{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nWyznacz wszystkie wartości parametru a , dla których wykresy funkcji f i g, określonych\nwzorami\n( )\n2\nf x\nx\noraz\n( )\n5\ng x\nax\n, przecinają się w punkcie o obu współrzędnych\ndodatnich.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nWyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których wykresy funkcji f i g, określonych wzorami f(x) = x-2 oraz g(x) = 5-ax, przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n4. Funkcje. Zdający wykorzystuje własności funkcji liniowej\ni kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych,\nfizycznych itp. także osadzonych w kontekście praktycznym)\n(4.12).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nWyznaczymy najpierw współrzędne punktu przecięcia. Przyrównujemy\n( )\nf x i\n( )\ng x ,\na otrzymane równanie zapisujemy w postaci\n(\n)1\n7\na\nx\nPonieważ\n0\nx >\n, więc\n1\n0\na + >\n, czyli\n1\na > -.\nZatem\n7\n5\n2\n( )\n2\n1\n1\na\ny\nf x\na\na\nPonieważ\n0\ny >\n, a ponadto\n1\n0\na + >\n, więc wynika stąd, że 5 2\n0\na\n>\n, skąd otrzymujemy\n5\n2\na <\nŁączymy oba warunki\n0\nx >\ni\n0\ny >\ni zapisujemy odpowiedź: punkt przecięcia wykresów\nfunkcji ma obie współrzędne dodatnie dla\n5\n1\n2\na\n-<\n<\nII sposób\nZilustrujmy w układzie współrzędnych sytuację opisaną w treści zadania.\n-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9 10 11 12 13\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\nx\ny\n0\n5\n5\n2\ny\nx\n2\ny\nx\n5\ny\nx\nPonieważ równanie\n5\ny\nax\nopisuje pęk prostych przechodzących przez punkt\no współrzędnych (\n)\n0,5 , więc rysując proste o równaniach\n5\ny\nx\n+ oraz\n5\n5\n2\ny\nx\n(linie\nprzerywane) otrzymujemy graniczne położenia linii prostych należących do tego pęku -\nprosta o równaniu\n5\ny\nx\n+ nie ma żadnego punktu wspólnego z prostą o równaniu\n2\ny\nx\n-,\nnatomiast prosta o równaniu\n5\n5\n2\ny\nx\nma jeden punkt wspólny z prostą o równaniu\n2\ny\nx\n-, jest nim punkt (\n)\n2,0 , którego współrzędne nie spełniają warunku określonego\nw treści tego zadania.\nZapisujemy odpowiedź: Punkty przecięcia wykresów funkcji mają dwie dodatnie\nwspółrzędne wtedy i tylko wtedy, gdy\n5\n1\n2\na\n-<\n<\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający wyznaczy jedną ze współrzędnych punktu przecięcia w zależności od a oraz zapisze:\n7\n1\nx\na\nalbo\n7\n2\n1\ny\na\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• wyznaczy obie współrzędne punktu przecięcia w zależności od a i zapisze:\n7\n1\nx\na\ni\n5\n2\n1\na\ny\na\ndla\n1\na ≠-\nalbo\n• wyznaczy pierwszą współrzędną punktu przecięcia w zależności od a:\n7\n1\nx\na\ni zapisze, że druga współrzędna jest dodatnia, gdy\n2\nx >\n(o ile wynika to\nz przywołanej koniunkcji\n0\n2\nx\nx\n>\n∧\n>\n),\nalbo\n• zapisze, że\n0\nx >\n, gdy\n1\na > - i nie wyznaczy drugiej współrzędnej punktu przecięcia,\nalbo\n• sporządzi ilustrację graficzną jednej pary prostych o równaniach:\n2\ny\nx\n- i\n5\ny\nx\nlub\n2\ny\nx\n- i\n5\n5\n2\ny\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający:\nzapisze, że dla\n1\na > - spełniona jest nierówność\n0\nx >\ni wyznaczy drugą\nwspółrzędną\nalbo\nzapisze, że dla\n5\n1\n2\na\n-<\n<\nspełniona jest nierówność\n0\ny >\ni nie rozważy warunku\n0\nx >\n,\nalbo\n• sporządzi ilustrację graficzną, na której znajdą się proste o równaniach:\n5\ny\nx\n+ i\n5\n5\n2\ny\nx\ni\n2\ny\nx\noraz zapisze przynajmniej jedną poprawną nierówność, którą spełnia współczynnik a,\nalbo\n• sporządzi ilustrację graficzną prostej o równaniu:\n2\ny\nx\n- i pęku prostych\nprzechodzących przez punkt o współrzędnych (0, 5) oraz zapisze przynajmniej jedną\npoprawną nierówność, którą spełnia współczynnik a\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający zapisze, że dla\n5\n1\n2\na\n-<\n<\nobie współrzędne punktu przecięcia są dodatnie.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający podstawia do równania pęku prostych współrzędne punktu (0, 2), otrzymuje\n5\n2\na =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy, to otrzymuje 1 punkt. Jeśli dodatkowo\npoda, że\n5\n2\na <\n, to otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający przedstawia rysunek, na którym jest tylko prosta o równaniu\n2\ny\nx\n-,\ni odpowiedź\n5\n1, 2\na\n\n\n∈-\n\n\n\n\nbez żadnych wyjaśnień, to otrzymuje 1 punkt.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"parametr","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
Wyznacz wszystkie wartości parametru a , dla których wykresy funkcji f i g, określonych
wzorami
( )
2
f x
x
oraz
( )
5
g x
ax
, przecinają się w punkcie o obu współrzędnych
dodatnich.
Odpowiedź:

