{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-6)\nDany jest trójmian kwadratowy\n( )\n(\n)\n2\n2\n1\n6\n1\nf x\nx\nm\nx\nm\n+ . Wyznacz wszystkie\nrzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki\n1x ,\n2x\ntego samego znaku, spełniające warunek\n1\n2\n3\nx\nx\n<\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nDany jest trójmian kwadratowy f(x) = x^2 + 2(m+1)x + 6m+1. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x_1, x_2 tego samego znaku, spełniające warunek |x_1 - x_2| < 3.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-6)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n3. Równania i nierówności. Zdający stosuje wzory Viète’a,\nrozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe\nz parametrem, rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną\nniewiadomą oraz równania i nierówności z wartością bezwzględną\n(R3.1, R3.2, 3.5, R3.9).\nPrzykładowe rozwiązanie\nRozwiązanie zadania dzielimy na cztery etapy. W pierwszym etapie wyznaczymy wszystkie\nwartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki. W drugim,\nwyznaczymy te wartości parametru m, dla których pierwiastki trójmianu spełniają warunek\n1\n2\n3\nx\nx\n<\n. W trzecim wyznaczamy te wartości parametru m, dla których pierwiastki\n1\n2\n,\nx x\nsą tego samego znaku. W czwartym - końcowym etapie, wyznaczymy wszystkie szukane\nwartości parametru m.\nI etap\nPonieważ trójmian f ma dwa różne pierwiastki, więc wyróżnik Δ tego trójmianu jest dodatni,\nzatem\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n4 1 6\n1\n0\nm\nm\nΔ =\n-⋅⋅\n>\nNierówność\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n4 1 6\n1\n0\nm\nm\n-⋅⋅\n>\nprzekształcamy w sposób równoważny\n(\n)\n(\n)\n2\n4\n2\n1\n4\n6\n1\n0\nm\nm\nm\n-⋅\n>\n,\n2\n2\n1 6\n1\n0\nm\nm\nm\n->\n,\n2\n4\n0\nm\nm\n>\n,\n(\n)\n4\n0\nm m -\n>\nRozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba\n(\n)\n(\n)\n,0\n4,\nm∈-∞\n∪\n+∞.\nII etap\nI sposób\nNierówność\n1\n2\n3\nx\nx\n<\nmożna zapisać, stosując wzory na pierwiastki trójmianu\nkwadratowego, w postaci\n3\n2\n2\nb\nb\na\na\nΔ\nΔ\n<\n,\n3\na\n-Δ <\n,\n3\n1\n-Δ <\n,\n3\nΔ <\nPonieważ\n0\nΔ >\n, więc\n0\nΔ >\n. Zatem obie strony nierówności są dodatnie. Stąd 0\n9\n< Δ <\nZatem\n(\n)\n(\n)\n2\n4\n2\n1\n4 6\n1\n9\n0\nm\nm\nm\n<\n,\n2\n4\n16\n9\n0\nm\nm\n<\n,\n1 9\n,\n2 2\nm\n\n\n∈-\n\n\n\n\nII sposób\nObie strony nierówności\n1\n2\n3\nx\nx\n<\nsą dodatnie, więc podnosząc je do kwadratu,\notrzymujemy nierówność równoważną\n(\n)\n2\n1\n2\n9\nx\nx\n<\nTę nierówność możemy z kolei zapisać w postaci\n(\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n4\n9\nx\nx\nx x\n<\nZe wzorów Viète’a otrzymujemy nierówność z niewiadomą m:\n(\n)\n(\n)\n2\n4\n2\n1\n4 6\n1\n9\n0\nm\nm\nm\n<\n,\n1 9\n,\n2 2\nm\n\n\n∈-\n\n\n\n\nIII etap\nPonieważ pierwiastki\n1x ,\n2x są tego samego znaku, więc\n1\n2\n0\nx\nx\n⋅\n>\n. Ze wzoru Viète’a,\notrzymujemy nierówność\n6\n1\n0\n1\nm + >\n, skąd\n1\n6\nm > -\nIV etap\nWyznaczamy część wspólną zbiorów:\n1 ,\n6\n\n\n+∞\n\n\n\n\n,\n1 9\n,\n2 2\n\n\n\n\n\n\n,\n(\n)\n(\n)\n,0\n4,\n-∞\n∪\n+∞.\nOstatecznie\n1\n9\n,0\n4,\n6\n2\nm\n\n\n\n\n∈-\n∪\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat punktowania\nRozwiązanie zadania składa się z czterech etapów.\n• Pierwszy z nich polega na rozwiązaniu nierówności\n0\n>\nΔ\n:\n(\n)\n(\n)\n,0\n4,\nm∈-∞\n∪\n+∞.\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n• Drugi etap polega na rozwiązaniu nierówności\n1\n2\n3\nx\nx\n<\n. Za tę część rozwiązania\nzdający otrzymuje 3 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n1 punkt zdający otrzymuje, gdy:\n• zapisze nierówność\n1\n2\n3\nx\nx\n<\nw postaci\n3\n-Δ <\nlub\n3\nΔ < , lub(\n)\n2\n1\n2\n9\nx\nx\n<\nalbo\n• zapisze nierówność\n1\n2\n3\nx\nx\n<\nw postaci:\n3\n2\n2\nb\nb\na\na\nΔ\nΔ\n<\n9\nΔ <\nlub\n(\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n4\n9\nx\nx\nx x\n<\n2 punkty zdający otrzymuje, gdy zapisze nierówność z jedną niewiadomą m, np.\n(\n)\n2\n2\n1\n6\n1\n4\n9\n1\n1\nm\nm\n\n\n-⋅\n<\n\n\n\n\n3 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie tej nierówności:\n1 9\n,\n2 2\nm\n\n\n∈-\n\n\n\n\n• Trzeci etap polega na ustaleniu, dla jakich m pierwiastki trójmianu są tego samego\nznaku.\n1 punkt zdający otrzymuje za rozwiązanie nierówności 6\n1\n0\n1\nm + >\n:\n1 ,\n6\nm\n\n\n∈-\n+∞\n\n\n\n\n• Czwarty etap polega na ustaleniu, dla których wartości parametru m pierwiastki\ntrójmianu spełniają wszystkie warunki zadania. Wyznaczamy część wspólną zbiorów:\n1 ,\n6\n\n\n+∞\n\n\n\n\n,\n1 9\n,\n2 2\n\n\n\n\n\n\ni (\n)\n(\n)\n,0\n4,\n-∞\n∪\n+∞.\nZa ten etap zdający może otrzymać 1 punkt, gdy:\n• poprawnie wykonał przynajmniej dwa etapy spośród I, II i III, a ponadto w każdym\nz etapów otrzymał niepusty i różny od zbioru liczb rzeczywistych (R) zbiór rozwiązań\nalbo\n• poprawnie wykonał etapy I lub III i otrzymał co najmniej 2 punkty za II etap,\na ponadto w każdym z etapów otrzymał niepusty i różny od zbioru liczb\nrzeczywistych (R) zbiór rozwiązań.\nUwaga:\nJeżeli zdający popełni błąd merytoryczny w trakcie rozwiązywania warunku\n3\n-Δ <\nlub\n3\nΔ < , np. podniesie obie strony nierówności do kwadratu i otrzyma Δ > 9, to za II etap\notrzymuje co najwyżej 1 punkt.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"parametr","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (0-6)
Dany jest trójmian kwadratowy
( )
(
)
2
2
1
6
1
f x
x
m
x
m

