{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-4)\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej\nliczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma\nwylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego\nnieskracalnego.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-4)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję\nprawdopodobieństwa (10.3).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para\ndwóch różnych liczb ze zbioru\n, który zawiera 90 liczb. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n. Wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne. Mamy więc do\nczynienia z modelem klasycznym.\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest 30.\nZatem zdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n,\n,\n, (\n)\n13,17 , (\n)\n14,16 , (\n)\n16,14 , (\n)\n17,13 , (\n)\n18,12 , (\n)\n19,11 , (\n)\n20,10 .\nIch liczba jest równa\n10\nA\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n( )\n10\n1\n1\n90 89\n9 89\n801\nΩ\n⋅\n⋅\nA\nP A\n9 30\n10\ncos\n10\nα =\n9 30\n10\ncos\n10\nα =\n(\n)\n,x y\n{\n}\n10,11,12, ,99\n90 89\nΩ =\n⋅\n(\n)\n10,20\n(\n)\n11,19\n(\n)\n12,18\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne\nliczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 1\n801.\nII sposób\nZdarzeniem elementarnym jest zbiór dwuelementowy {\n}\n,x y dwóch różnych liczb ze zbioru\n{\n}\n10,11,12, ,99 , który zawiera 90 liczb. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n( )\n90\n2\n90!\n90 89\n4005\n88! 2!\n2\n⋅\nΩ =\n⋅\nWszystkie\nzdarzenia\nelementarne\nsą\nrówno\nprawdopodobne. Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym.\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest 30. Zatem\nzdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n{\n}\n10,20 , {\n}\n11,19 , {\n}\n12,18 , {\n}\n13,17 , {\n}\n14,16 .\nIch liczba jest równa\n5\nA =\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n( )\n5\n1\n1\n45 89\n9 89\n801\nA\nP A =\nΩ\n⋅\n⋅\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne\nliczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 1\n801.\nIII sposób\nRysujemy drzewo z uwzględnieniem wszystkich gałęzi, które prowadzą do sytuacji\nsprzyjających zdarzeniu A (polegającemu na tym, że suma wylosowanych liczb będzie\nrówna 30).\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n( )\n1\n1\n1\n1\n10 90 89\n9 89\n801\nP A =\n⋅\n⋅\n⋅\nOdpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne\nliczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 1\n801.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90\nalbo\n• wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:\n(\n)\n10, 20 , (\n)\n11,19 ,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\nlub\n,\n,\n,\n,\n,\nalbo\n• zapisze, że\nlub\n,\nalbo\n• narysuje drzewo ilustrujące przebieg doświadczenia (na rysunku muszą wystąpić\nwszystkie istotne gałęzie)\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90 oraz wypisze wszystkie\nzdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:\n(\n)\n10, 20 , (\n)\n11,19 ,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\nlub\n,\n,\n,\n,\nalbo\n• zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90 oraz zapisze, że\nlub\n,\nalbo\n• obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\nlub\n, lub\n, lub\n,\nalbo\n• narysuje drzewo ze wszystkimi istotnymi gałęziami i zapisze prawdopodobieństwa na\nwszystkich istotnych odcinkach jednego z etapów lub na jednej z istotnych gałęzi\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\n(\n)\n12,18\n(\n)\n13,17\n(\n)\n14,16\n(\n)\n16,14\n(\n)\n17,13\n(\n)\n18,12\n(\n)\n19,11\n(\n)\n20,10\n{\n}\n10,20\n{\n}\n11,19\n{\n}\n12,18\n{\n}\n13,17\n{\n}\n14,16\n10\nA\n5\nA =\n(\n)\n12,18\n(\n)\n13,17\n(\n)\n14,16\n(\n)\n16,14\n(\n)\n17,13\n(\n)\n18,12\n(\n)\n19,11\n(\n)\n20,10\n{\n}\n10,20\n{\n}\n11,19\n{\n}\n12,18\n{\n}\n13,17\n{\n}\n14,16\n10\nA\n5\nA =\n90 89\nΩ =\n⋅\n( )\n90\n2\nΩ =\n90 89\n2\n⋅\nΩ =\n4005\nΩ =\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\noraz zapisze, że\nalbo\n• obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\nlub\n, lub\noraz zapisze, że\n,\nalbo\n• obliczy prawdopodobieństwo wzdłuż jednej istotnej gałęzi narysowanego drzewa:\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający poprawnie wyznaczy moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych, ale przy\nwyznaczaniu liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A pominie jedno zdarzenie\nelementarne lub popełni błąd przy zliczaniu poprawnie wypisanych zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu A i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje\n3 punkty.\n2. Jeżeli zdający błędnie zapisze, że wszystkich liczb dwucyfrowych jest 89 i konsekwentnie\nrozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty.\n3. Jeżeli w rozwiązaniu występuje sprzeczność modeli probabilistycznych, to zdający może\notrzymać, co najwyżej 2 punkty.\n4. Akceptujemy sytuacje, gdy zdający zamiast wypisywania zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu A zapisze następujące sumy 10\n20\n, 11 19\n, 12 18\n, 13 17\n,\n14 16\n, 16 14\n, 17 13\n, 18 12\n, 19 11\n, 20 10\n(lub tylko 10\n20\n, 11 19\n, 12 18\n,\n13 17\n, 14 16\n).\n5. Jeżeli zdający zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90, ale przy\nwypisywaniu zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, zapisuje sumę 15 15\ni na\ntym zakończy to otrzymuje 1 punkt.\n6. Jeżeli zdający bez żadnych obliczeń poda tylko wynik, np.\n1\n801, to otrzymuje za całe\nrozwiązanie 1 punkt.\n90 89\nΩ =\n⋅\n10\nA\n( )\n90\n2\nΩ =\n90 89\n2\n⋅\nΩ =\n4005\nΩ =\n5\nA =\n1\n1\n90 89\n⋅\n( )\n1\n801\nA\nP A =\nΩ","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{1}{801}\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie par sprzyjających (ordered outcomes)\n\n**Krok 1: Określamy przestrzeń próbki.**\n\nLiczby naturalne dwucyfrowe to: \\(10, 11, 12, \\ldots, 99\\).\n\nŁącznie: \\(99 - 10 + 1 = 90\\) liczb.\n\nLosujemy **kolejno**, bez zwracania → kolejność ma znaczenie.\n\n\\[|\\Omega| = 90 \\cdot 89 = 8010\\]\n\n**Krok 2: Szukamy par sprzyjających.**\n\nPotrzebujemy \\(a + b = 30\\), gdzie:\n- \\(a, b\\) - różne liczby dwucyfrowe\n- \\(10 \\leq a \\leq 99\\), \\(10 \\leq b \\leq 99\\), \\(b = 30 - a\\)\n\nZ warunku \\(10 \\leq 30 - a\\) otrzymujemy \\(a \\leq 20\\).\nZ warunku \\(10 \\leq a\\) otrzymujemy \\(a \\geq 10\\).\n\nZatem \\(a \\in \\{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\\}\\).\n\nWarunek \\(a \\neq b\\): \\(a \\neq 30 - a \\Rightarrow a \\neq 15\\) - eliminujemy \\(a = 15\\).\n\n**Nieuporządkowane pary \\(\\{a, b\\}\\) sumujące się do 30:**\n\n| \\(a\\) | \\(b = 30 - a\\) |\n| \\(10\\) | \\(20\\) |\n| \\(11\\) | \\(19\\) |\n| \\(12\\) | \\(18\\) |\n| \\(13\\) | \\(17\\) |\n| \\(14\\) | \\(16\\) |\n\nMamy **5 par nieuporządkowanych**.\n\n**Krok 3: Zdarzenia sprzyjające (z uwzględnieniem kolejności).**\n\nKażda para daje 2 ciągi (np. \\((10, 20)\\) i \\((20, 10)\\)):\n\n\\[|A| = 5 \\cdot 2 = 10\\]\n\n**Krok 4: Prawdopodobieństwo.