{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"16","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (0-7)\nParabola o równaniu\n2\n1\n2\n2\ny\nx\nprzecina oś Ox układu współrzędnych w punktach\n(\n)\n2,0\nA = -\ni\n(\n)\n2,0\nB =\n. Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których\ndłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz\nrysunek).\n-2\n-1\n1\n2\n1\n2\nx\ny\n0\nA\nB\nC\nD\nWyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz\nwspółrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n16.\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nParabola o równaniu y = 2-{1\\o2}x^2 przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A=(-2,0) i B=(2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek). Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 16. (0-7)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n11. Rachunek różniczkowy. Zdający stosuje pochodne do\nrozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych (R11.6).\nPrzykładowe rozwiązanie\nNiech\n(\n)\n,\nC\nx y\nbędzie wierzchołkiem trapezu ABCD. Wówczas\n(\n)\n2\n1\n2\n,2\nC\nx\nx\n, gdzie\n0\n2\nx\n<\n<\n. Ponieważ\n4\nAB =\n,\n2\nCD\nx\n, a wysokość trapezu jest równa\n2\n1\n2\n2\nh\nx\n, więc\npole P tego trapezu określone jest wzorem\n( )\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n2\n3\n1\n1\n1\n1\n2\n2\n2\n2\n4\n2\n2\n2\n4\n8\n4\n2\n4\n2\n2\nx\nP x\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n⋅\n⋅\ndla każdej liczby rzeczywistej 0\n2\nx\n<\n<\nPochodna funkcji\n( )\n2\n3\n1\n2\n4\n2\nP x\nx\nx\nx\njest równa\n( )\n2\n3\n2\n2\n2\nP\nx\nx\nx\n′\ndla\n(\n)\n0,2\nx∈\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej i badamy jej znak.\nPonieważ\n( )\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)(\n)\n2\n2\n3\n3\n16\n3\n4\n4\n2\n2\n2\n3\n3\n2\n3\n9\n2\n3\n2\nP\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n′\noraz\n(\n)\n3\n2\n0\n2 x\n<\ndla każdego\n(\n)\n0,2\nx∈\n, więc:\n( )\n0\nP x\n′\nwtedy i tylko wtedy, gdy\n2\n3\nx =\n,\n( )\n0\nP x\n′\n>\nwtedy i tylko wtedy, gdy\n2\n3\n0\nx -\n<\ni\n(\n)\n0,2\nx∈\n, czyli dla\n(\n)\n2\n3\n0,\nx∈\n,\n( )\n0\nP x\n′\n<\nwtedy i tylko wtedy, gdy\n2\n3\n0\nx -\n>\ni\n(\n)\n0,2\nx∈\n, czyli dla\n(\n)\n2\n3 ,2\nx∈\nZatem w przedziale (\n2\n3\n0,\nfunkcja P jest rosnąca, w przedziale\n)\n2\n3 ,2 jest malejąca,\na w punkcie\n2\n3\nx =\nosiąga maksimum. Jeżeli\n2\n3\nx =\n, to\n( )\n(\n) (\n)\n2\n16\n2\n1\n2\n2\n3\n2\n3\n3\n9\n,2\n,\nC =\n⋅\nUwaga:\nZdający może zauważyć, że z nierówności dla średniej arytmetycznej i średniej\ngeometrycznej wynika, że dla\n(\n)\n0,2\nx∈\niloczyn\n(\n)(\n)\n(\n)(\n)(\n)\n(\n)(\n)(\n)\n2\n2\n2\n2\n4\n2\n2\n2\n4\n1\n1\n2\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nprzyjmuje największą wartość równą\n( )\n3\n3\n4\n3\n2\n2\n1\n1\n2\n4\n4\n3\nx\nx\nx\n\n=\n⋅\n\n\n\n\n, gdy 2\n1\n2\nx\nx\n, czyli dla\n2\n3\nx =\nTakie rozumowanie zastępuje drugi etap rozwiązania.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\n• Pierwszy etap składa się z trzech części:\na) zapisanie długości podstawy CD i wysokości trapezu ABCD w zależności od\nzmiennej x:\n2\nCD\nx\n,\n2\n1\n2\n2\nh\nx\n,\nb) zapisanie pola trapezu ABCD jako funkcji zmiennej x:\n( )\n(\n)\n2\n1\n2\n4\n2\n2\n2\nx\nP x\nx\n⋅\nlub\n( )\n2\n3\n1\n2\n4\n2\nP x\nx\nx\nx\n,\nc) określenie dziedziny funkcji P: (\n)\n0,2 .\nZa każdą część tego etapu zdający otrzymuje po 1 punkcie, przy czym, jeżeli zdający od razu\nzapisze poprawnie pole trapezu w zależności od jednej zmiennej, to otrzymuje punkt za część\na) i punkt za część b).\n• Drugi etap składa się z trzech części:\na) wyznaczenie pochodnej funkcji wielomianowej\n( )\n2\n3\n1\n2\n4\n2\nf x\nx\nx\nx\n:\n( )\n2\n3\n2\n2\n2\nf\nx\nx\nx\n′\n,\nb) obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji P:\n2\n3\nx =\nlub pochodnej funkcji f :\n2\nx = -,\n2\n3\nx =\n,\nc) zbadanie znaku pochodnej funkcji P i uzasadnienie, że dla\n2\n3\nx =\nfunkcja P osiąga\nwartość największą.\nUwaga:\nZnak pochodnej zdający może zaznaczyć w inny sposób, np. na rysunku szkicując krzywą\nzbliżoną do wykresu pochodnej.\n• Trzeci etap.\nObliczenie współrzędnych wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole\njest największe:\n(\n)\n16\n2\n3\n9\n,\nC =\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze pole trapezu P z pominięciem czynnika 1\n2 , we wzorze na pole\ntrapezu, lub z błędem rachunkowym, to może otrzymać co najwyżej 6 punktów.\n2. Jeżeli zdający zapisze pole trapezu P z błędem rzeczowym, innym niż opisany\nw uwadze 1., to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie, a jeżeli dodatkowo\nwyznaczy dziedzinę funkcji P, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający obliczy pochodną funkcji P z błędem rachunkowym i otrzyma jako P′\nfunkcję liniową albo funkcję kwadratową o ujemnym wyróżniku Δ lub o wyróżniku Δ\nrównym 0, to może otrzymać punkty jedynie za I etap rozwiązania.\n4. Jeżeli zdający poprawnie wyznaczy pochodną P′ i współrzędne punktu C, ale nie poda\npoprawnego uzasadnienia, dotyczącego istnienia największej wartości funkcji P dla\nobliczonych współrzędnych, to może otrzymać co najwyżej 5 punktów.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-16.svg","topics":"optymalizacja","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 16. (0-7)
Parabola o równaniu
2
1
2
2
y
x
przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach
(
)
2,0
A = -
i
(
)
2,0
B =
. Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których
dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz
rysunek).
-2
-1
1
2
1
2
x
y
0
A
B
C
D
Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz
współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

