{"id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nRównanie wymierne 3\n1\n3\n5\nx\nx\n, gdzie\n5\nx ≠-,\nA. nie ma rozwiązań rzeczywistych.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.\nC. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.\nD. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.\nInformacja do zadań 10. i 11.\nNa rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f.\nWierzchołkiem tej paraboli jest punkt\n(\n)\n1,9\nW =\n. Liczby 2\ni 4 to miejsca zerowe funkcji f.\nRównanie wymierne 3x-1 / x+5 = 3, gdzie x ≠ -5, A. nie ma rozwiązań rzeczywistych. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste. D. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych lub\nkwadratowych, np.\n,\n(3.8).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nRównanie **nie ma rozwiązań rzeczywistych**.\n\n## Sposób 1 - Mnożenie obu stron przez mianownik\n\n**Cel:** pozbyć się ułamka, mnożąc obie strony przez \\(x + 5\\).\n\nWarunek dziedziny: \\(x \\neq -5\\) (mianownik \\(\\neq 0\\)).\n\nMnożymy obie strony przez \\((x+5)\\):\n\n\\[\\frac{3x-1}{x+5} \\cdot (x+5) = 3 \\cdot (x+5)\\]\n\n\\[3x - 1 = 3(x+5)\\]\n\nRozwijamy prawą stronę:\n\n\\[3x - 1 = 3x + 15\\]\n\nPrzenosimy \\(3x\\) na lewą stronę:\n\n\\[3x - 3x - 1 = 15\\]\n\n\\[-1 = 15\\]\n\n**To jest sprzeczność** - fałszywa równość, która nie zależy od \\(x\\). Nie ma żadnej wartości \\(x\\), która by ją spełniała.\n\n**Wniosek: równanie nie ma żadnego rozwiązania rzeczywistego.**\n\n## Sposób 2 - Analiza funkcji (interpretacja graficzna)\n\nZapiszmy równanie jako porównanie dwóch funkcji:\n\n\\[f(x) = \\frac{3x-1}{x+5}, \\qquad g(x) = 3\\]\n\nUprośćmy \\(f(x)\\). Wyciągamy \\(3\\) z licznika, rozkładając \\(3x - 1\\):\n\n\\[3x - 1 = 3(x+5) - 15 - 1 = 3(x+5) - 16\\]\n\nZatem:\n\n\\[f(x) = \\frac{3(x+5) - 16}{x+5} = 3 - \\frac{16}{x+5}\\]\n\nSzukamy, kiedy \\(f(x) = 3\\):\n\n\\[3 - \\frac{16}{x+5} = 3\\]\n\n\\[-\\frac{16}{x+5} = 0\\]\n\nUłamek \\(\\frac{16}{x+5} = 0\\) **nigdy nie jest równy zero** - licznik wynosi \\(16 \\neq 0\\), a mianownik nie może być nieskończony dla skończonego \\(x\\).\n\n**Wniosek:** funkcja \\(f(x) = 3 - \\frac{16}{x+5}\\) nigdy nie osiąga wartości \\(3\\) - do tej wartości tylko **dąży asymptotycznie** (asymptota pozioma \\(y = 3\\)), ale jej nie przyjmuje.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania algebraiczne: mnożenie obu stron równania przez wyrażenie i upraszczanie.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Uczeń zapisuje \\(3x - 1 = 3\\) (zapomina, że \\(3\\) po prawej musi być pomnożone przez \\((x+5)\\)), dostaje \\(x = \\frac{4}{3}\\) - pozorne rozwiązanie |\n| C | Uczeń myśli, że równanie wymierne \"z natury\" ma dwa rozwiązania (jak kwadratowe) i liczy dla dwóch przypadków znaków |\n| D | Uczeń myli liczbę rozwiązań z liczbą kroków lub stopniem wyrażenia |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc obie strony przez \\((x+5)\\), pamiętaj, że **całą prawą stronę** mnożysz przez \\((x+5)\\) - nie tylko pierwszą cyfrę. Błąd: \\(3x - 1 = 3\\) zamiast \\(3x - 1 = 3(x+5)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprzeczność \\(-1 = 15\\) to sygnał, że **równanie nie ma rozwiązań**, a nie że popełniłeś błąd. Nie próbuj \"naprawiać\" rachunków - to poprawny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Asymptota pozioma wykresu funkcji wymiernej oznacza wartość, do której wykres **dąży**, ale której **nigdy nie osiąga** - to ważna intuicja geometryczna wyjaśniająca brak rozwiązań.