{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nWykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\n,\nprawdziwa jest nierówność\n2\nx\ny\n≤\n\nMMA_1R\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nWykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że x^2 + y^2 = 2, prawdziwa jest nierówność x + y ≤ 2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nPrzykładowe rozwiązanie\nI sposób\nDla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\nnierówność\n2\nx\ny\n≤\njest\nrównoważna kolejno nierównościom\n(\n)\n2\n4\nx\ny\n≤\n,\n2\n2\n2\n4\nx\nxy\ny\n≤\n,\n2\n2\n2\n2 2\nx\nxy\ny\n≤\n⋅,\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nx\ny\nxy\nx\ny\n≤\n,\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nx\ny\nxy\nx\ny\n≤\n,\n2\n2\n2\n0\nx\ny\nxy\n≥\n,\n(\n)\n2\n0\nx\ny\n≥\nTa ostatnia nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y. To kończy\ndowód.\nSchemat punktowania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy uzasadni, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\nnierówność\n2\nx\ny\n≤\njest równoważna nierówności\n2\n2\n2\n2 2\nx\nxy\ny\n≤\n⋅ i na tym poprzestanie lub dalej\npopełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy uzasadni, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\nnierówność\n2\nx\ny\n≤\njest równoważna nierówności\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nx\ny\nxy\nx\ny\n≤\ni na tym poprzestanie lub\ndalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego\nmnożenia na (\n)\n2\na\nb\n±\noraz\n2\n2\na\nb\n(2.1).\nPrzykładowe rozwiązanie\nII sposób\nNiech x i y będą dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że\n2\n2\n2\nx\ny\nObie strony nierówności\n2\nx\ny\n≤\nsą dodatnie, więc podnosząc obie strony nierówności do\nkwadratu otrzymujmy nierówność równoważną\n2\n2\n2\n4\nx\ny\nxy\n≤\nStąd otrzymujemy 2\n2\n4\nxy\n≤\n, więc\n1\nxy ≤.\nObie strony tej nierówności\n1\nxy ≤ są dodatnie, więc podnosząc obie strony nierówności do\nkwadratu otrzymujmy nierówność równoważną\n2\n2\n1\nx y ≤.\nZ założenia\n2\n2\n2\ny\nx\n. Wówczas nierówność\n2\n2\n1\nx y ≤ jest równoważna nierównościom\n(\n)\n2\n2\n2\n1\nx\nx\n≤,\n4\n2\n2\n1\nx\nx\n≤,\n4\n2\n2\n1\n0\nx\nx\n+ ≥\n,\n(\n)\n2\n2\n1\n0\nx -\n≥\nTa ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x. To kończy dowód.\nSchemat punktowania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy uzasadni, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\nnierówność\n2\nx\ny\n≤\njest równoważna nierówności\n1\nxy ≤ i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze nierówność z jedną niewiadomą, np. (\n)\n2\n2\n1\nx\nx\n≤ i na tym poprzestanie lub\ndalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nPrzykładowe rozwiązanie\nIII sposób\nNiech x i y będą dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że\n2\n2\n2\nx\ny\nWykorzystując nierówność między średnią arytmetyczną i średnią kwadratową, otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\nx\ny\nx\ny\n≤\nStąd i z równości\n2\n2\n2\nx\ny\nwynika, że\n2\n1\n2\n2\nx\ny\n≤\n= , czyli\n2\nx\ny\n≤\n. To kończy dowód.\nSchemat punktowania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze nierówność między średnią arytmetyczną i średnią kwadratową\n2\n2\n2\n2\nx\ny\nx\ny\n≤\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zapisze nierówność między średnią arytmetyczną i średnią kwadratową i na tej podstawie\nuzasadni prawdziwość nierówności\n2\nx\ny\n≤\nPrzykładowe rozwiązanie\nIV sposób\nDla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\nnierówność\n2\nx\ny\n≤\njest\nrównoważna kolejno nierównościom\n(\n)\n2\n4\nx\ny\n≤\n,\n2\n2\n2\n4\nx\nxy\ny\n≤\n,\n2\n2\n4\nxy\n≤\n,\n1\nxy ≤,\n2\n2\n1\nx y ≤.