Zadanie 13. (0-5)
Punkty
(
)
30, 32
A
i
(
)
0, 8
B
są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego
w okrąg. Prosta o równaniu
2
0
x
y
jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera
przekątną AC . Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.
MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
13.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt
MMA_1R
Punkty A = (30,32) i B=(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2 =0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną . Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.
Zadanie 13. (0-5)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej
danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt,
oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych oraz
wyznacza współrzędne środka odcinka (8.3, 8.4, 8.5).
Przykładowe rozwiązanie
Zauważamy, że jeżeli AC jest przekątną czworokąta ABCD, wpisanego w okrąg i prosta
AC jest osią symetrii tego czworokąta, to ten czworokąt jest deltoidem, a trójkąty ABC
i ADC są prostokątne. Obliczymy najpierw współrzędne wierzchołka D , który jest obrazem
wierzchołka B , w symetrii osiowej względem prostej AC . Ponieważ prosta BD jest
prostopadła do prostej AC i przechodzi przez punkt B , więc jej równanie ma postać
8
y
x
Obliczamy współrzędne środka S przekątnej BD . Ponieważ jest to punkt przecięcia
prostych AC i BD , więc wystarczy rozwiązać układ równań
2
8
y
x
y
x
= -+
Otrzymujemy stąd
3
x =
i
5
y =
. Zatem punkt S ma współrzędne
(
)
3,5
S =
. Współrzędne
punktu D spełniają zatem równania
0
3
2
D
x +
i
8
5
2
D
y +
Stąd wynika, że
6
D
x =
i
2
D
y =
, czyli
(
)
6,2
D =
Obliczymy teraz współrzędne wierzchołka C . Zauważamy, że jest to punkt przecięcia prostej
AC i prostej CD , która jest prostopadła do prostej AD i przechodzi przez punkt D .
Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej AD jest równy 2
32
5
6
30
4
, więc prosta CD ma
równanie postaci
(
)
4
6
2
5
y
x
Rozwiązujemy układ równań
(
)
2
4
6
2
5
y
x
y
x
i otrzymujemy
8
24
9
3
42
14
9
3
x
y
=
Zatem
(
)
8 14
3
3
,
C =
Schemat punktowania
Rozwiązanie zadania składa się z dwóch części. Pierwsza, to obliczenie współrzędnych
punktu D , druga, to obliczenie współrzędnych punktu C . Mogą być one wykonane
niezależnie od siebie, w dowolnej kolejności. Za pierwszą część rozwiązania zdający
otrzymuje 2 punkty, a za drugą 3 punkty.
Schemat punktowania pierwszej części
1 punkt przyznajemy zdającemu, który wyznaczy równanie prostej BD :
8
y
x
i zapisze, że punkt przecięcia prostych AC i BD jest środkiem odcinka BD lub wykorzysta
ten fakt.
2 punkty przyznajemy zdającemu za obliczenie współrzędnych punktu D :
(
)
6,2
D =
Schemat punktowania drugiej części
1 punkt przyznajemy zdającemu, który zapisze, że trójkąt ADC jest trójkątem prostokątnym
lub wykorzysta ten fakt.
2 punkty przyznajemy zdającemu za wyznaczenie równania prostej CD :
(
)
4
6
2
5
y
x
3 punkty przyznajemy zdającemu za obliczenie współrzędnych punktu C :
(
)
8 14
3
3,
C=
Uwaga:
Współrzędne punktu C zdający może obliczać inaczej. Poniżej schematy przydziału
3 punktów za obliczenie współrzędnych wierzchołka C.
• W przypadku obliczenia w pierwszej kolejności współrzędnych środka okręgu opisanego
na danym czworokącie, który jest środkiem odcinka AC.
1 punkt - gdy zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą opisujące zależność
2
2
SA
SB
,
2 punkty - gdy zdający obliczy współrzędne punktu S,
3 punkty - gdy zdający obliczy współrzędne punktu C.
• W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem twierdzenia
Pitagorasa w trójkącie ABC.
1 punkt - gdy zdający zauważy, że trójkąt ABC jest prostokątny, np. zapisze
2
2
2
AC
AB
BC
,
2 punkty - gdy zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, wynikające z twierdzenia
Pitagorasa w trójkącie ABC,
3 punkty - gdy zdający obliczy współrzędne punktu C.
• W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem symetralnej odcinka
AB i środka okręgu opisanego na czworokącie ABCD.
1 punkt - gdy zdający zapisze równanie symetralnej odcinka AB,
2 punkty - gdy zdający wyznaczy współrzędne środka okręgu przechodzącego przez punkty
A, B, C, D,
3 punkty - gdy zdający obliczy współrzędne punktu C.
• W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem kąta pomiędzy
prostymi AD i AB.
1 punkt - gdy zdający obliczy tangens kąta DAB,
2 punkty - gdy zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą z wykorzystaniem
współczynników kierunkowych prostych BC i CD jako tangensów odpowiednich kątów,
3 punkty - gdy zdający obliczy współrzędne punktu C.
• W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem iloczynu skalarnego
wektorów BC i BA (albo, po wyznaczeniu współrzędnych punktu D, wektorów DA i DC).
1 punkt - gdy zdający zapisze, że wektory BC i BA albo DA i DC są prostopadłe lub
wyznaczy ich współrzędne,
2 punkty - gdy zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą wynikające z zerowania się
iloczynu skalarnego wektorów,
3 punkty - gdy zdający obliczy współrzędne punktu C.
• W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem równania okręgu
przechodzącego przez punkty A, B, D.
1 punkt - gdy zdający zapisze układ trzech równań z trzema niewiadomymi, z którego można
obliczyć współczynniki w równaniu okręgu,
2 punkty - gdy zdający wyznaczy równanie okręgu opisanego na trójkącie ABD,
3 punkty - gdy zdający obliczy współrzędne punktu C.
• W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem twierdzenia
cosinusów.
1 punkt - gdy zdający wyznaczy cosinus kąta BAD,
2 punkty - gdy zdający zastosuje twierdzenie cosinusów w trójkącie BCD i zapisze równanie
z jedną niewiadomą,
3 punkty - gdy zdający obliczy współrzędne punktu C.
• W przypadku obliczenia współrzędnych punktu C, z wykorzystaniem twierdzenia
o wysokości w trójkącie prostokątnym ABC (albo, po wyznaczeniu współrzędnych
punktu D, w trójkącie ACD).
1 punkt - gdy zdający wyznaczy długości odcinków AS i BS, lub AS i DS, gdzie S jest
spodkiem wysokości trójkąta należącym do boku AC,
2 punkty - gdy zdający zastosuje twierdzenie o wysokości w trójkącie prostokątnym
i zapisze równanie z jedną niewiadomą,
3 punkty - gdy zdający obliczy współrzędne punktu C.