**\n\n\\[P(A) = \\frac{10}{8010} = \\frac{1}{801}\\]\n\n## Sposób 2 - Model kombinatoryczny (bez uwzględnienia kolejności)\n\nPonieważ losujemy bez zwracania i nas interesuje tylko para liczb (nie kolejność wylosowania), możemy traktować zdarzenia jako nieuporządkowane:\n\n\\[|\\Omega| = \\binom{90}{2} = \\frac{90 \\cdot 89}{2} = 4005\\]\n\nZdarzeń sprzyjających (par o sumie 30):\n\n\\[|A| = 5\\]\n\n\\[P(A) = \\frac{5}{4005} = \\frac{1}{801}\\]\n\nTen sam wynik - oba modele są równoważne, bo stosunek się nie zmienia.\n\n**Weryfikacja nieskracalności:** \\(801 = 9 \\cdot 89\\). Liczba \\(89\\) jest pierwsza, \\(9 = 3^2\\). Licznik to \\(1\\), więc ułamek \\(\\dfrac{1}{801}\\) jest nieskracalny. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\n\nUżyte wprost - liczymy zdarzenia sprzyjające i dzielimy przez liczbę wszystkich możliwych wyników.\n\nW Sposobie 2 korzystamy dodatkowo z kombinacji (Dział 13, s. 28):\n\n\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]\n\nKonkretnie: \\(\\binom{90}{2} = \\frac{90 \\cdot 89}{2} = 4005\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczby dwucyfrowe zaczynają się od **10**, nie od **1** ani **11**. Łatwo pomylić i wziąć \\(|\\Omega| = 9 \\cdot 10 = 90\\) (poprawnie), ale też błędnie liczyć od 1 do 99 - to daje 99 liczb zamiast 90.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Para \\(\\{15, 15\\}?\\) - liczba 15 daje \\(15 + 15 = 30\\), ale losujemy **bez zwracania**, więc nie możemy wylosować tej samej liczby dwa razy. Eliminujemy \\(a = 15\\) z listy par!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić modelu z uwzględnieniem kolejności (wynik \\(\\frac{10}{8010}\\)) z modelem bez kolejności (wynik \\(\\frac{5}{4005}\\)) - oba dają \\(\\frac{1}{801}\\), ale ważne jest, żeby być konsekwentnym i liczyć \\(|\\Omega|\\) oraz \\(|A|\\) w tym samym modelu.\n\n**Odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{1}{801}\\)**\n\n### Sposób 1 - Pary uporządkowane\nZbiór liczb dwucyfrowych: \\(\\{10, 11, 12, \\ldots, 99\\}\\) - **90** liczb.\n\n**Krok 1 - liczba wszystkich zdarzeń elementarnych** (pary uporządkowane \\((x,y)\\), \\(x \\ne y\\)):\n\\[|\\Omega| = 90\\cdot 89.\\]\n\n**Krok 2 - zdarzenia sprzyjające (suma = 30):**\nPary \\((x, y)\\) z \\(x + y = 30\\), \\(x, y \\in \\{10, \\ldots, 99\\}\\), \\(x \\ne y\\):\n\\[(10,20), (11,19), (12,18), (13,17), (14,16), (16,14), (17,13), (18,12), (19,11), (20,10).\\]\nZauważmy, że \\((15,15)\\) jest wykluczone (bo \\(x = y\\)).\n\nLiczba par: **10**.\n\n**Krok 3 - prawdopodobieństwo:**\n\\[P(A) = \\dfrac{10}{90\\cdot 89} = \\dfrac{10}{8010} = \\dfrac{1}{801}.\\]\n\nSprawdzamy nieskracalność: \\(801 = 9 \\cdot 89 = 3^2 \\cdot 89\\). \\(\\gcd(1, 801) = 1\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Pary nieuporządkowane\nLiczba wszystkich nieuporządkowanych par dwóch różnych liczb:\n\\[|\\Omega| = \\binom{90}{2} = \\dfrac{90\\cdot 89}{2} = 4005.\\]\n\nPary sprzyjające (bez powtórzeń): \\(\\{10,20\\}, \\{11,19\\}, \\{12,18\\}, \\{13,17\\}, \\{14,16\\}\\). Liczba: **5**.\n\n\\[P(A) = \\dfrac{5}{4005} = \\dfrac{1}{801}.\\]\n\n### Sposób 3 - Drzewo prawdopodobieństwa\nPierwsze losowanie: \\(P(\\text{dowolna liczba}) = \\tfrac{1}{90}\\). Dla każdej liczby \\(x\\) która ma partnera \\(30 - x\\) w zbiorze liczb dwucyfrowych i \\(x \\ne 30 - x\\), drugie losowanie: \\(\\tfrac{1}{89}\\).\n\nLiczb \\(x\\) z partnerem: \\(10, 11, \\ldots, 14\\) i \\(16, 17, \\ldots, 20\\) = **10 wartości**.\n\\[P(A) = 10\\cdot\\tfrac{1}{90}\\cdot\\tfrac{1}{89} = \\dfrac{10}{90\\cdot 89} = \\dfrac{1}{801}.\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{1}{801}\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 34. (0-4)
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej
liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma
wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego
nieskracalnego.