\nMożemy przyjąć, że\n2\n1\nx\np\noraz\n2\n1\ny\np\n, gdzie 1\n1\np\n-<\n< . Zatem nierówność\n2\n2\n1\nx y ≤\nprzyjmuje postać (\n)(\n)\n1\n1\n1\np\np\n≤, czyli\n2\n1\n1\np\n≤, co jest prawdą dla każdej liczby\nrzeczywistej p, więc, w szczególności, dla każdej liczby 1\n1\np\n-<\n< . To kończy dowód.\nSchemat punktowania IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy uzasadni, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\nnierówność\n2\nx\ny\n≤\njest równoważna nierówności\n1\nxy ≤ i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy uzasadni, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\nnierówność\n2\nx\ny\n≤\njest równoważna nierówności\n2\n2\n1\nx y ≤ oraz przyjmie, że\n2\n1\nx\np\noraz\n2\n1\ny\np\n,\ngdzie 1\n1\np\n-<\n< , i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nPrzykładowe rozwiązanie\nV sposób\nNiech x i y będą dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że\n2\n2\n2\nx\ny\nStąd\n2\n2\n2\n2\n2\nx\nxy\ny\nxy\n,\n(\n)\n2\n2\n2\nx\ny\nxy\n,\n2\n2\nx\ny\nxy\nDla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwa jest nierówność (\n)\n2\n0\nx\ny\n≥\n, a stąd\nkolejno\n2\n2\n2\n0\nx\nxy\ny\n≥\n,\n2\n2\n2xy\nx\ny\n≤\nZatem dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistymi x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\nprawdziwa\njest nierówność\n2\n2\nxy ≤\n,\n1\nxy ≤.\nStąd wynika, że\n2\n2\n2\n2 1\n4\n2\nx\ny\nxy\n≤\n+ ⋅=\nTo kończy dowód.\nSchemat punktowania V sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• uzasadni, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\nnierówność\n2\nx\ny\n≤\nrównoważna nierówności\n1\nxy ≤\nalbo\n• zapisze, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\nsuma liczb x i y\njest równa\n2\n2\nx\ny\nxy\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy uzasadni, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że\n2\n2\n2\nx\ny\nnierówność\n2\nx\ny\n≤\nrównoważna nierówności\n1\nxy ≤ oraz zapisze sumę liczb x i y w postaci\n2\n2\nx\ny\nxy\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nPrzykładowe rozwiązanie\nVI sposób\nNiech x i y będą dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że\n2\n2\n2\nx\ny\n. To\noznacza, że każda para liczb (\n)\n,x y spełniająca to równanie stanowi współrzędne punktu\nleżącego w I ćwiartce układu współrzędnych na okręgu o środku\n(\n)\n0,0\nS =\ni promieniu\n2\nr =\n. Punkt\n(\n)\n1,1\nA =\nleży na tym okręgu, więc prosta o równaniu y\nx\nzawiera średnicę\ntego okręgu. Oznacza to, że prosta prostopadła do niej i przechodząca przez punkt A jest\nstyczna do okręgu. Ma ona równanie\n(\n)\n1\n1\ny\nx\n+ , czyli\n2\nx\ny\n. Ta prosta wyznacza\ndwie półpłaszczyzny, z których jedna opisana jest nierównością\n2\nx\ny\n≤\n. Środek S okręgu\nleży w tej półpłaszczyźnie, gdyż 0\n0\n0\n2\n<\n. Stąd wynika, że w tej półpłaszczyźnie leżą też\nwszystkie punkty okręgu.\n1\n2\n1\n2\nx\ny\n0\nTo kończy dowód.\nSchemat punktowania VI sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze, że wszystkie punkty\n(\n)\n,\nP\nx y\n, których współrzędne spełniają równanie\n2\n2\n2\nx\ny\n, leżą na okręgu o środku\n(\n)\n0,0\nS =\ni promieniu\n2\nr =\ni na tym zakończy lub\ndalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze, że wszystkie punkty\n(\n)\n,\nP\nx y\n, których współrzędne spełniają równanie\n2\n2\n2\nx\ny\n, leżą na okręgu o środku\n(\n)\n0,0\nS =\ni promieniu\n2\nr =\noraz że każdy punkt\nokręgu leży w półpłaszczyźnie opisanej nierównością\n2\nx\ny\n≤\n, ale nie stwierdzi, że krawędź\ntej półpłaszczyzny jest styczna do okręgu i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zapisze, że wszystkie punkty\n(\n)\n,\nP\nx y\n, których współrzędne spełniają równanie\n2\n2\n2\nx\ny\n, leżą na okręgu o środku\n(\n)\n0,0\nS =\ni promieniu\n2\nr =\noraz że każdy punkt\nokręgu leży w półpłaszczyźnie opisanej nierównością\n2\nx\ny\n≤\n, a także stwierdzi, że prosta\no równaniu\n2\nx\ny\njest styczna do tego okręgu.