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Mnożenie przez mianownik i analiza\nMnożymy obie strony przez \\((x+5) \\ne 0\\):\n\\[3x - 1 = 3(x + 5)\\]\n\\[3x - 1 = 3x + 15\\]\n\\[-1 = 15.\\]\nSprzeczność! Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.\n\n### Sposób 2 - Analiza granicy\nRównanie \\(\\tfrac{3x-1}{x+5} = 3\\) wymaga, by wartość tej funkcji wymiernej była \\(3\\). Jednak:\n\\[\\tfrac{3x-1}{x+5} = 3 \\Rightarrow 3x - 1 = 3x + 15 \\Rightarrow -1 = 15.\\]\nRównanie nie może być spełnione - brak rozwiązań.\n\n### Sposób 3 - Przekształcenie na postać kanoniczną\n\\[\\tfrac{3x-1}{x+5} = \\tfrac{3(x+5) - 16}{x+5} = 3 - \\tfrac{16}{x+5}.\\]\nZatem \\(\\tfrac{3x-1}{x+5} = 3 \\iff -\\tfrac{16}{x+5} = 0 \\iff 16 = 0\\), co jest fałszem.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \"jedno rozwiązanie\"** - sprawdzenie byłoby konieczne, ale równanie daje sprzeczność.\n- **C/D.** Równanie liniowe po mnożeniu nie może mieć dwóch ani trzech rozwiązań.\n\n**Wniosek:** funkcja \\(\\tfrac{3x-1}{x+5}\\) ma asymptotę poziomą \\(y = 3\\), ale jej nie dotyka - stąd brak rozwiązań.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie równania wymiennego\nRównanie wymienne ma postać:\n\\[ \\frac{3x}{x+5} = 1 \\]\nAby znaleźć rozwiązanie, pomnóżmy obie strony przez \\(x+5\\):\n\\[ 3x = x + 5 \\]\nOdejmij \\(x\\) od obu stron:\n\\[ 2x = 5 \\]\nPodziel obie strony przez 2:\n\\[ x = \\frac{5}{2} \\]\nSprawdzenie:\n\\[ \\frac{3 \\cdot \\frac{5}{2}}{\\frac{5}{2} + 5} = \\frac{\\frac{15}{2}}{\\frac{5+10}{2}} = \\frac{\\frac{15}{2}}{\\frac{15}{2}} = 1 \\]\nZatem \\(x = \\frac{5}{2}\\) jest rozwiązaniem. Ponieważ \\(x \\neq -5\\), rozwiązanie jest poprawne.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, Potęgi, strona 7\n\n### Sposób 2: Rozwiązanie równania wymiennego przez manipulację algebraiczne\nRównanie wymienne ma postać:\n\\[ \\frac{3x}{x+5} = 1 \\]\nPomnóż obie strony przez \\(x+5\\):\n\\[ 3x = x + 5 \\]\nPrzenieś wszystkie wyrazy z lewej strony na prawą:\n\\[ 3x - x = 5 \\]\nUprość:\n\\[ 2x = 5 \\]\nPodziel przez 2:\n\\[ x = \\frac{5}{2} \\]\nSprawdzenie:\n\\[ \\frac{3(\\frac{5}{2})}{\\frac{5}{2} + 5} = \\frac{\\frac{15}{2}}{\\frac{5+10}{2}} = \\frac{\\frac{15}{2}}{\\frac{15}{2}} = 1 \\]\nZatem \\(x = \\frac{5}{2}\\) jest rozwiązaniem.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, Potęgi, strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.** - Prawda, ale nie wyjaśniono, dlaczego to jedyne rozwiązanie.\n* **C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.** - Fałsz. Równanie ma tylko jedno rozwiązanie.\n* **D. \\(ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste\\).** - Fałsz. Równanie ma tylko jedno rozwiązanie.\n\nRównanie wymienne ma jedno rozwiązanie, ponieważ po przekształceniach algebraicznych otrzymujemy jedno równanie z jedną niewiadomą, które ma jedno rozwiązanie. Warunek \\(x \\neq -5\\) zapewnia, że nie otrzymamy rozwiązania, które narusza to ograniczenie.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (0-1)<br>Równanie wymierne 3<br>1<br>3<br>5<br>x<br>x<br>, gdzie<br>5<br>x ≠-,<br>A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.<br>B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.<br>C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.<br>D. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.<br>Informacja do zadań 10. i 11.<br>Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f.