\n

MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
34.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

","answer_text_html":"

Zadanie 34. (0-4)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa
\n

i kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa
w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję
prawdopodobieństwa (10.3).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Zdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para
dwóch różnych liczb ze zbioru
, który zawiera 90 liczb. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa
. Wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne. Mamy więc do
czynienia z modelem klasycznym.
Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest 30.
Zatem zdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:
,
,
, (
)
13,17 , (
)
14,16 , (
)
16,14 , (
)
17,13 , (
)
18,12 , (
)
19,11 , (
)
20,10 .
Ich liczba jest równa
10
A
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
( )
10
1
1
90 89
9 89
801
Ω
⋅
⋅
A
P A
9 30
10
cos
10
α =
9 30
10
cos
10
α =
(
)
,x y
{
}
10,11,12, ,99
90 89
Ω =
⋅
(
)
10,20
(
)
11,19
(
)
12,18
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne
liczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 1
801.
II sposób
Zdarzeniem elementarnym jest zbiór dwuelementowy {
}
,x y dwóch różnych liczb ze zbioru
{
}
10,11,12, ,99 , który zawiera 90 liczb. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa
( )
90
2
90!
90 89
4005
88! 2!
2
⋅
Ω =
⋅
Wszystkie
zdarzenia
elementarne
są
równo
prawdopodobne. Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym.
Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest 30. Zatem
zdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:
{
}
10,20 , {
}
11,19 , {
}
12,18 , {
}
13,17 , {
}
14,16 .
Ich liczba jest równa
5
A =
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
( )
5
1
1
45 89
9 89
801
A
P A =
Ω
⋅
⋅
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne
liczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 1
801.
III sposób
Rysujemy drzewo z uwzględnieniem wszystkich gałęzi, które prowadzą do sytuacji
sprzyjających zdarzeniu A (polegającemu na tym, że suma wylosowanych liczb będzie
równa 30).
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
( )
1
1
1
1
10 90 89
9 89
801
P A =
⋅
⋅
⋅
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne
liczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 1
801.
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający
• zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90
albo
• wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:
(
)
10, 20 , (
)
11,19 ,
,
,
,
,
,
,
,
lub
,
,
,
,
,
albo
• zapisze, że
lub
,
albo
• narysuje drzewo ilustrujące przebieg doświadczenia (na rysunku muszą wystąpić
wszystkie istotne gałęzie)
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90 oraz wypisze wszystkie
zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:
(
)
10, 20 , (
)
11,19 ,
,
,
,
,
,
,
,
lub
,
,
,
,
albo
• zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90 oraz zapisze, że
lub
,
albo
• obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
lub
, lub
, lub
,
albo
• narysuje drzewo ze wszystkimi istotnymi gałęziami i zapisze prawdopodobieństwa na
wszystkich istotnych odcinkach jednego z etapów lub na jednej z istotnych gałęzi
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
(
)
12,18
(
)
13,17
(
)
14,16
(
)
16,14
(
)
17,13
(
)
18,12
(
)
19,11
(
)
20,10
{
}
10,20
{
}
11,19
{
}
12,18
{
}
13,17
{
}
14,16
10
A
5
A =
(
)
12,18
(
)
13,17
(
)
14,16
(
)
16,14
(
)
17,13
(
)
18,12
(
)
19,11
(
)
20,10
{
}
10,20
{
}
11,19
{
}
12,18
{
}
13,17
{
}
14,16
10
A
5
A =
90 89
Ω =
⋅
( )
90
2
Ω =
90 89
2
⋅
Ω =
4005
Ω =
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
oraz zapisze, że
albo
• obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
lub
, lub
oraz zapisze, że
,
albo
• obliczy prawdopodobieństwo wzdłuż jednej istotnej gałęzi narysowanego drzewa:
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie wyznaczy moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych, ale przy
\n

wyznaczaniu liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A pominie jedno zdarzenie
elementarne lub popełni błąd przy zliczaniu poprawnie wypisanych zdarzeń elementarnych
sprzyjających zdarzeniu A i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje
3 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie zapisze, że wszystkich liczb dwucyfrowych jest 89 i konsekwentnie
\n

rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty.