\n

MMA_1R
Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których wykresy funkcji f i g, określonych wzorami f(x) = x-2 oraz g(x) = 5-ax, przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Funkcje. Zdający wykorzystuje własności funkcji liniowej
\n

i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych,
fizycznych itp. także osadzonych w kontekście praktycznym)
(4.12).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Wyznaczymy najpierw współrzędne punktu przecięcia. Przyrównujemy
( )
f x i
( )
g x ,
a otrzymane równanie zapisujemy w postaci
(
)1
7
a
x
Ponieważ
0
x >
, więc
1
0
a + >
, czyli
1
a > -.
Zatem
7
5
2
( )
2
1
1
a
y
f x
a
a
Ponieważ
0
y >
, a ponadto
1
0
a + >
, więc wynika stąd, że 5 2
0
a

\n
\n

, skąd otrzymujemy
5
2
a <
Łączymy oba warunki
0
x >
i
0
y >
i zapisujemy odpowiedź: punkt przecięcia wykresów
funkcji ma obie współrzędne dodatnie dla
5
1
2
a
-<
<
II sposób
Zilustrujmy w układzie współrzędnych sytuację opisaną w treści zadania.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
0
5
5
2
y
x
2
y
x
5
y
x
Ponieważ równanie
5
y
ax
opisuje pęk prostych przechodzących przez punkt
o współrzędnych (
)
0,5 , więc rysując proste o równaniach
5
y
x

\n\n

5
5
2
y
x
(linie
przerywane) otrzymujemy graniczne położenia linii prostych należących do tego pęku -
prosta o równaniu
5
y
x

\n\n

2
y
x
-,
natomiast prosta o równaniu
5
5
2
y
x
ma jeden punkt wspólny z prostą o równaniu
2
y
x
-, jest nim punkt (
)
2,0 , którego współrzędne nie spełniają warunku określonego
w treści tego zadania.
Zapisujemy odpowiedź: Punkty przecięcia wykresów funkcji mają dwie dodatnie
współrzędne wtedy i tylko wtedy, gdy
5
1
2
a
-<
<
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 p.
Zdający wyznaczy jedną ze współrzędnych punktu przecięcia w zależności od a oraz zapisze:
7
1
x
a
albo
7
2
1
y
a
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• wyznaczy obie współrzędne punktu przecięcia w zależności od a i zapisze:
7
1
x
a
i
5
2
1
a
y
a
dla
1
a ≠-
albo
• wyznaczy pierwszą współrzędną punktu przecięcia w zależności od a:
7
1
x
a
i zapisze, że druga współrzędna jest dodatnia, gdy
2
x >
(o ile wynika to
z przywołanej koniunkcji
0
2
x
x

\n
\n

∧

\n
\n

),
albo
• zapisze, że
0
x >
, gdy
1
a > - i nie wyznaczy drugiej współrzędnej punktu przecięcia,
albo
• sporządzi ilustrację graficzną jednej pary prostych o równaniach:
2
y
x

\n\n

5
y
x
lub
2
y
x

\n\n

5
5
2
y
x
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający:
zapisze, że dla
1
a > - spełniona jest nierówność
0
x >
i wyznaczy drugą
współrzędną
albo
zapisze, że dla
5
1
2
a
-<
<
spełniona jest nierówność
0
y >
i nie rozważy warunku
0
x >
,
albo
• sporządzi ilustrację graficzną, na której znajdą się proste o równaniach:
5
y
x

\n\n

5
5
2
y
x
i
2
y
x
oraz zapisze przynajmniej jedną poprawną nierówność, którą spełnia współczynnik a,
albo
• sporządzi ilustrację graficzną prostej o równaniu:
2
y
x

\n\n

przechodzących przez punkt o współrzędnych (0, 5) oraz zapisze przynajmniej jedną
poprawną nierówność, którą spełnia współczynnik a
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający zapisze, że dla
5
1
2
a
-<
<
obie współrzędne punktu przecięcia są dodatnie.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający podstawia do równania pęku prostych współrzędne punktu (0, 2), otrzymuje
\n

5
2
a =
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, to otrzymuje 1 punkt. Jeśli dodatkowo
poda, że
5
2
a <
, to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający przedstawia rysunek, na którym jest tylko prosta o równaniu
\n

2
y
x
-,
i odpowiedź
5
1, 2
a


∈-




bez żadnych wyjaśnień, to otrzymuje 1 punkt.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg"}]}