{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nDana jest funkcja liniowa\n( )\n3\n6\n4\nf x\nx\n. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba\nA. 8\nB. 6\nC.\n6\nD.\n8\nDana jest funkcja liniowa f(x) = 3/4x + 6. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba A. 8; B. 6; C. -6; D. -8.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający posługuje się poznanymi\nmetodami rozwiązywania równań do\nobliczenia, dla jakiego argumentu funkcja\nprzyjmuje daną wartość (4.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(-8\\)\n\n## Sposób 1 - Przyrównanie do zera\n\n**Miejsce zerowe** to taka wartość \\(x\\), dla której \\(f(x) = 0\\).\n\nPrzyrównujemy funkcję do zera i rozwiązujemy równanie:\n\n\\[f(x) = 0\\]\n\\[\\frac{3}{4}x + 6 = 0\\]\n\nOdejmujemy \\(6\\) od obu stron:\n\n\\[\\frac{3}{4}x = -6\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(\\frac{4}{3}\\):\n\n\\[x = -6 \\cdot \\frac{4}{3} = \\frac{-24}{3} = -8\\]\n\n**Miejsce zerowe to \\(x = -8\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie)\n\nSprawdzamy, czy \\(f(-8) = 0\\):\n\n\\[f(-8) = \\frac{3}{4} \\cdot (-8) + 6 = \\frac{-24}{4} + 6 = -6 + 6 = 0 \\checkmark\\]\n\nDla pewności sprawdzamy, że inne odpowiedzi nie dają zera:\n\n\\[f(-6) = \\frac{3}{4} \\cdot (-6) + 6 = -\\frac{18}{4} + 6 = -4{,}5 + 6 = 1{,}5 \\neq 0\\]\n\nPotwierdzono: jedynym miejscem zerowym jest \\(x = -8\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego funkcji i podstawowe działania algebraiczne (rozwiązywanie równania liniowego).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(8\\) | Zgubiono znak minus - \\(\\frac{3}{4}x = -6 \\Rightarrow x = 8\\) (zły znak przy \\(-6\\)) |\n| B: \\(6\\) | Pomylono miejsce zerowe z wyrazem wolnym - \\(6\\) to wartość \\(f(0)\\), nie \\(x_0\\) |\n| C: \\(-6\\) | Wzięto wyraz wolny ze znakiem minus - ale \\(-6\\) to nie jest miejsce zerowe, tylko \\(-f(0)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny (\\(+6\\)) to **wartość funkcji w zerze** \\(f(0) = 6\\), a nie miejsce zerowe! To najczęstszy błąd - uczniowie podają \\(6\\) lub \\(-6\\) bez liczenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu przez \\(\\frac{4}{3}\\) łatwo zgubić minus - pamiętaj, że \\(-6 \\cdot \\frac{4}{3} = -8\\), nie \\(+8\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto **zweryfikować wynik przez podstawienie** - to 5 sekund i eliminuje błędy rachunkowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wprost z definicji\nMiejsce zerowe: \\(f(x) = 0\\):\n\\[\\tfrac{3}{4}x + 6 = 0 \\Rightarrow \\tfrac{3}{4}x = -6 \\Rightarrow x = -6\\cdot\\tfrac{4}{3} = -8.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór ogólny \\(x = -\\tfrac{b}{a}\\)\nDla \\(f(x) = ax + b\\) miejsce zerowe: \\(x = -\\tfrac{b}{a}\\).\n\\[x = -\\dfrac{6}{3/4} = -6\\cdot\\tfrac{4}{3} = -8.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(8\\)** - zły znak.\n- **B. \\(6\\)** - wzięto wyraz wolny.\n- **C. \\(-6\\)** - wzięto \\(-b\\) bez dzielenia przez \\(a\\).\n\n**Sprawdzenie:** \\(f(-8) = \\tfrac{3}{4}\\cdot(-8) + 6 = -6 + 6 = 0\\) ✓.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Znajdowanie miejsca zerowego funkcji liniowej\nFunkcja liniowa ma postać \\(f(x) = x + 6\\). Miejscem zerowym funkcji jest liczba, dla której \\(f(x) = 0\\). Zatem:\n\\[x + 6 = 0\\]\n\\[x = -6\\]\nTo jest rozwiązanie, które odpowiada odpowiedzi D.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7\n\n### Sposób 2: Definicja miejsca zerowego\nMiejscem zerowym funkcji to wartość x, dla której wartość funkcji f(x) jest równa zero. W tym przypadku, miejsce zerowe to x, dla którego \\(f(x) = 0\\). Zatem:\n\\[f(x) = x + 6 = 0\\]\nRozwiązując to równanie, otrzymujemy:\n\\[x = -6\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 8:** 8 nie spełnia równania \\(x + 6 = 0\\).\n* **B. 6:** 6 nie spełnia równania \\(x + 6 = 0\\).\n* **C. -6:** To jest poprawne rozwiązanie równania, które definiuje miejsce zerowe funkcji.\n* **D. -8:** -8 nie spełnia równania \\(x + 6 = 0\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 8. (0-1)<br>Dana jest funkcja liniowa<br>( )<br>3<br>6<br>4<br>f x<br>x<br>. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba<br>A. 8<br>B. 6<br>C.<br>6<br>D.<br>8<br>Dana jest funkcja liniowa f(x) = 3/4x + 6. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba A. 8; B. 6; C. -6; D. -8.