{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nRozwiąż nierówność\n2\n2cos\n3\n0\ncos\nx\nx\n<\nw przedziale 0, 2π .\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\n11.\nMaks. liczba pkt\n4\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nRozwiąż nierówność 2cos x - √3 / cos^2 x < 0 w przedziale (0, 2π).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n6. Trygonometria. Zdający rozwiązuje równania i nierówności\ntrygonometryczne oraz posługuje się wykresami funkcji\ntrygonometrycznych (R6.6, R6.4).\nPrzykładowe rozwiązanie\nPonieważ\n2\ncos\n0\nx ≥\ndla każdego x, to nierówność\n2\n2cos\n3\n0\ncos\nx\nx\n<\njest równoważna\nkoniunkcji 2cos\n3\n0\nx -\n<\ni cos\n0\nx ≠\n, czyli\n3\ncos\n2\nx <\ni cos\n0\nx ≠\nZatem\nπ\n11π\n2 π,\n2 π\n6\n6\nx\nk\nk\n\n\n∈\n\n\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą, i\nπ\nπ\n2\nx\nm\n≠\n, gdzie m jest\nliczbą całkowitą.\nW przedziale 0,2π rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba\nπ π\nπ 3π\n3π 11π\n,\n,\n,\n6 2\n2\n2\n2\n6\nx\n\n\n\n\n\n\n∈\n∪\n∪\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nUwaga:\nNierówności\n3\ncos\n2\nx <\ni cos\n0\nx ≠\nmożemy rozwiązać, np. odczytując odpowiednie\nargumenty funkcji\n( )\ncos\nf\nx\nx\n, dla których przyjmuje ona wartości mniejsze od\n3\n2 i różne\nod zera.\nπ/6\nπ/3\nπ/2\n2π/3\n5π/6\nπ\n7π/6\n4π/3\n3π/2\n5π/3\n11π/6\n2π\n-1\n1\nx\ny\n0\nFunkcja cosinus przyjmuje w przedziale 0,2π wartość\n3\n2 dla dwóch argumentów:\nπ\n6\nx =\n,\n11π\n6\nx =\n. Ma również w tym przedziale dwa miejsca zerowe:\nπ\n2\nx =\n,\n3π\n2\nx =\nZatem zbiorem rozwiązań nierówności\n2\n2cos\n3\n0\ncos\nx\nx\n<\nw przedziale\n0,2π jest suma\nprzedziałów\nπ π\nπ 3π\n3π 11π\n,\n,\n,\n6 2\n2\n2\n2\n6\n\n\n\n\n\n\n∪\n∪\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający zapisze, że nierówność\n(\n)\n2\ncos\n2cos\n3\n0\nx\nx -\n<\njest równoważna koniunkcji\n2\ncos\n0\nx ≠\ni 2cos\n3\n0\nx -\n<\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• zapisze, że\n2\ncos\n0\nx ≠\ndla\nπ\nπ\n2\nx\nk\n≠\n, gdzie k jest liczbą całkowitą\nalbo\n• zapisze, że\n2\ncos\n0\nx ≠\ndla\nπ\n2\nx ≠\ni\n3π\n2\nx ≠\nlub cos\n0\nx ≠\ndla\nπ\n2\nx ≠\ni\n3π\n2\nx ≠\n,\nalbo\n• rozwiąże nierówność\n3\ncos\n2\nx <\nw zbiorze liczb rzeczywistych:\nπ\n11π\n2 π,\n2 π\n6\n6\nx\nk\nk\n\n\n∈\n\n\n\n\n, gdzie k jest liczbą całkowitą,\nalbo\n• rozwiąże nierówność\n3\ncos\n2\nx <\nw przedziale 0,2π :\nπ 11π\n,\n6\n6\nx\n\n\n∈\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze, że\n2\ncos\n0\nx ≠\ndla\nπ\nπ\n2\nx\nk\n≠\n, gdzie k jest liczbą całkowitą oraz rozwiąże\nnierówność\n3\ncos\n2\nx <\nw zbiorze liczb rzeczywistych:\nπ\n11π\n2 π,\n2 π\n6\n6\nx\nk\nk\n\n\n∈\n\n\n\n\n, gdzie k jest\nliczbą całkowitą i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający rozwiąże nierówność\n(\n)\n2\ncos\n2cos\n3\n0\nx\nx -\n<\nw przedziale 0,2π :\nπ π\nπ 3π\n3π 11π\n,\n,\n,\n6 2\n2\n2\n2\n6\nx\n\n\n\n\n\n\n∈\n∪\n∪\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n30 ,90\n90 ,270\n270 ,330\nx∈\n∪\n∪\n\n\n\n\n\n.\nUwagi:\n1. Zdający nie musi podawać rozwiązań ogólnych. Na każdym etapie rozwiązania może\nograniczyć rozumowanie do przedziału 0,2π .\n2. Jeżeli zdający zapisze, że\n2\ncos\n0\nx ≠\ni podaje zbiór rozwiązań nierówności w postaci\nπ 11π\n,\n6\n6\nx\n\n\n∈\n\n\n\nlub\nπ\n11π\n2 π,\n2 π\n6\n6\nx\nk\nk\n\n\n∈\n\n\n\n\n, to za całe rozwiązanie otrzymuje 3 punkty.\n3. Jeżeli zdający poda wszystkie rozwiązania równania cos\n0\nx =\nw przedziale 0,2π lub\nwszystkie rozwiązania równania\n3\ncos\n2\nx =\nw przedziale 0,2π i na tym zakończy lub dalej\npopełni błędy, to otrzymuje 1 punkt.\n4. Jeżeli zdający zapisze warunek cos\n0\nx ≠\ni poda tylko\nπ\nπ\n2\nx\nk\n≠\nlub\nπ\n2\nx ≠\ni na tym\nzakończy lub dalej popełni błędy, to otrzymuje 1 punkt.\n5. Jeżeli zdający zapisze nierówność w postaci równoważnej\n(\n)\n2\ncos\n2cos\n3\n0\nx\nx -\n<\n,\nwykona podstawienie\ncos\nt\nx\n, a następnie rozwiązując nierówność\n2\n3\n0\n2\nt\nt\n\n<\n\n\n\n\n\n\nprzyjmuje, że 0 jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu i konsekwentnie rozwiąże\nnierówność do końca, otrzymując\nπ π\n3π 11π\n,\n,\n6 2\n2\n6\nx\n\n\n\n\n∈\n∪\n\n\n\n\n\n\n\n\n, to otrzymuje 2 punkty.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"trygonometria","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
Rozwiąż nierówność
2
2cos
3
0
cos
x
x
<
w przedziale 0, 2π .
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
10.
11.
Maks. liczba pkt
4
4
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R
Rozwiąż nierówność 2cos x - √3 / cos^2 x < 0 w przedziale (0, 2π).

