja przez \\(\\tan\\alpha\\)
\n

\\[\\tan\\alpha = \\dfrac{H}{|OP|} = \\dfrac{3\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = 3.\\]
Stąd \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{1}{\\sqrt{1 + 9}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{10}} = \\dfrac{\\sqrt{10}}{10}\\) ✓.

\n

Wynik: \\(P_b = 9\\sqrt{30}\\) ≈ \\(49{,}3\\); \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{10}}{10}\\) ≈ \\(0{,}316\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$P_{b} = 9\\sqrt{30}$, $\\cos \\alpha = \\dfrac{\\sqrt{10}}{10}$

"}]}