{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-2)\nDany jest ciąg geometryczny (\n)\nna\nokreślony wzorem\n1\n2\n371\nn\nna\nx\n\n\n= \n\n\n\ndla\n1\nn ≥. Wszystkie\nwyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której\nnieskończony szereg\n1\n2\n3\na\na\na\njest zbieżny.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n6.\n7.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nDany jest ciąg geometryczny (a_n) określony wzorem a_n = (1 / 2x-371)^n dla n ≥ 1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a_1 + a_2 + a_3 + ... jest zbieżny.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza\nich sumy (R5.3).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPierwszym wyrazem ciągu (\n)\nna\njest\n1\n1\n2\n371\na\nx\n. Ilorazem tego ciągu jest\n1\n2\n371\nq\nx\nPonieważ wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie, więc szereg jest zbieżny, gdy\n1\n0\n1\n2\n371\nx\n<\n<\n. Zatem\n2\n371\n0\nx -\n>\ni 2\n371\n1\nx -\n> .\nStąd\n2\n372\nx >\n,\n186\nx >\nZatem szukaną liczbą całkowitą jest 187.\nII sposób\nPierwszym wyrazem ciągu (\n)\nna\njest\n1\n1\n2\n371\na\nx\n, ilorazem tego ciągu zaś jest\n1\n2\n371\nq\nx\n. Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy:\n1\n1\n2\n371\nx\n<\nRozwiązujemy powyższą nierówność:\n1\n1\n1\n2\n371\nx\n-<\n<\n,\n2\n370\n2\n372\n0\n0\n2\n371\n2\n371\nx\nx\nx\nx\n<\n∧\n<\n,\n(\n)(\n)\n(\n)(\n)\n185,5\n185\n185,5\n0\n186\n185,5\n0\nx\nx\nx\nx\nx\n≠\n∧\n>\n∧\n>\n,\n(\n)\n(\n)\n,185\n186,\nx∈-∞\n∪\n+ ∞.\nWszystkie wyrazy ciągu (\n)\nna\nsą dodatnie, więc\n(\n)\n186,\nx∈\n+ ∞. Zatem szukaną liczbą całkowitą\njest 187.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze\n1\n2\n371\nq\nx\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg jest zbieżny, tzn.\nliczbę 187, o ile wynik nie został uzyskany w wyniku błędnego rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający bez stosownych obliczeń i bez komentarza zapisuje, że szukaną liczbą jest 187\ni na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.","solution":"187","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"ciagi","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (0-2)
Dany jest ciąg geometryczny (
)
na
określony wzorem
1
2
371
n
na
x


= 



dla
1
n ≥. Wszystkie
wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której
nieskończony szereg
1
2
3
a
a
a
jest zbieżny.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
6.
7.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R
Dany jest ciąg geometryczny (a_n) określony wzorem a_n = (1 / 2x-371)^n dla n ≥ 1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a_1 + a_2 + a_3 + ... jest zbieżny.

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-2)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Ciągi. Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza
\n

ich sumy (R5.3).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Pierwszym wyrazem ciągu (
)
na
jest
1
1
2
371
a
x
. Ilorazem tego ciągu jest
1
2
371
q
x
Ponieważ wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie, więc szereg jest zbieżny, gdy
1
0
1
2
371
x
<
<
. Zatem
2
371
0
x -

\n
\n

i 2
371
1
x -

\n
.
\n

Stąd
2
372
x >
,
186
x >
Zatem szukaną liczbą całkowitą jest 187.
II sposób
Pierwszym wyrazem ciągu (
)
na
jest
1
1
2
371
a
x
, ilorazem tego ciągu zaś jest
1
2
371
q
x
. Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy:
1
1
2
371
x
<
Rozwiązujemy powyższą nierówność:
1
1
1
2
371
x
-<
<
,
2
370
2
372
0
0
2
371
2
371
x
x
x
x
<
∧
<
,
(
)(
)
(
)(
)
185,5
185
185,5
0
186
185,5
0
x
x
x
x
x
≠
∧

\n
\n

∧

\n
\n

,
(
)
(
)
,185
186,
x∈-∞
∪

\n\n

Wszystkie wyrazy ciągu (
)
na
są dodatnie, więc
(
)
186,
x∈

\n\n

jest 187.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze
1
2
371
q
x
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg jest zbieżny, tzn.
liczbę 187, o ile wynik nie został uzyskany w wyniku błędnego rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający bez stosownych obliczeń i bez komentarza zapisuje, że szukaną liczbą jest 187
i na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

187

"}]}