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 8. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający posługuje się poznanymi</li></ol>\n<p>metodami rozwiązywania równań do<br>obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja<br>przyjmuje daną wartość (4.2).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>D<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(-8\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Przyrównanie do zera</h4>\n<p><strong>Miejsce zerowe</strong> to taka wartość \\(x\\), dla której \\(f(x) = 0\\).</p>\n<p>Przyrównujemy funkcję do zera i rozwiązujemy równanie:</p>\n<p>\\[f(x) = 0\\]<br>\\[\\frac{3}{4}x + 6 = 0\\]</p>\n<p>Odejmujemy \\(6\\) od obu stron:</p>\n<p>\\[\\frac{3}{4}x = -6\\]</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez \\(\\frac{4}{3}\\):</p>\n<p>\\[x = -6 \\cdot \\frac{4}{3} = \\frac{-24}{3} = -8\\]</p>\n<p><strong>Miejsce zerowe to \\(x = -8\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie)</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy \\(f(-8) = 0\\):</p>\n<p>\\[f(-8) = \\frac{3}{4} \\cdot (-8) + 6 = \\frac{-24}{4} + 6 = -6 + 6 = 0 \\checkmark\\]</p>\n<p>Dla pewności sprawdzamy, że inne odpowiedzi nie dają zera:</p>\n<p>\\[f(-6) = \\frac{3}{4} \\cdot (-6) + 6 = -\\frac{18}{4} + 6 = -4{,}5 + 6 = 1{,}5 \\neq 0\\]</p>\n<p>Potwierdzono: jedynym miejscem zerowym jest \\(x = -8\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego funkcji i podstawowe działania algebraiczne (rozwiązywanie równania liniowego).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A: \\(8\\) | Zgubiono znak minus - \\(\\frac{3}{4}x = -6 \\Rightarrow x = 8\\) (zły znak przy \\(-6\\)) |<br>| B: \\(6\\) | Pomylono miejsce zerowe z wyrazem wolnym - \\(6\\) to wartość \\(f(0)\\), nie \\(x_0\\) |<br>| C: \\(-6\\) | Wzięto wyraz wolny ze znakiem minus - ale \\(-6\\) to nie jest miejsce zerowe, tylko \\(-f(0)\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wyraz wolny (\\(+6\\)) to <strong>wartość funkcji w zerze</strong> \\(f(0) = 6\\), a nie miejsce zerowe! To najczęstszy błąd - uczniowie podają \\(6\\) lub \\(-6\\) bez liczenia.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy mnożeniu przez \\(\\frac{4}{3}\\) łatwo zgubić minus - pamiętaj, że \\(-6 \\cdot \\frac{4}{3} = -8\\), nie \\(+8\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze warto <strong>zweryfikować wynik przez podstawienie</strong> - to 5 sekund i eliminuje błędy rachunkowe.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wprost z definicji</h5>\n<p>Miejsce zerowe: \\(f(x) = 0\\):<br>\\[\\tfrac{3}{4}x + 6 = 0 \\Rightarrow \\tfrac{3}{4}x = -6 \\Rightarrow x = -6\\cdot\\tfrac{4}{3} = -8.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzór ogólny \\(x = -\\tfrac{b}{a}\\)</h5>\n<p>Dla \\(f(x) = ax + b\\) miejsce zerowe: \\(x = -\\tfrac{b}{a}\\).<br>\\[x = -\\dfrac{6}{3/4} = -6\\cdot\\tfrac{4}{3} = -8.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(8\\)</strong> - zły znak.</li><li><strong>B. \\(6\\)</strong> - wzięto wyraz wolny.</li><li><strong>C. \\(-6\\)</strong> - wzięto \\(-b\\) bez dzielenia przez \\(a\\).</li></ul>\n<p><strong>Sprawdzenie:</strong> \\(f(-8) = \\tfrac{3}{4}\\cdot(-8) + 6 = -6 + 6 = 0\\) ✓.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Znajdowanie miejsca zerowego funkcji liniowej</h5>\n<p>Funkcja liniowa ma postać \\(f(x) = x + 6\\). Miejscem zerowym funkcji jest liczba, dla której \\(f(x) = 0\\). Zatem:<br>\\[x + 6 = 0\\]<br>\\[x = -6\\]<br>To jest rozwiązanie, które odpowiada odpowiedzi D.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.7, strona 7</p>\n<h5>Sposób 2: Definicja miejsca zerowego</h5>\n<p>Miejscem zerowym funkcji to wartość x, dla której wartość funkcji f(x) jest równa zero. W tym przypadku, miejsce zerowe to x, dla którego \\(f(x) = 0\\). Zatem:<br>\\[f(x) = x + 6 = 0\\]<br>Rozwiązując to równanie, otrzymujemy:<br>\\[x = -6\\]</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.7, strona 7</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. 8:</strong> 8 nie spełnia równania \\(x + 6 = 0\\).</li><li><strong>B. 6:</strong> 6 nie spełnia równania \\(x + 6 = 0\\).</li><li><strong>C. -6:</strong> To jest poprawne rozwiązanie równania, które definiuje miejsce zerowe funkcji.</li><li><strong>D. -8:</strong> -8 nie spełnia równania \\(x + 6 = 0\\).</li></ul>"}]}