\nPrzykładowe rozwiązanie\nVII sposób\nNiech x i y będą dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że\n2\n2\n2\nx\ny\n. Stąd\notrzymujemy\n2\n2\n2\ny\nx\n, więc\n2\n2\ny\nx\ndla 0\n2\nx\n<\n<\n, gdyż\n0\ny >\n. Wówczas\nnierówność\n2\nx\ny\n≤\njest równoważna nierówności\n2\n2\n2\nx\nx\n≤\n,\n2\n2\n2\nx\nx\n≤\nObie strony tej nierówności są dodatnie, gdyż 0\n2\nx\n<\n<\n, więc, podnosząc obie strony\nnierówności do kwadratu, otrzymujmy nierówność równoważną\n2\n2\n2\n4\n4\nx\nx\nx\n≤\n,\n2\n2\n4\n2\n0\nx\nx\n≥\n,\n2\n2\n1\n0\nx\nx\n+ ≥\n,\n(\n)\n2\n1\n0\nx -\n≥\n,\nktóra jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x. To kończy dowód.\nSchemat punktowania VII sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wyznaczy z równości\n2\n2\n2\nx\ny\njedną z liczb w zależności od drugiej:\n2\n2\ny\nx\ndla\n0\n2\nx\n<\n<\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze nierówność z jedną niewiadomą, np.\n2\n2\n2\n2\nx\nx\n≤\ni na tym poprzestanie lub\ndalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nPrzykładowe rozwiązanie\nVIII sposób\nNiech x i y będą dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że\n2\n2\n2\nx\ny\n. Stąd\notrzymujemy\n2\n2\ny\nx\ndla 0\n2\nx\n<\n<\n, gdyż\n0\ny >\n. Do obu stron równania\n2\n2\n2\nx\ny\ndodajemy 2xy , otrzymując\n2\n2\n2\n2\n2\nx\ny\nxy\nxy\n,\n(\n)\n2\n2\n2\nx\ny\nxy\nStąd\n2\n2\n4\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2 2\nx\ny\nxy\nx\nx\nx\nx\nRozważmy funkcję f określoną dla\n0\n2\nx\n<\n<\nwzorem\n( )\n2\n4\n2\n2 2\nf x\nx\nx\nWyznaczymy największą wartość tej funkcji. Ponieważ funkcja\n2\n2\ny\nt\njest rosnąca,\nwięc funkcja f osiąga największą wartość wtedy i tylko wtedy, gdy największą wartość osiąga\nfunkcja g określona dla 0\n2\nx\n<\n<\nwzorem\n( )\n2\n4\n2\ng x\nx\nx\n. Obliczamy pochodną tej\nfunkcji\n( )\n3\n4\n4\ng\nx\nx\nx\n′\ndla 0\n2\nx\n<\n<\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej i badamy jej znak.\nPonieważ\n( )\n(\n)(\n)\n4\n1\n1\ng\nx\nx\nx\nx\n′\noraz\n(\n)\n4\n1\n0\nx\nx\n>\ndla każdego 0\n2\nx\n<\n<\n, więc:\n( )\n0\ng\nx\n′\nwtedy i tylko wtedy, gdy 1\n0\nx\n, czyli\n1\nx = ,\n( )\n0\ng\nx\n′\n>\nwtedy i tylko wtedy, gdy 1\n0\nx\n>\ni 0\n2\nx\n<\n<\n, czyli gdy 0\n1\nx\n<\n< ,\n( )\n0\ng\nx\n′\n<\nwtedy i tylko wtedy, gdy 1\n0\nx\n<\ni 0\n2\nx\n<\n<\n, czyli gdy 1\n2\nx\n<\n<\nZatem w przedziale (0,1 funkcja g jest rosnąca, w przedziale\n)\n1,\n2 jest malejąca,\na w punkcie\n1\nx = przyjmuje maksimum lokalne, które jest jednocześnie największą\nwartością tej funkcji.\nGdy\n1\nx = , to\n( )\n2\n4\n1\n2\n2 2 1\n1\n4\nf\n⋅\nZatem\n4\n2\nx\ny\n≤\n,\nco kończy dowód.\nSchemat punktowania VIII sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wyznaczy sumę liczb x i y w zależności od jednej zmiennej, np.\n2\n2\n2\n2\nx\ny\nx\nx\ndla 0\n2\nx\n<\n<\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy miejsca zerowe pochodnej i zbada jej znak, np.:\n( )\n0\ng\nx\n′\ndla\n1\nx = ,\n( )\n0\ng\nx\n′\n>\ndla 0\n1\nx\n<\n< ,\n( )\n0\ng\nx\n′\n<\ndla 1\n2\nx\n<\n<\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający jako jedyne uzasadnienie prawdziwości nierówności przywołuje\n„nierówność Cauchy’ego” i nie zapisuje tej nierówności ani żadnych wniosków płynących\nz zastosowania tej nierówności, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający, oprócz powołania się na nazwisko Cauchy, zapisze odpowiednią\nnierówność Cauchy’ego, to przedstawione rozwiązanie jest oceniane tak, jak to przewiduje\nschemat.\n3. Jeżeli zdający nie zapisze koniecznego założenia o możliwych wartościach x przy\nwyznaczaniu y w zależności od x, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty.","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"algebra","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (0-3)
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że
2
2
2
x
y
,
prawdziwa jest nierówność
2
x
y
≤