\n

MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
16.
Maks. liczba pkt
7
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
Parabola o równaniu y = 2-{1\\o2}x^2 przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A=(-2,0) i B=(2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek). Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

","answer_text_html":"

Zadanie 16. (0-7)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Rachunek różniczkowy. Zdający stosuje pochodne do
\n

rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych (R11.6).
Przykładowe rozwiązanie
Niech
(
)
,
C
x y
będzie wierzchołkiem trapezu ABCD. Wówczas
(
)
2
1
2
,2
C
x
x
, gdzie
0
2
x
<
<
. Ponieważ
4
AB =
,
2
CD
x
, a wysokość trapezu jest równa
2
1
2
2
h
x
, więc
pole P tego trapezu określone jest wzorem
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
3
2
3
1
1
1
1
2
2
2
2
4
2
2
2
4
8
4
2
4
2
2
x
P x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
⋅
⋅
dla każdej liczby rzeczywistej 0
2
x
<
<
Pochodna funkcji
( )
2
3
1
2
4
2
P x
x
x
x
jest równa
( )
2
3
2
2
2
P
x
x
x
′
dla
(
)
0,2
x∈
Obliczamy miejsca zerowe pochodnej i badamy jej znak.
Ponieważ
( )
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
2
2
3
3
16
3
4
4
2
2
2
3
3
2
3
9
2
3
2
P
x
x
x
x
x
x
′
oraz
(
)
3
2
0
2 x
<
dla każdego
(
)
0,2
x∈
, więc:
( )
0
P x
′
wtedy i tylko wtedy, gdy
2
3
x =
,
( )
0
P x
′