\n
  1. Jeżeli w rozwiązaniu występuje sprzeczność modeli probabilistycznych, to zdający może
\n

otrzymać, co najwyżej 2 punkty.

\n
  1. Akceptujemy sytuacje, gdy zdający zamiast wypisywania zdarzeń elementarnych
\n

sprzyjających zdarzeniu A zapisze następujące sumy 10
20
, 11 19
, 12 18
, 13 17
,
14 16
, 16 14
, 17 13
, 18 12
, 19 11
, 20 10
(lub tylko 10
20
, 11 19
, 12 18
,
13 17
, 14 16
).

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90, ale przy
\n

wypisywaniu zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, zapisuje sumę 15 15
i na
tym zakończy to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający bez żadnych obliczeń poda tylko wynik, np.
\n

1
801, to otrzymuje za całe
rozwiązanie 1 punkt.
90 89
Ω =
⋅
10
A
( )
90
2
Ω =
90 89
2
⋅
Ω =
4005
Ω =
5
A =
1
1
90 89
⋅
( )
1
801
A
P A =
Ω

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{1}{801}\\)

\n

Sposób 1 - Zliczanie par sprzyjających (ordered outcomes)

\n

Krok 1: Określamy przestrzeń próbki.

\n

Liczby naturalne dwucyfrowe to: \\(10, 11, 12, \\ldots, 99\\).

\n

Łącznie: \\(99 - 10 + 1 = 90\\) liczb.

\n

Losujemy kolejno, bez zwracania → kolejność ma znaczenie.

\n

\\[|\\Omega| = 90 \\cdot 89 = 8010\\]

\n

Krok 2: Szukamy par sprzyjających.

\n

Potrzebujemy \\(a + b = 30\\), gdzie:

\n\n

Z warunku \\(10 \\leq 30 - a\\) otrzymujemy \\(a \\leq 20\\).
Z warunku \\(10 \\leq a\\) otrzymujemy \\(a \\geq 10\\).

\n

Zatem \\(a \\in \\{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\\}\\).

\n

Warunek \\(a \\neq b\\): \\(a \\neq 30 - a \\Rightarrow a \\neq 15\\) - eliminujemy \\(a = 15\\).

\n

Nieuporządkowane pary \\(\\{a, b\\}\\) sumujące się do 30:

\n

| \\(a\\) | \\(b = 30 - a\\) |
| \\(10\\) | \\(20\\) |
| \\(11\\) | \\(19\\) |
| \\(12\\) | \\(18\\) |
| \\(13\\) | \\(17\\) |
| \\(14\\) | \\(16\\) |

\n

Mamy 5 par nieuporządkowanych.

\n

Krok 3: Zdarzenia sprzyjające (z uwzględnieniem kolejności).

\n

Każda para daje 2 ciągi (np. \\((10, 20)\\) i \\((20, 10)\\)):

\n

\\[|A| = 5 \\cdot 2 = 10\\]

\n

Krok 4: Prawdopodobieństwo.

\n

\\[P(A) = \\frac{10}{8010} = \\frac{1}{801}\\]

\n

Sposób 2 - Model kombinatoryczny (bez uwzględnienia kolejności)

\n

Ponieważ losujemy bez zwracania i nas interesuje tylko para liczb (nie kolejność wylosowania), możemy traktować zdarzenia jako nieuporządkowane:

\n

\\[|\\Omega| = \\binom{90}{2} = \\frac{90 \\cdot 89}{2} = 4005\\]

\n

Zdarzeń sprzyjających (par o sumie 30):

\n

\\[|A| = 5\\]

\n

\\[P(A) = \\frac{5}{4005} = \\frac{1}{801}\\]

\n

Ten sam wynik - oba modele są równoważne, bo stosunek się nie zmienia.