\n

MMA_1R
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
8.
Maks. liczba pkt
3
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że x^2 + y^2 = 2, prawdziwa jest nierówność x + y ≤ 2.

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-3)
Przykładowe rozwiązanie
I sposób
Dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że
2
2
2
x
y
nierówność
2
x
y
≤
jest
równoważna kolejno nierównościom
(
)
2
4
x
y
≤
,
2
2
2
4
x
xy
y
≤
,
2
2
2
2 2
x
xy
y
≤
⋅,
(
)
2
2
2
2
2
2
x
y
xy
x
y
≤
,
2
2
2
2
2
2
2
x
y
xy
x
y
≤
,
2
2
2
0
x
y
xy
≥
,
(
)
2
0
x
y
≥
Ta ostatnia nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y. To kończy
dowód.
Schemat punktowania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy uzasadni, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że
2
2
2
x
y
nierówność
2
x
y
≤
jest równoważna nierówności
2
2
2
2 2
x
xy
y
≤
⋅ i na tym poprzestanie lub dalej
popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy uzasadni, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że
2
2
2
x
y
nierówność
2
x
y
≤
jest równoważna nierówności
(
)
2
2
2
2
2
2
x
y
xy
x
y
≤
i na tym poprzestanie lub
dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
V. Rozumowanie
i argumentacja.

\n
  1. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów skróconego
\n

mnożenia na (
)
2
a
b
±
oraz
2
2
a
b
(2.1).
Przykładowe rozwiązanie
II sposób
Niech x i y będą dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że
2
2
2
x
y
Obie strony nierówności
2
x
y
≤
są dodatnie, więc podnosząc obie strony nierówności do
kwadratu otrzymujmy nierówność równoważną
2
2
2
4
x
y
xy
≤
Stąd otrzymujemy 2
2
4
xy
≤
, więc
1
xy ≤.
Obie strony tej nierówności
1
xy ≤ są dodatnie, więc podnosząc obie strony nierówności do
kwadratu otrzymujmy nierówność równoważną
2
2
1
x y ≤.
Z założenia
2
2
2
y
x
. Wówczas nierówność
2
2
1
x y ≤ jest równoważna nierównościom
(
)
2
2
2
1
x
x
≤,
4
2
2
1
x
x
≤,
4
2
2
1
0
x
x