\n\n

rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki
1x ,
2x
tego samego znaku, spełniające warunek
1
2
3
x
x
<

\n

MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
12.
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R
Dany jest trójmian kwadratowy f(x) = x^2 + 2(m+1)x + 6m+1. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x_1, x_2 tego samego znaku, spełniające warunek |x_1 - x_2| < 3.

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-6)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający stosuje wzory Viète’a,
\n

rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe
z parametrem, rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną
niewiadomą oraz równania i nierówności z wartością bezwzględną
(R3.1, R3.2, 3.5, R3.9).
Przykładowe rozwiązanie
Rozwiązanie zadania dzielimy na cztery etapy. W pierwszym etapie wyznaczymy wszystkie
wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki. W drugim,
wyznaczymy te wartości parametru m, dla których pierwiastki trójmianu spełniają warunek
1
2
3
x
x
<
. W trzecim wyznaczamy te wartości parametru m, dla których pierwiastki
1
2
,
x x
są tego samego znaku. W czwartym - końcowym etapie, wyznaczymy wszystkie szukane
wartości parametru m.
I etap
Ponieważ trójmian f ma dwa różne pierwiastki, więc wyróżnik Δ tego trójmianu jest dodatni,
zatem
(
)
(
)
(
)
2
2
1
4 1 6
1
0
m
m
Δ =
-⋅⋅