\n
\n

wtedy i tylko wtedy, gdy
2
3
0
x -
<
i
(
)
0,2
x∈
, czyli dla
(
)
2
3
0,
x∈
,
( )
0
P x
′
<
wtedy i tylko wtedy, gdy
2
3
0
x -

\n
\n

i
(
)
0,2
x∈
, czyli dla
(
)
2
3 ,2
x∈
Zatem w przedziale (
2
3
0,
funkcja P jest rosnąca, w przedziale
)
2
3 ,2 jest malejąca,
a w punkcie
2
3
x =
osiąga maksimum. Jeżeli
2
3
x =
, to
( )
(
) (
)
2
16
2
1
2
2
3
2
3
3
9
,2
,
C =
⋅
Uwaga:
Zdający może zauważyć, że z nierówności dla średniej arytmetycznej i średniej
geometrycznej wynika, że dla
(
)
0,2
x∈
iloczyn
(
)(
)
(
)(
)(
)
(
)(
)(
)
2
2
2
2
4
2
2
2
4
1
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
przyjmuje największą wartość równą
( )
3
3
4
3
2
2
1
1
2
4
4
3
x
x
x

=
⋅




, gdy 2
1
2
x
x
, czyli dla
2
3
x =
Takie rozumowanie zastępuje drugi etap rozwiązania.
Schemat punktowania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
• Pierwszy etap składa się z trzech części:
a) zapisanie długości podstawy CD i wysokości trapezu ABCD w zależności od
zmiennej x:
2
CD
x
,
2
1
2
2
h
x
,
b) zapisanie pola trapezu ABCD jako funkcji zmiennej x:
( )
(
)
2
1
2
4
2
2
2
x
P x
x
⋅
lub
( )
2
3
1
2
4
2
P x
x
x
x
,
c) określenie dziedziny funkcji P: (
)
0,2 .
Za każdą część tego etapu zdający otrzymuje po 1 punkcie, przy czym, jeżeli zdający od razu
zapisze poprawnie pole trapezu w zależności od jednej zmiennej, to otrzymuje punkt za część
a) i punkt za część b).
• Drugi etap składa się z trzech części:
a) wyznaczenie pochodnej funkcji wielomianowej
( )
2
3
1
2
4
2
f x
x
x
x
:
( )
2
3
2
2
2
f
x
x
x
′
,
b) obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji P:
2
3
x =
lub pochodnej funkcji f :
2
x = -,
2
3
x =
,
c) zbadanie znaku pochodnej funkcji P i uzasadnienie, że dla
2
3
x =
funkcja P osiąga
wartość największą.
Uwaga:
Znak pochodnej zdający może zaznaczyć w inny sposób, np. na rysunku szkicując krzywą
zbliżoną do wykresu pochodnej.
• Trzeci etap.
Obliczenie współrzędnych wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole
jest największe:
(
)
16
2
3
9
,
C =
Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze pole trapezu P z pominięciem czynnika 1
\n

2 , we wzorze na pole
trapezu, lub z błędem rachunkowym, to może otrzymać co najwyżej 6 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze pole trapezu P z błędem rzeczowym, innym niż opisany
\n

w uwadze 1., to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie, a jeżeli dodatkowo
wyznaczy dziedzinę funkcji P, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający obliczy pochodną funkcji P z błędem rachunkowym i otrzyma jako P′
\n

funkcję liniową albo funkcję kwadratową o ujemnym wyróżniku Δ lub o wyróżniku Δ
równym 0, to może otrzymać punkty jedynie za I etap rozwiązania.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie wyznaczy pochodną P′ i współrzędne punktu C, ale nie poda
\n

poprawnego uzasadnienia, dotyczącego istnienia największej wartości funkcji P dla
obliczonych współrzędnych, to może otrzymać co najwyżej 5 punktów.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-16.svg"}]}