\n\n

,
(
)
2
2
1
0
x -
≥
Ta ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x. To kończy dowód.
Schemat punktowania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy uzasadni, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że
2
2
2
x
y
nierówność
2
x
y
≤
jest równoważna nierówności
1
xy ≤ i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze nierówność z jedną niewiadomą, np. (
)
2
2
1
x
x
≤ i na tym poprzestanie lub
dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Przykładowe rozwiązanie
III sposób
Niech x i y będą dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że
2
2
2
x
y
Wykorzystując nierówność między średnią arytmetyczną i średnią kwadratową, otrzymujemy
2
2
2
2
x
y
x
y
≤
Stąd i z równości
2
2
2
x
y
wynika, że
2
1
2
2
x
y
≤
= , czyli
2
x
y
≤
. To kończy dowód.
Schemat punktowania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze nierówność między średnią arytmetyczną i średnią kwadratową
2
2
2
2
x
y
x
y
≤
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy zapisze nierówność między średnią arytmetyczną i średnią kwadratową i na tej podstawie
uzasadni prawdziwość nierówności
2
x
y
≤
Przykładowe rozwiązanie
IV sposób
Dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że
2
2
2
x
y
nierówność
2
x
y
≤
jest
równoważna kolejno nierównościom
(
)
2
4
x
y
≤
,
2
2
2
4
x
xy
y
≤
,
2
2
4
xy
≤
,
1
xy ≤,
2
2
1
x y ≤.
Możemy przyjąć, że
2
1
x
p
oraz
2
1
y
p
, gdzie 1
1
p
-<
< . Zatem nierówność
2
2
1
x y ≤
przyjmuje postać (
)(
)
1
1
1
p
p
≤, czyli
2
1
1
p
≤, co jest prawdą dla każdej liczby
rzeczywistej p, więc, w szczególności, dla każdej liczby 1
1
p
-<
< . To kończy dowód.
Schemat punktowania IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy uzasadni, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że
2
2
2
x
y
nierówność
2
x
y
≤
jest równoważna nierówności
1
xy ≤ i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy uzasadni, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że
2
2
2
x
y
nierówność
2
x
y
≤
jest równoważna nierówności
2
2
1
x y ≤ oraz przyjmie, że
2
1
x
p
oraz
2
1
y
p
,
gdzie 1
1
p
-<
< , i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Przykładowe rozwiązanie
V sposób
Niech x i y będą dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że
2
2
2
x
y
Stąd
2
2
2
2
2
x
xy
y
xy
,
(
)
2
2
2
x
y
xy
,
2
2
x
y
xy
Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwa jest nierówność (
)
2
0
x
y
≥
, a stąd
kolejno
2
2
2
0
x
xy
y
≥
,
2
2
2xy
x
y
≤
Zatem dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistymi x i y takich, że
2
2
2
x
y
prawdziwa
jest nierówność
2
2
xy ≤
,
1
xy ≤.
Stąd wynika, że
2
2
2
2 1
4
2
x
y
xy
≤

\n\n

To kończy dowód.
Schemat punktowania V sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• uzasadni, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że
2
2
2
x
y
nierówność
2
x
y
≤
równoważna nierówności
1
xy ≤
albo
• zapisze, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że
2
2
2
x
y
suma liczb x i y
jest równa
2
2
x
y
xy
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy uzasadni, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że
2
2
2
x
y
nierówność
2
x
y
≤
równoważna nierówności
1
xy ≤ oraz zapisze sumę liczb x i y w postaci
2
2
x
y
xy
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Przykładowe rozwiązanie
VI sposób
Niech x i y będą dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że
2
2
2
x
y
. To
oznacza, że każda para liczb (
)
,x y spełniająca to równanie stanowi współrzędne punktu
leżącego w I ćwiartce układu współrzędnych na okręgu o środku
(
)
0,0
S =
i promieniu
2
r =
. Punkt
(
)
1,1
A =
leży na tym okręgu, więc prosta o równaniu y
x
zawiera średnicę
tego okręgu. Oznacza to, że prosta prostopadła do niej i przechodząca przez punkt A jest
styczna do okręgu. Ma ona równanie
(
)
1
1
y
x

\n\n

2
x
y
. Ta prosta wyznacza
dwie półpłaszczyzny, z których jedna opisana jest nierównością
2
x
y
≤
. Środek S okręgu
leży w tej półpłaszczyźnie, gdyż 0
0
0
2
<
. Stąd wynika, że w tej półpłaszczyźnie leżą też
wszystkie punkty okręgu.
1
2
1
2
x
y
0
To kończy dowód.
Schemat punktowania VI sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze, że wszystkie punkty
(
)
,
P
x y
, których współrzędne spełniają równanie
2
2
2
x
y
, leżą na okręgu o środku
(
)
0,0
S =
i promieniu
2
r =
i na tym zakończy lub
dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze, że wszystkie punkty
(
)
,
P
x y
, których współrzędne spełniają równanie
2
2
2
x
y
, leżą na okręgu o środku
(
)
0,0
S =
i promieniu
2
r =
oraz że każdy punkt
okręgu leży w półpłaszczyźnie opisanej nierównością
2
x
y
≤
, ale nie stwierdzi, że krawędź
tej półpłaszczyzny jest styczna do okręgu i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy zapisze, że wszystkie punkty
(
)
,
P
x y
, których współrzędne spełniają równanie
2
2
2
x
y
, leżą na okręgu o środku
(
)
0,0
S =
i promieniu
2
r =
oraz że każdy punkt
okręgu leży w półpłaszczyźnie opisanej nierównością
2
x
y
≤
, a także stwierdzi, że prosta
o równaniu
2
x
y
jest styczna do tego okręgu.
Przykładowe rozwiązanie
VII sposób
Niech x i y będą dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że
2
2
2
x
y
. Stąd
otrzymujemy
2
2
2
y
x
, więc
2
2
y
x
dla 0
2
x
<
<
, gdyż
0
y >
. Wówczas
nierówność
2
x
y
≤
jest równoważna nierówności
2
2
2
x
x
≤
,
2
2
2
x
x
≤
Obie strony tej nierówności są dodatnie, gdyż 0
2
x
<
<
, więc, podnosząc obie strony
nierówności do kwadratu, otrzymujmy nierówność równoważną
2
2
2
4
4
x
x
x
≤
,
2
2
4
2
0
x
x
≥
,
2
2
1
0
x
x

