{"id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-3)\nDany jest prostokąt ABCD. Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD\nw punkcie N. Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku AD w punkcie M, a środek S\ntego okręgu leży na odcinku MN, jak na rysunku.\nWykaż, że MN\nAD\nA\nB\nC\nD\nS\nM\nN\n\nMMA_1R\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nDany jest prostokąt ABCD. Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD w punkcie N. Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku AD w punkcie M, a środek S tego okręgu leży na odcinku MN, jak na rysunku. Wykaż, że |MN| = |AD|.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający rozpoznaje figury podobne i jednokładne;\nwykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) ich własności\n(R7.4).\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPoprowadźmy promienie SE i SF okręgu o środku S do punktów E i F styczności tego okręgu\nodpowiednio z przekątną BD i bokiem AB prostokąta. Niech G będzie rzutem punktu N na\nbok AB, jak na rysunku.\nWówczas SM\nSE\nSF\nMA\nNG\noraz DE\nBN\nTrójkąty DMS i DES są prostokątne, więc z twierdzenia Pitagorasa dla tych trójkątów\notrzymujemy\n2\n2\n2\n2\nDM\nDS\nSM\nDS\nSE\nDE\nOdcinek MN jest równoległy do AB, więc kąty GBN i ENS są równe. Trójkąty BGN i NES są\nprostokątne, więc kąty BNG i NSE także są równe. To z kolei wraz z równością\nSE\nNG\noznacza, że trójkąty BGN i NES są przystające. Zatem BN\nNS\nStąd\nMN\nMS\nSN\nMA\nBN\nMA\nDE\nMA\nDM\nAD\nTo kończy dowód.\nUwaga:\nRówność odcinków DM i DE wynika też bezpośrednio z twierdzenia o odcinkach stycznych.\nA\nB\nC\nD\nS\nM\nN\nE\nG\nF\nr\nr\nr\nr\nα\nα\nII sposób\nPoprowadźmy promienie SE i SF okręgu o środku S do punktów E i F styczności tego okręgu\nodpowiednio z przekątną BD i bokiem AB prostokąta. Połączmy punkty S oraz B, jak na\nrysunku.\nWówczas SM\nSE\nSF\nMA\noraz DE\nBN\nPonieważ MN\nr\nSN\noraz AD\nr\nDM\n, wystarczy wykazać, że DM\nSN\nZ przystawania trójkątów prostokątnych BFS i BES (wspólna przeciwprostokątna i równe\nprzyprostokątne SF\nSE\n) otrzymujemy\nEBS\nFBS\nα\n\n\nOdcinek MN jest równoległy do AB, zatem kąty FBS i NSB są równe, jako kąty\nnaprzemianległe, czyli kąty NSB i SBN także są równe. Wobec powyższego trójkąt BSN jest\nrównoramienny i BN\nNS\noraz BN\nDM\n, a stąd wynika równość DM\nSN\n. To\nkończy dowód.\nIII sposób\nPoprowadźmy promienie okręgu o środku S do punktów E i F styczności tego okręgu\nz bokami BD i AB trójkąta DAB. Niech r oznacza promień tego okręgu, x\nMD\n, y\nSN\ni z\nEN\nZ twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że ED\nMD\nx\n. Trójkąty DAB i CBD są\nprzystające, więc NB\nED\nx\n. Czworokąt AFSM jest kwadratem, więc MA\nAF\nr\nPonadto BF\nBE\nx\nz\nTrójkąty DAB i DMN są podobne (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy\nwierzchołku D). Zatem\nAD\nMD\nDB\nDN\n, czyli 2\nr\nx\nx\nx\nz\nx\nz\nA\nB\nC\nD\nS\nM\nN\nE\nF\nr\nr\nr\nx\nx\ny\nx\nz\nr\nr\nA\nB\nC\nD\nS\nM\nN\nE\nF\nr\nr\nr\nα\nα\nα\nStąd\n(\n)(\n)\n(\n)\n2\nr\nx\nx\nz\nx\nz x\n,\n2\n2\n2\nrx\nrz\nx\nxz\nx\nxz\n,\n(1)\n2x\nrx\nz\nr\nZ podobieństwa trójkątów MDN i ESN (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy\nwierzchołku N) wynika , że\nSE\nMD\nSN\nDN\n, czyli r\nx\ny\nx\nz\nStąd i z (1) otrzymujemy\n(\n)\n2\n2\nx\nrx\nr\nr x\nz\nrx\nr\nrx\nx\nrx\ny\nx\nx\nx\nx\n+ ⋅\nTo oznacza, że AD\nr\nx\nr\ny\nMN\n. To kończy dowód.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający\npoprowadzi odcinki SE i NG\nalbo\nzapisze równość DM\nDE\n,\nalbo\nzapisze równość DE\nBN\n,\nalbo\nzapisze równość SM\nSE\nMA\nNG\n,\nalbo\nzapisze, że trójkąty BFS i BES są przystające,\nalbo\nzapisze proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów DAB i DMN : AD\nMD\nDB\nDN\n,\nalbo\nzapisze proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów MDN i ESN : SE\nMD\nSN\nDN\n,\nalbo\nzauważy, że odcinek BS jest dwusieczną kąta ABD,\nalbo\n• zapisze, że trójkąt BNS jest równoramienny\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający\nzapisze, że trójkąty BGN i NES są przystające\nalbo\nzapisze, że trójkąt BSN jest równoramienny i BN\nDM\n,\nalbo\nzapisze proporcje: 2\nr\nx\nx\nx\nz\nx\nz\ni r\nx\ny\nx\nz\n,\nalbo\nzauważy, że MN\nr\nSN\ni EN\nAB\nAD\n,\nalbo\nzapisze proporcje:\n2\n2\nr\nx\nx\nr\ny\nr\ny\nx\nr\ni r\nx\nz\nr\ny\noraz zapisze równanie\nwynikające z twierdzenia Pitagorasa w jednym z trójkątów BGN i ENS\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający wykaże, że MN\nAD","solution":null,"image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (0-3)
Dany jest prostokąt ABCD. Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD
w punkcie N. Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku AD w punkcie M, a środek S
tego okręgu leży na odcinku MN, jak na rysunku.
Wykaż, że MN
AD
A
B
C
D
S
M
N