\n

Weryfikacja nieskracalności: \\(801 = 9 \\cdot 89\\). Liczba \\(89\\) jest pierwsza, \\(9 = 3^2\\). Licznik to \\(1\\), więc ułamek \\(\\dfrac{1}{801}\\) jest nieskracalny. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:

\n

\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]

\n

Użyte wprost - liczymy zdarzenia sprzyjające i dzielimy przez liczbę wszystkich możliwych wyników.

\n

W Sposobie 2 korzystamy dodatkowo z kombinacji (Dział 13, s. 28):

\n

\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]

\n

Konkretnie: \\(\\binom{90}{2} = \\frac{90 \\cdot 89}{2} = 4005\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Liczby dwucyfrowe zaczynają się od 10, nie od 1 ani 11. Łatwo pomylić i wziąć \\(|\\Omega| = 9 \\cdot 10 = 90\\) (poprawnie), ale też błędnie liczyć od 1 do 99 - to daje 99 liczb zamiast 90.
\n
⚠️ Uwaga: Para \\(\\{15, 15\\}?\\) - liczba 15 daje \\(15 + 15 = 30\\), ale losujemy bez zwracania, więc nie możemy wylosować tej samej liczby dwa razy. Eliminujemy \\(a = 15\\) z listy par!
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić modelu z uwzględnieniem kolejności (wynik \\(\\frac{10}{8010}\\)) z modelem bez kolejności (wynik \\(\\frac{5}{4005}\\)) - oba dają \\(\\frac{1}{801}\\), ale ważne jest, żeby być konsekwentnym i liczyć \\(|\\Omega|\\) oraz \\(|A|\\) w tym samym modelu.
\n

Odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{1}{801}\\)

\n
Sposób 1 - Pary uporządkowane
\n

Zbiór liczb dwucyfrowych: \\(\\{10, 11, 12, \\ldots, 99\\}\\) - 90 liczb.

\n

Krok 1 - liczba wszystkich zdarzeń elementarnych (pary uporządkowane \\((x,y)\\), \\(x \\ne y\\)):
\\[|\\Omega| = 90\\cdot 89.\\]

\n

Krok 2 - zdarzenia sprzyjające (suma = 30):
Pary \\((x, y)\\) z \\(x + y = 30\\), \\(x, y \\in \\{10, \\ldots, 99\\}\\), \\(x \\ne y\\):
\\[(10,20), (11,19), (12,18), (13,17), (14,16), (16,14), (17,13), (18,12), (19,11), (20,10).\\]
Zauważmy, że \\((15,15)\\) jest wykluczone (bo \\(x = y\\)).

\n

Liczba par: 10.

\n

Krok 3 - prawdopodobieństwo:
\\[P(A) = \\dfrac{10}{90\\cdot 89} = \\dfrac{10}{8010} = \\dfrac{1}{801}.\\]

\n

Sprawdzamy nieskracalność: \\(801 = 9 \\cdot 89 = 3^2 \\cdot 89\\). \\(\\gcd(1, 801) = 1\\) ✓.

\n
Sposób 2 - Pary nieuporządkowane
\n

Liczba wszystkich nieuporządkowanych par dwóch różnych liczb:
\\[|\\Omega| = \\binom{90}{2} = \\dfrac{90\\cdot 89}{2} = 4005.\\]

\n

Pary sprzyjające (bez powtórzeń): \\(\\{10,20\\}, \\{11,19\\}, \\{12,18\\}, \\{13,17\\}, \\{14,16\\}\\). Liczba: 5.

\n

\\[P(A) = \\dfrac{5}{4005} = \\dfrac{1}{801}.\\]

\n
Sposób 3 - Drzewo prawdopodobieństwa
\n

Pierwsze losowanie: \\(P(\\text{dowolna liczba}) = \\tfrac{1}{90}\\). Dla każdej liczby \\(x\\) która ma partnera \\(30 - x\\) w zbiorze liczb dwucyfrowych i \\(x \\ne 30 - x\\), drugie losowanie: \\(\\tfrac{1}{89}\\).

\n

Liczb \\(x\\) z partnerem: \\(10, 11, \\ldots, 14\\) i \\(16, 17, \\ldots, 20\\) = 10 wartości.
\\[P(A) = 10\\cdot\\tfrac{1}{90}\\cdot\\tfrac{1}{89} = \\dfrac{10}{90\\cdot 89} = \\dfrac{1}{801}.\\]

\n

Odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{1}{801}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

\\dfrac{1}{801}

"}]}