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Trygonometria. Zdający rozwiązuje równania i nierówności
\n

trygonometryczne oraz posługuje się wykresami funkcji
trygonometrycznych (R6.6, R6.4).
Przykładowe rozwiązanie
Ponieważ
2
cos
0
x ≥
dla każdego x, to nierówność
2
2cos
3
0
cos
x
x
<
jest równoważna
koniunkcji 2cos
3
0
x -
<
i cos
0
x ≠
, czyli
3
cos
2
x <
i cos
0
x ≠
Zatem
π
11π
2 π,
2 π
6
6
x
k
k


∈




, gdzie k jest liczbą całkowitą, i
π
π
2
x
m
≠
, gdzie m jest
liczbą całkowitą.
W przedziale 0,2π rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba
π π
π 3π
3π 11π
,
,
,
6 2
2
2
2
6
x






∈
∪
∪












Uwaga:
Nierówności
3
cos
2
x <
i cos
0
x ≠
możemy rozwiązać, np. odczytując odpowiednie
argumenty funkcji
( )
cos
f
x
x
, dla których przyjmuje ona wartości mniejsze od
3
2 i różne
od zera.
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
2π
-1
1
x
y
0
Funkcja cosinus przyjmuje w przedziale 0,2π wartość
3
2 dla dwóch argumentów:
π
6
x =
,
11π
6
x =
. Ma również w tym przedziale dwa miejsca zerowe:
π
2
x =
,
3π
2
x =
Zatem zbiorem rozwiązań nierówności
2
2cos
3
0
cos
x
x
<
w przedziale
0,2π jest suma
przedziałów
π π
π 3π
3π 11π
,
,
,
6 2
2
2
2
6






∪
∪












Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 p.
Zdający zapisze, że nierówność
(
)
2
cos
2cos
3
0
x
x -
<
jest równoważna koniunkcji
2
cos
0
x ≠
i 2cos
3
0
x -
<
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• zapisze, że
2
cos
0
x ≠
dla
π
π
2
x
k
≠
, gdzie k jest liczbą całkowitą
albo
• zapisze, że
2
cos
0
x ≠
dla
π
2
x ≠
i
3π
2
x ≠
lub cos
0
x ≠
dla
π
2
x ≠
i
3π
2
x ≠
,
albo
• rozwiąże nierówność
3
cos
2
x <
w zbiorze liczb rzeczywistych:
π
11π
2 π,
2 π
6
6
x
k
k


∈




, gdzie k jest liczbą całkowitą,
albo
• rozwiąże nierówność
3
cos
2
x <
w przedziale 0,2π :
π 11π
,
6
6
x


∈



i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający zapisze, że
2
cos
0
x ≠
dla
π
π
2
x
k
≠
, gdzie k jest liczbą całkowitą oraz rozwiąże
nierówność
3
cos
2
x <
w zbiorze liczb rzeczywistych:
π
11π
2 π,
2 π
6
6
x
k
k


∈




, gdzie k jest
liczbą całkowitą i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający rozwiąże nierówność
(
)
2
cos
2cos
3
0
x
x -
<
w przedziale 0,2π :
π π
π 3π
3π 11π
,
,
,
6 2
2
2
2
6
x






∈
∪
∪












lub
(
)
(
)
(
)
30 ,90
90 ,270
270 ,330
x∈
∪
∪





.
Uwagi:

\n
  1. Zdający nie musi podawać rozwiązań ogólnych. Na każdym etapie rozwiązania może
\n

ograniczyć rozumowanie do przedziału 0,2π .

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze, że
\n

2
cos
0
x ≠
i podaje zbiór rozwiązań nierówności w postaci
π 11π
,
6
6
x


∈



lub
π
11π
2 π,
2 π
6
6
x
k
k


∈




, to za całe rozwiązanie otrzymuje 3 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający poda wszystkie rozwiązania równania cos
\n

0
x =
w przedziale 0,2π lub
wszystkie rozwiązania równania
3
cos
2
x =
w przedziale 0,2π i na tym zakończy lub dalej
popełni błędy, to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze warunek cos
\n

0
x ≠
i poda tylko
π
π
2
x
k
≠
lub
π
2
x ≠
i na tym
zakończy lub dalej popełni błędy, to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze nierówność w postaci równoważnej
\n

(
)
2
cos
2cos
3
0
x
x -
<
,
wykona podstawienie
cos
t
x
, a następnie rozwiązując nierówność
2
3
0
2
t
t

<






przyjmuje, że 0 jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu i konsekwentnie rozwiąże
nierówność do końca, otrzymując
π π
3π 11π
,
,
6 2
2
6
x




∈
∪








, to otrzymuje 2 punkty.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg"}]}