Zadanie 15. (0-6)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5,
a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego
ostrosłupa.
MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
15.
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt
MMA_1R
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 15. (0-6)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
i ostrosłupach kąty między ścianami, stosuje trygonometrię do
obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni
i objętości (9.4, 9.6).
Przykładowe rozwiązanie
Strategię rozwiązania zadania można zrealizować na wiele sposobów. Każdy z nich różni się
zestawem i kolejnością zastosowanych związków między odcinkami w ostrosłupie.
Przyjmijmy następujące oznaczenia jak na rysunku.
Wtedy
2
2
a
OB =
,
2
a
OE =
,
60
BFO =
°
Ponieważ trójkąt BFO jest prostokątny, stąd
sin 60
BO
BF =
°. Zatem
2
2
2
6
2
sin 60
2
3
3
3
2
a
BO
a
a
BF =
⋅
°
Trójkąty SEC i BFC są podobne, stąd SE
BF
SC
BC
, czyli
6
3
a
l
b
a
. Zatem
6
3
b
l =
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach prostokątnych EOS i BOS, skąd
otrzymujemy układ równań:
2
2
2
2
2
2
6
2
3
2
2
a
b
H
a
H
b
=
A
S
C
D
F
a
B
O
H
b
l
E
α
2
2
2
2
6
25
2
3
2
25
2
a
b
a
b
=
2
2
2
2
2
25
4
3
25
2
a
b
a
b
2
2
2
2
300
3
8
50
2
a
b
a
b
2
2
75
100
b
a
5 3
10
b
a
=
=
Stąd pole P podstawy ABCD ostrosłupa jest równe
2
100
P
a
, więc objętość ostrosłupa jest
równa:
1
500
100 5
3
3
V =
⋅
⋅=
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 p.
Zdający
zastosuje twierdzenie Pitagorasa w trójkącie SOC
albo
zastosuje twierdzenie Pitagorasa w trójkącie SOE,
albo
zastosuje twierdzenie cosinusów w trójkącie BFD,
albo
zapisze funkcję trygonometryczną kąta ostrego w trójkącie OBF,
albo
zapisze proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów SEC i BCF,
albo
zapisze proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów SOC i OFC
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Uwaga:
Jeżeli zdający zapisze związki, z których można obliczyć długość krawędzi podstawy lub
długość przekątnej podstawy ostrosłupa, ale pominie jedno równanie potrzebne do
zakończenia obliczeń, to otrzymuje 2 punkty.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 3 p.
Zdający zapisze układ równań, z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy lub
długość przekątnej podstawy ostrosłupa i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 p.
Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą oznaczającą wielkość, która pozwala obliczyć
pole podstawy ostrosłupa i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie prawie pełne 5 p.
Zdający
• obliczy długość krawędzi podstawy lub długość przekątnej podstawy ostrosłupa
albo
• obliczy długość krawędzi podstawy lub długość przekątnej podstawy ostrosłupa,
popełniając błędy rachunkowe i konsekwentnie do tego obliczy objętość ostrosłupa.
Rozwiązanie pełne 6 p.
Zdający obliczy objętość ostrosłupa:
500
3
V =
Uwagi:
ostrosłup, którego ściany boczne są trójkątami równobocznymi, to otrzymuje 0 punktów.
\nkorzystaniu z własności figur, w których ten kąt nie występuje, wykazuje się innymi
umiejętnościami matematycznymi, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt.
sin60
BFO =
°
z tablic i wykona obliczenia na
przybliżeniach, to otrzymuje co najwyżej 5 punktów.