\n\n

,
(
)
2
1
0
x -
≥
,
która jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x. To kończy dowód.
Schemat punktowania VII sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy wyznaczy z równości
2
2
2
x
y
jedną z liczb w zależności od drugiej:
2
2
y
x
dla
0
2
x
<
<
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze nierówność z jedną niewiadomą, np.
2
2
2
2
x
x
≤
i na tym poprzestanie lub
dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Przykładowe rozwiązanie
VIII sposób
Niech x i y będą dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że
2
2
2
x
y
. Stąd
otrzymujemy
2
2
y
x
dla 0
2
x
<
<
, gdyż
0
y >
. Do obu stron równania
2
2
2
x
y
dodajemy 2xy , otrzymując
2
2
2
2
2
x
y
xy
xy
,
(
)
2
2
2
x
y
xy
Stąd
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2 2
x
y
xy
x
x
x
x
Rozważmy funkcję f określoną dla
0
2
x
<
<
wzorem
( )
2
4
2
2 2
f x
x
x
Wyznaczymy największą wartość tej funkcji. Ponieważ funkcja
2
2
y
t
jest rosnąca,
więc funkcja f osiąga największą wartość wtedy i tylko wtedy, gdy największą wartość osiąga
funkcja g określona dla 0
2
x
<
<
wzorem
( )
2
4
2
g x
x
x
. Obliczamy pochodną tej
funkcji
( )
3
4
4
g
x
x
x
′
dla 0
2
x
<
<
Obliczamy miejsca zerowe pochodnej i badamy jej znak.
Ponieważ
( )
(
)(
)
4
1
1
g
x
x
x
x
′
oraz
(
)
4
1
0
x
x

\n
\n

dla każdego 0
2
x
<
<
, więc:
( )
0
g
x
′
wtedy i tylko wtedy, gdy 1
0
x
, czyli
1
x = ,
( )
0
g
x
′

\n
\n

wtedy i tylko wtedy, gdy 1
0
x

\n
\n

i 0
2
x
<
<
, czyli gdy 0
1
x
<
< ,
( )
0
g
x
′
<
wtedy i tylko wtedy, gdy 1
0
x
<
i 0
2
x
<
<
, czyli gdy 1
2
x
<
<
Zatem w przedziale (0,1 funkcja g jest rosnąca, w przedziale
)
1,
2 jest malejąca,
a w punkcie
1
x = przyjmuje maksimum lokalne, które jest jednocześnie największą
wartością tej funkcji.
Gdy
1
x = , to
( )
2
4
1
2
2 2 1
1
4
f
⋅
Zatem
4
2
x
y
≤
,
co kończy dowód.
Schemat punktowania VIII sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy wyznaczy sumę liczb x i y w zależności od jednej zmiennej, np.
2
2
2
2
x
y
x
x
dla 0
2
x
<
<
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy miejsca zerowe pochodnej i zbada jej znak, np.:
( )
0
g
x
′
dla
1
x = ,
( )
0
g
x
′

\n
\n

dla 0
1
x
<
< ,
( )
0
g
x
′
<
dla 1
2
x
<
<
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający jako jedyne uzasadnienie prawdziwości nierówności przywołuje
\n

„nierówność Cauchy’ego” i nie zapisuje tej nierówności ani żadnych wniosków płynących
z zastosowania tej nierówności, to otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający, oprócz powołania się na nazwisko Cauchy, zapisze odpowiednią
\n

nierówność Cauchy’ego, to przedstawione rozwiązanie jest oceniane tak, jak to przewiduje
schemat.

\n
  1. Jeżeli zdający nie zapisze koniecznego założenia o możliwych wartościach x przy
\n

wyznaczaniu y w zależności od x, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg"}]}