{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"14","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-3)\nRozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą\nwystępować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy.\nUzasadnij, że takich liczb jest 15 360.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n14.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nRozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra $1$ występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15360.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-3)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę\npermutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do\nzliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach\nkombinatorycznych (R10.1).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nMiejsce dla cyfry 1 wybieramy na ( )\n10\n3\nsposobów. Na pozostałych siedmiu miejscach\nrozmieszczamy cyfry 2 lub 3 w dowolnym porządku na\n7\n2 sposobów. Stosujemy regułę\nmnożenia i otrzymujemy\n( )\n7\n10\n3\n2\n120 128\n15360\n⋅\n⋅\nróżnych liczb dziesięciocyfrowych, które można zapisać za pomocą cyfr 1, 2, 3, w zapisie\nktórych cyfra 1 występuje w dokładnie trzy razy.\nII sposób\nRozpatrzymy trzy rozłączne przypadki, w zależności od tego, jaka cyfra została zapisana na\npierwszym miejscu.\n1. Jeżeli na pierwszym miejscu jest cyfra 1, to miejsce dla pozostałych dwóch jedynek\nwybieramy na ( )\n9\n2 sposobów, na pozostałych siedmiu miejscach rozmieszczamy cyfrę 2 lub\ncyfrę 3 w dowolnym porządku na\n7\n2 sposobów. Stosujemy regułę mnożenia i otrzymujemy\n( )\n7\n9\n2\n1\n2\n36 128\n4608\n⋅\n⋅\n⋅\nliczb dziesięciocyfrowych, które można zapisać za pomocą cyfr 1, 2, 3, w których zapisie\ncyfra 1 występuje w dokładnie trzy razy, przy czym na pierwszym miejscu jest cyfra 1.\n2. jeżeli na pierwszym miejscu jest cyfra 2, to miejsce dla trzech jedynek wybieramy na ( )\n9\n3\nsposobów, na pozostałych sześciu miejscach rozmieszczamy cyfrę 2 lub cyfrę 3 w dowolnym\nporządku na\n6\n2 sposobów. Stosujemy regułę mnożenia i otrzymujemy\n( )\n6\n9\n3\n1\n2\n84 64\n5376\n⋅\n⋅\n⋅\nliczb dziesięciocyfrowych, które można zapisać za pomocą cyfr 1, 2, 3, w których zapisie\ncyfra 1 występuje w dokładnie trzy razy, przy czym na pierwszym miejscu jest cyfra 2.\n3. (rozumowanie analogiczne jak w p. 2.). Jeżeli na pierwszym miejscu jest cyfra 3, to\nmiejsce dla trzech jedynek wybieramy na ( )\n9\n3 sposobów, na pozostałych sześciu miejscach\nrozmieszczamy cyfrę 2 lub cyfrę 3 w dowolnym porządku na\n6\n2 sposobów.\nStosujemy regułę mnożenia i otrzymujemy\n( )\n6\n9\n3\n1\n2\n84 64\n5376\n⋅\n⋅\n⋅\nliczb dziesięciocyfrowych, które można zapisać za pomocą cyfr 1, 2, 3, w zapisie których\ncyfra 1 występuje w dokładnie trzy razy, przy czym na pierwszym miejscu jest cyfra 3.\nSumujemy liczby powstałe w każdym z trzech przypadków i otrzymujemy:\n4608\n2 5376\n15360\n+ ⋅\nliczb dziesięciocyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3, w zapisie których\ncyfra 1 występuje dokładnie trzy razy.\nIII sposób\nRozpatrzymy osiem rozłącznych przypadków, wyczerpujących wszystkie możliwości zapisu\nliczby dziesięciocyfrowej za pomocą cyfr 1, 2, 3, w których zapisie cyfra 1 występuje\ndokładnie trzy razy:\n1. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki i 7 trójek, wtedy takich liczb jest 10!\n120\n3! 7! =\n⋅\n,\n2. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki, 1 dwójka i 6 trójek, wtedy takich liczb jest\n10!\n840\n3! 6! =\n⋅\n,\n3. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki, 2 dwójki i 5 trójek, wtedy takich liczb jest\n10!\n2520\n3! 2! 5! =\n⋅\n⋅\n,\n4. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki, 3 dwójki i 4 trójki, wtedy takich liczb jest\n10!\n4200\n3! 3! 4! =\n⋅\n⋅\n,\n5. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki, 4 dwójki i 3 trójki, wtedy takich liczb jest\n10!\n4200\n3! 4! 3! =\n⋅\n⋅\n,\n6. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki, 5 dwójek i 2 trójki, wtedy takich liczb jest\n10!\n2520\n3! 5! 2! =\n⋅\n⋅\n,\n7. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki, 6 dwójek i 1 trójka, wtedy takich liczb jest\n10!\n840\n3! 6! =\n⋅\n,\n8. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki i 7 dwójek, wtedy takich liczb jest 10!\n120\n3! 7! =\n⋅\nSumujemy liczby otrzymane w każdym przypadku i otrzymujemy:\n(\n)\n2 120 840 2520 4200\n2 7680 15360\n⋅\n= ⋅\nróżnych liczb dziesięciocyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2 , 3, w zapisie\nktórych cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nZdający zapisze, że:\n• miejsce dla cyfry 1 można wybrać na ( )\n10\n3\nsposobów\nalbo\n• miejsca dla cyfr 2 lub 3 można wybrać na ( )\n10\n7 sposobów,\nalbo\n• cyfry 2 lub 3 można rozmieścić na\n7\n2 sposobów,\nalbo\n• jeżeli cyfra 1 jest na ustalonym (np. pierwszym) miejscu, to pozostałe dwie cyfry 1\nmożna rozmieścić na ( )\n9\n2 sposobów,\nalbo\n• jeżeli na ustalonym miejscu stoi jedna z cyfr 2 lub 3, to trzy cyfry 1 można rozmieścić\nna ( )\n9\n3 sposobów,\nalbo\n• jeżeli cyfry 1 stoją na ustalonych trzech miejscach, to jeśli w liczbie występuje n cyfr\n2, to cyfry 2 i 3 można rozmieścić na ( )\n7\nn sposobów dla przynajmniej jednej\nkonkretnej liczby n,\nalbo\n• jest 8 rozłącznych przypadków wyczerpujących wszystkie możliwości zapisu liczby\ndziesięciocyfrowej za pomocą cyfr 1, 2, 3, w których zapisie cyfra 1 występuje\ndokładnie trzy razy\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający\n• zapisze, że liczba rozpatrywanych liczb dziesięciocyfrowych jest równa np. ( )\n7\n10\n3\n2\n⋅\nalbo\n• zapisze, ile jest liczb w każdym z rozpatrywanych przypadków wyczerpujących\nwszystkie możliwości zapisu liczby dziesięciocyfrowej za pomocą cyfr 1, 2, 3,\nw których zapisie cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy,\nalbo\n• zapisze osiem rozłącznych przypadków wyczerpujących wszystkie możliwości zapisu\nliczby dziesięciocyfrowej za pomocą cyfr 1, 2, 3, w których zapisie cyfra 1 występuje\ndokładnie trzy razy oraz w przynajmniej jednym przypadku zapisze liczbę takich\nliczb, np. ( )\n10\n3\n1⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający\n• zapisze, że jest ( )\n7\n10\n3\n2\n15360\n⋅\nliczb dziesięciocyfrowych zapisanych wyłącznie za\npomocą cyfr 1, 2, 3, w zapisie których cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy\nalbo\n• zsumuje liczby otrzymane w każdym z rozpatrywanych przypadków wyczerpujących\nwszystkie możliwości zapisu liczby dziesięciocyfrowej za pomocą cyfr 1, 2, 3,\nw których zapisie cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy i zapisze, że jest ich 15360.\nUwagi:\n1. Rozwiązanie uznajemy za pełne, jeżeli zdający zapisze liczbę rozpatrywanych liczb\ndziesięciocyfrowych bez użycia symbolu Newtona.\n2. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu przedstawia zapisy, dla których brak bezpośredniej\ninterpretacji kombinatorycznej i zapisom tym nie towarzyszą stosowne objaśnienia, to nie\nmoże otrzymać maksymalnej liczby punktów, przy czym za rozwiązanie, zawierające\njedynie zapisy pojedynczych liczb lub symboli Newtona (typu 120, 128, ( )\n10\n7\n), bez\nstosownych objaśnień, zdający otrzymuje 0 punktów, a za rozwiązanie, zawierające\njedynie zapisy działań na liczbach (typu 120 128\n15 360\n⋅\n), bez stosownych objaśnień\nzdający może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający przedstawia rozwiązanie, w którym części zapisanych liczb lub działań na\nliczbach nie towarzyszą stosowne objaśnienia, to za takie rozwiązanie może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty.\n4. Zdający może skorzystać ze wzoru dwumianowego Newtona i zapisać:\n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )\n{\n} ( )\n7\n10\n7\n7\n7\n7\n7\n7\n7\n7\n10\n7\n5\n3\n6\n4\n3\n2\n1\n0\n3\n2\n120 128\n15360\n⋅\n⋅\n⋅","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-14.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14. (0-3)
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą
występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy.
Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.