<br>Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt<br>(<br>)<br>1,9<br>W =<br>. Liczby 2<br>i 4 to miejsca zerowe funkcji f.<br>Równanie wymierne 3x-1 / x+5 = 3, gdzie x ≠ -5, A. nie ma rozwiązań rzeczywistych. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste. D. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Równania i nierówności. Zdający</li></ol>\n<p>rozwiązuje proste równania wymierne,<br>prowadzące do równań liniowych lub<br>kwadratowych, np.<br>,<br>(3.8).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>A<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p>Równanie <strong>nie ma rozwiązań rzeczywistych</strong>.</p>\n<h4>Sposób 1 - Mnożenie obu stron przez mianownik</h4>\n<p><strong>Cel:</strong> pozbyć się ułamka, mnożąc obie strony przez \\(x + 5\\).</p>\n<p>Warunek dziedziny: \\(x \\neq -5\\) (mianownik \\(\\neq 0\\)).</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez \\((x+5)\\):</p>\n<p>\\[\\frac{3x-1}{x+5} \\cdot (x+5) = 3 \\cdot (x+5)\\]</p>\n<p>\\[3x - 1 = 3(x+5)\\]</p>\n<p>Rozwijamy prawą stronę:</p>\n<p>\\[3x - 1 = 3x + 15\\]</p>\n<p>Przenosimy \\(3x\\) na lewą stronę:</p>\n<p>\\[3x - 3x - 1 = 15\\]</p>\n<p>\\[-1 = 15\\]</p>\n<p><strong>To jest sprzeczność</strong> - fałszywa równość, która nie zależy od \\(x\\). Nie ma żadnej wartości \\(x\\), która by ją spełniała.</p>\n<p><strong>Wniosek: równanie nie ma żadnego rozwiązania rzeczywistego.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Analiza funkcji (interpretacja graficzna)</h4>\n<p>Zapiszmy równanie jako porównanie dwóch funkcji:</p>\n<p>\\[f(x) = \\frac{3x-1}{x+5}, \\qquad g(x) = 3\\]</p>\n<p>Uprośćmy \\(f(x)\\). Wyciągamy \\(3\\) z licznika, rozkładając \\(3x - 1\\):</p>\n<p>\\[3x - 1 = 3(x+5) - 15 - 1 = 3(x+5) - 16\\]</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>\\[f(x) = \\frac{3(x+5) - 16}{x+5} = 3 - \\frac{16}{x+5}\\]</p>\n<p>Szukamy, kiedy \\(f(x) = 3\\):</p>\n<p>\\[3 - \\frac{16}{x+5} = 3\\]</p>\n<p>\\[-\\frac{16}{x+5} = 0\\]</p>\n<p>Ułamek \\(\\frac{16}{x+5} = 0\\) <strong>nigdy nie jest równy zero</strong> - licznik wynosi \\(16 \\neq 0\\), a mianownik nie może być nieskończony dla skończonego \\(x\\).</p>\n<p><strong>Wniosek:</strong> funkcja \\(f(x) = 3 - \\frac{16}{x+5}\\) nigdy nie osiąga wartości \\(3\\) - do tej wartości tylko <strong>dąży asymptotycznie</strong> (asymptota pozioma \\(y = 3\\)), ale jej nie przyjmuje.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania algebraiczne: mnożenie obu stron równania przez wyrażenie i upraszczanie.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B | Uczeń zapisuje \\(3x - 1 = 3\\) (zapomina, że \\(3\\) po prawej musi być pomnożone przez \\((x+5)\\)), dostaje \\(x = \\frac{4}{3}\\) - pozorne rozwiązanie |<br>| C | Uczeń myśli, że równanie wymierne &quot;z natury&quot; ma dwa rozwiązania (jak kwadratowe) i liczy dla dwóch przypadków znaków |<br>| D | Uczeń myli liczbę rozwiązań z liczbą kroków lub stopniem wyrażenia |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mnożąc obie strony przez \\((x+5)\\), pamiętaj, że <strong>całą prawą stronę</strong> mnożysz przez \\((x+5)\\) - nie tylko pierwszą cyfrę. Błąd: \\(3x - 1 = 3\\) zamiast \\(3x - 1 = 3(x+5)\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprzeczność \\(-1 = 15\\) to sygnał, że <strong>równanie nie ma rozwiązań</strong>, a nie że popełniłeś błąd. Nie próbuj &quot;naprawiać&quot; rachunków - to poprawny wynik.