\n
\n

Nierówność
(
)
(
)
(
)
2
2
1
4 1 6
1
0
m
m
-⋅⋅

\n
\n

przekształcamy w sposób równoważny
(
)
(
)
2
4
2
1
4
6
1
0
m
m
m
-⋅

\n
\n

,
2
2
1 6
1
0
m
m
m
->
,
2
4
0
m
m

\n
\n

,
(
)
4
0
m m -

\n
\n

Rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba
(
)
(
)
,0
4,
m∈-∞
∪
+∞.
II etap
I sposób
Nierówność
1
2
3
x
x
<
można zapisać, stosując wzory na pierwiastki trójmianu
kwadratowego, w postaci
3
2
2
b
b
a
a
Δ
Δ
<
,
3
a
-Δ <
,
3
1
-Δ <
,
3
Δ <
Ponieważ
0
Δ >
, więc
0
Δ >
. Zatem obie strony nierówności są dodatnie. Stąd 0
9
< Δ <
Zatem
(
)
(
)
2
4
2
1
4 6
1
9
0
m
m
m
<
,
2
4
16
9
0
m
m
<
,
1 9
,
2 2
m


∈-




II sposób
Obie strony nierówności
1
2
3
x
x
<
są dodatnie, więc podnosząc je do kwadratu,
otrzymujemy nierówność równoważną
(
)
2
1
2
9
x
x
<
Tę nierówność możemy z kolei zapisać w postaci
(
)
2
1
2
1
2
4
9
x
x
x x
<
Ze wzorów Viète’a otrzymujemy nierówność z niewiadomą m:
(
)
(
)
2
4
2
1
4 6
1
9
0
m
m
m
<
,
1 9
,
2 2
m


∈-




III etap
Ponieważ pierwiastki
1x ,
2x są tego samego znaku, więc
1
2
0
x
x
⋅

\n
\n

. Ze wzoru Viète’a,
otrzymujemy nierówność
6
1
0
1
m + >
, skąd
1
6
m > -
IV etap
Wyznaczamy część wspólną zbiorów:
1 ,
6


+∞




,
1 9
,
2 2






,
(
)
(
)
,0
4,
-∞
∪
+∞.
Ostatecznie
1
9
,0
4,
6
2
m




∈-
∪








Schemat punktowania
Rozwiązanie zadania składa się z czterech etapów.
• Pierwszy z nich polega na rozwiązaniu nierówności
0

\n
\n

Δ
:
(
)
(
)
,0
4,
m∈-∞
∪
+∞.
Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
• Drugi etap polega na rozwiązaniu nierówności
1
2
3
x
x
<
. Za tę część rozwiązania
zdający otrzymuje 3 punkty.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
1 punkt zdający otrzymuje, gdy:
• zapisze nierówność
1
2
3
x
x
<
w postaci
3
-Δ <
lub
3
Δ < , lub(
)
2
1
2
9
x
x
<
albo
• zapisze nierówność
1
2
3
x
x
<
w postaci:
3
2
2
b
b
a
a
Δ
Δ
<
9
Δ <
lub
(
)
2
1
2
1
2
4
9
x
x
x x
<
2 punkty zdający otrzymuje, gdy zapisze nierówność z jedną niewiadomą m, np.
(
)
2
2
1
6
1
4
9
1
1
m
m


-⋅
<




3 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie tej nierówności:
1 9
,
2 2
m


∈-




• Trzeci etap polega na ustaleniu, dla jakich m pierwiastki trójmianu są tego samego
znaku.
1 punkt zdający otrzymuje za rozwiązanie nierówności 6
1
0
1
m + >
:
1 ,
6
m


∈-
+∞




• Czwarty etap polega na ustaleniu, dla których wartości parametru m pierwiastki
trójmianu spełniają wszystkie warunki zadania. Wyznaczamy część wspólną zbiorów:
1 ,
6


+∞




,
1 9
,
2 2






i (
)
(
)
,0
4,
-∞
∪
+∞.
Za ten etap zdający może otrzymać 1 punkt, gdy:
• poprawnie wykonał przynajmniej dwa etapy spośród I, II i III, a ponadto w każdym
z etapów otrzymał niepusty i różny od zbioru liczb rzeczywistych (R) zbiór rozwiązań
albo
• poprawnie wykonał etapy I lub III i otrzymał co najmniej 2 punkty za II etap,
a ponadto w każdym z etapów otrzymał niepusty i różny od zbioru liczb
rzeczywistych (R) zbiór rozwiązań.
Uwaga:
Jeżeli zdający popełni błąd merytoryczny w trakcie rozwiązywania warunku
3
-Δ <
lub
3
Δ < , np. podniesie obie strony nierówności do kwadratu i otrzyma Δ > 9, to za II etap
otrzymuje co najwyżej 1 punkt.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg"}]}