\n

MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
14.
Maks. liczba pkt
3
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15360.

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-3)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa
\n

i kombinatoryka. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę
permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do
zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach
kombinatorycznych (R10.1).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Miejsce dla cyfry 1 wybieramy na ( )
10
3
sposobów. Na pozostałych siedmiu miejscach
rozmieszczamy cyfry 2 lub 3 w dowolnym porządku na
7
2 sposobów. Stosujemy regułę
mnożenia i otrzymujemy
( )
7
10
3
2
120 128
15360
⋅
⋅
różnych liczb dziesięciocyfrowych, które można zapisać za pomocą cyfr 1, 2, 3, w zapisie
których cyfra 1 występuje w dokładnie trzy razy.
II sposób
Rozpatrzymy trzy rozłączne przypadki, w zależności od tego, jaka cyfra została zapisana na
pierwszym miejscu.

\n
  1. Jeżeli na pierwszym miejscu jest cyfra 1, to miejsce dla pozostałych dwóch jedynek
\n

wybieramy na ( )
9
2 sposobów, na pozostałych siedmiu miejscach rozmieszczamy cyfrę 2 lub
cyfrę 3 w dowolnym porządku na
7
2 sposobów. Stosujemy regułę mnożenia i otrzymujemy
( )
7
9
2
1
2
36 128
4608
⋅
⋅
⋅
liczb dziesięciocyfrowych, które można zapisać za pomocą cyfr 1, 2, 3, w których zapisie
cyfra 1 występuje w dokładnie trzy razy, przy czym na pierwszym miejscu jest cyfra 1.

\n
  1. jeżeli na pierwszym miejscu jest cyfra 2, to miejsce dla trzech jedynek wybieramy na ( )
\n

9
3
sposobów, na pozostałych sześciu miejscach rozmieszczamy cyfrę 2 lub cyfrę 3 w dowolnym
porządku na
6
2 sposobów. Stosujemy regułę mnożenia i otrzymujemy
( )
6
9
3
1
2
84 64
5376
⋅
⋅
⋅
liczb dziesięciocyfrowych, które można zapisać za pomocą cyfr 1, 2, 3, w których zapisie
cyfra 1 występuje w dokładnie trzy razy, przy czym na pierwszym miejscu jest cyfra 2.

\n
  1. (rozumowanie analogiczne jak w p. 2.). Jeżeli na pierwszym miejscu jest cyfra 3, to
\n

miejsce dla trzech jedynek wybieramy na ( )
9
3 sposobów, na pozostałych sześciu miejscach
rozmieszczamy cyfrę 2 lub cyfrę 3 w dowolnym porządku na
6
2 sposobów.
Stosujemy regułę mnożenia i otrzymujemy
( )
6
9
3
1
2
84 64
5376
⋅
⋅
⋅
liczb dziesięciocyfrowych, które można zapisać za pomocą cyfr 1, 2, 3, w zapisie których
cyfra 1 występuje w dokładnie trzy razy, przy czym na pierwszym miejscu jest cyfra 3.
Sumujemy liczby powstałe w każdym z trzech przypadków i otrzymujemy:
4608
2 5376
15360

\n\n

liczb dziesięciocyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3, w zapisie których
cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy.
III sposób
Rozpatrzymy osiem rozłącznych przypadków, wyczerpujących wszystkie możliwości zapisu
liczby dziesięciocyfrowej za pomocą cyfr 1, 2, 3, w których zapisie cyfra 1 występuje
dokładnie trzy razy:

\n
  1. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki i 7 trójek, wtedy takich liczb jest 10!
\n

120
3! 7! =
⋅
,

\n
  1. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki, 1 dwójka i 6 trójek, wtedy takich liczb jest
\n

10!
840
3! 6! =
⋅
,

\n
  1. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki, 2 dwójki i 5 trójek, wtedy takich liczb jest
\n

10!
2520
3! 2! 5! =
⋅
⋅
,

\n
  1. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki, 3 dwójki i 4 trójki, wtedy takich liczb jest
\n

10!
4200
3! 3! 4! =
⋅
⋅
,

\n
  1. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki, 4 dwójki i 3 trójki, wtedy takich liczb jest
\n

10!
4200
3! 4! 3! =
⋅
⋅
,

\n
  1. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki, 5 dwójek i 2 trójki, wtedy takich liczb jest
\n