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Asymptota pozioma wykresu funkcji wymiernej oznacza wartość, do której wykres <strong>dąży</strong>, ale której <strong>nigdy nie osiąga</strong> - to ważna intuicja geometryczna wyjaśniająca brak rozwiązań.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Mnożenie przez mianownik i analiza</h5>\n<p>Mnożymy obie strony przez \\((x+5) \\ne 0\\):<br>\\[3x - 1 = 3(x + 5)\\]<br>\\[3x - 1 = 3x + 15\\]<br>\\[-1 = 15.\\]<br>Sprzeczność! Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.</p>\n<h5>Sposób 2 - Analiza granicy</h5>\n<p>Równanie \\(\\tfrac{3x-1}{x+5} = 3\\) wymaga, by wartość tej funkcji wymiernej była \\(3\\). Jednak:<br>\\[\\tfrac{3x-1}{x+5} = 3 \\Rightarrow 3x - 1 = 3x + 15 \\Rightarrow -1 = 15.\\]<br>Równanie nie może być spełnione - brak rozwiązań.</p>\n<h5>Sposób 3 - Przekształcenie na postać kanoniczną</h5>\n<p>\\[\\tfrac{3x-1}{x+5} = \\tfrac{3(x+5) - 16}{x+5} = 3 - \\tfrac{16}{x+5}.\\]<br>Zatem \\(\\tfrac{3x-1}{x+5} = 3 \\iff -\\tfrac{16}{x+5} = 0 \\iff 16 = 0\\), co jest fałszem.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. &quot;jedno rozwiązanie&quot;</strong> - sprawdzenie byłoby konieczne, ale równanie daje sprzeczność.</li><li><strong>C/D.</strong> Równanie liniowe po mnożeniu nie może mieć dwóch ani trzech rozwiązań.</li></ul>\n<p><strong>Wniosek:</strong> funkcja \\(\\tfrac{3x-1}{x+5}\\) ma asymptotę poziomą \\(y = 3\\), ale jej nie dotyka - stąd brak rozwiązań.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Rozwiązanie równania wymiennego</h5>\n<p>Równanie wymienne ma postać:<br>\\[ \\frac{3x}{x+5} = 1 \\]<br>Aby znaleźć rozwiązanie, pomnóżmy obie strony przez \\(x+5\\):<br>\\[ 3x = x + 5 \\]<br>Odejmij \\(x\\) od obu stron:<br>\\[ 2x = 5 \\]<br>Podziel obie strony przez 2:<br>\\[ x = \\frac{5}{2} \\]<br>Sprawdzenie:<br>\\[ \\frac{3 \\cdot \\frac{5}{2}}{\\frac{5}{2} + 5} = \\frac{\\frac{15}{2}}{\\frac{5+10}{2}} = \\frac{\\frac{15}{2}}{\\frac{15}{2}} = 1 \\]<br>Zatem \\(x = \\frac{5}{2}\\) jest rozwiązaniem. Ponieważ \\(x \\neq -5\\), rozwiązanie jest poprawne.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.7, Potęgi, strona 7</p>\n<h5>Sposób 2: Rozwiązanie równania wymiennego przez manipulację algebraiczne</h5>\n<p>Równanie wymienne ma postać:<br>\\[ \\frac{3x}{x+5} = 1 \\]<br>Pomnóż obie strony przez \\(x+5\\):<br>\\[ 3x = x + 5 \\]<br>Przenieś wszystkie wyrazy z lewej strony na prawą:<br>\\[ 3x - x = 5 \\]<br>Uprość:<br>\\[ 2x = 5 \\]<br>Podziel przez 2:<br>\\[ x = \\frac{5}{2} \\]<br>Sprawdzenie:<br>\\[ \\frac{3(\\frac{5}{2})}{\\frac{5}{2} + 5} = \\frac{\\frac{15}{2}}{\\frac{5+10}{2}} = \\frac{\\frac{15}{2}}{\\frac{15}{2}} = 1 \\]<br>Zatem \\(x = \\frac{5}{2}\\) jest rozwiązaniem.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.7, Potęgi, strona 7</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.</strong> - Prawda, ale nie wyjaśniono, dlaczego to jedyne rozwiązanie.</li><li><strong>C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.</strong> - Fałsz. Równanie ma tylko jedno rozwiązanie.</li><li><strong>D. \\(ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste\\).</strong> - Fałsz. Równanie ma tylko jedno rozwiązanie.</li></ul>\n<p>Równanie wymienne ma jedno rozwiązanie, ponieważ po przekształceniach algebraicznych otrzymujemy jedno równanie z jedną niewiadomą, które ma jedno rozwiązanie. Warunek \\(x \\neq -5\\) zapewnia, że nie otrzymamy rozwiązania, które narusza to ograniczenie.</p>"}]}