10!
2520
3! 5! 2! =
⋅
⋅
,

\n
  1. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki, 6 dwójek i 1 trójka, wtedy takich liczb jest
\n

10!
840
3! 6! =
⋅
,

\n
  1. w zapisie tej liczby występują 3 jedynki i 7 dwójek, wtedy takich liczb jest 10!
\n

120
3! 7! =
⋅
Sumujemy liczby otrzymane w każdym przypadku i otrzymujemy:
(
)
2 120 840 2520 4200
2 7680 15360
⋅
= ⋅
różnych liczb dziesięciocyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2 , 3, w zapisie
których cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy.
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.
Zdający zapisze, że:
• miejsce dla cyfry 1 można wybrać na ( )
10
3
sposobów
albo
• miejsca dla cyfr 2 lub 3 można wybrać na ( )
10
7 sposobów,
albo
• cyfry 2 lub 3 można rozmieścić na
7
2 sposobów,
albo
• jeżeli cyfra 1 jest na ustalonym (np. pierwszym) miejscu, to pozostałe dwie cyfry 1
można rozmieścić na ( )
9
2 sposobów,
albo
• jeżeli na ustalonym miejscu stoi jedna z cyfr 2 lub 3, to trzy cyfry 1 można rozmieścić
na ( )
9
3 sposobów,
albo
• jeżeli cyfry 1 stoją na ustalonych trzech miejscach, to jeśli w liczbie występuje n cyfr
2, to cyfry 2 i 3 można rozmieścić na ( )
7
n sposobów dla przynajmniej jednej
konkretnej liczby n,
albo
• jest 8 rozłącznych przypadków wyczerpujących wszystkie możliwości zapisu liczby
dziesięciocyfrowej za pomocą cyfr 1, 2, 3, w których zapisie cyfra 1 występuje
dokładnie trzy razy
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Zdający
• zapisze, że liczba rozpatrywanych liczb dziesięciocyfrowych jest równa np. ( )
7
10
3
2
⋅
albo
• zapisze, ile jest liczb w każdym z rozpatrywanych przypadków wyczerpujących
wszystkie możliwości zapisu liczby dziesięciocyfrowej za pomocą cyfr 1, 2, 3,
w których zapisie cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy,
albo
• zapisze osiem rozłącznych przypadków wyczerpujących wszystkie możliwości zapisu
liczby dziesięciocyfrowej za pomocą cyfr 1, 2, 3, w których zapisie cyfra 1 występuje
dokładnie trzy razy oraz w przynajmniej jednym przypadku zapisze liczbę takich
liczb, np. ( )
10
3
1⋅
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 3 p.
Zdający
• zapisze, że jest ( )
7
10
3
2
15360
⋅
liczb dziesięciocyfrowych zapisanych wyłącznie za
pomocą cyfr 1, 2, 3, w zapisie których cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy
albo
• zsumuje liczby otrzymane w każdym z rozpatrywanych przypadków wyczerpujących
wszystkie możliwości zapisu liczby dziesięciocyfrowej za pomocą cyfr 1, 2, 3,
w których zapisie cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy i zapisze, że jest ich 15360.
Uwagi:

\n
  1. Rozwiązanie uznajemy za pełne, jeżeli zdający zapisze liczbę rozpatrywanych liczb
\n

dziesięciocyfrowych bez użycia symbolu Newtona.

\n
  1. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu przedstawia zapisy, dla których brak bezpośredniej
\n

interpretacji kombinatorycznej i zapisom tym nie towarzyszą stosowne objaśnienia, to nie
może otrzymać maksymalnej liczby punktów, przy czym za rozwiązanie, zawierające
jedynie zapisy pojedynczych liczb lub symboli Newtona (typu 120, 128, ( )
10
7
), bez
stosownych objaśnień, zdający otrzymuje 0 punktów, a za rozwiązanie, zawierające
jedynie zapisy działań na liczbach (typu 120 128
15 360
⋅
), bez stosownych objaśnień
zdający może otrzymać co najwyżej 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający przedstawia rozwiązanie, w którym części zapisanych liczb lub działań na
\n

liczbach nie towarzyszą stosowne objaśnienia, to za takie rozwiązanie może otrzymać co
najwyżej 2 punkty.

\n
  1. Zdający może skorzystać ze wzoru dwumianowego Newtona i zapisać:
\n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{
} ( )
7
10
7
7
7
7
7
7
7
7
10
7
5
3
6
4
3
2
1
0
3
2
120 128
15360
⋅
⋅
⋅

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-14.svg"}]}