\n

MMA_1R
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
9.
Maks. liczba pkt
3
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R
Dany jest prostokąt ABCD. Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD w punkcie N. Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku AD w punkcie M, a środek S tego okręgu leży na odcinku MN, jak na rysunku. Wykaż, że |MN| = |AD|.

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-3)
V. Rozumowanie
i argumentacja.

\n
  1. Planimetria. Zdający rozpoznaje figury podobne i jednokładne;
\n

wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) ich własności
(R7.4).
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Poprowadźmy promienie SE i SF okręgu o środku S do punktów E i F styczności tego okręgu
odpowiednio z przekątną BD i bokiem AB prostokąta. Niech G będzie rzutem punktu N na
bok AB, jak na rysunku.
Wówczas SM
SE
SF
MA
NG
oraz DE
BN
Trójkąty DMS i DES są prostokątne, więc z twierdzenia Pitagorasa dla tych trójkątów
otrzymujemy
2
2
2
2
DM
DS
SM
DS
SE
DE
Odcinek MN jest równoległy do AB, więc kąty GBN i ENS są równe. Trójkąty BGN i NES są
prostokątne, więc kąty BNG i NSE także są równe. To z kolei wraz z równością
SE
NG
oznacza, że trójkąty BGN i NES są przystające. Zatem BN
NS
Stąd
MN
MS
SN
MA
BN
MA
DE
MA
DM
AD
To kończy dowód.
Uwaga:
Równość odcinków DM i DE wynika też bezpośrednio z twierdzenia o odcinkach stycznych.
A
B
C
D
S
M
N
E
G
F
r
r
r
r
α
α
II sposób
Poprowadźmy promienie SE i SF okręgu o środku S do punktów E i F styczności tego okręgu
odpowiednio z przekątną BD i bokiem AB prostokąta. Połączmy punkty S oraz B, jak na
rysunku.
Wówczas SM
SE
SF
MA
oraz DE
BN
Ponieważ MN
r
SN
oraz AD
r
DM
, wystarczy wykazać, że DM
SN
Z przystawania trójkątów prostokątnych BFS i BES (wspólna przeciwprostokątna i równe
przyprostokątne SF
SE
) otrzymujemy
EBS
FBS
α


Odcinek MN jest równoległy do AB, zatem kąty FBS i NSB są równe, jako kąty
naprzemianległe, czyli kąty NSB i SBN także są równe. Wobec powyższego trójkąt BSN jest
równoramienny i BN
NS
oraz BN
DM
, a stąd wynika równość DM
SN
. To
kończy dowód.
III sposób
Poprowadźmy promienie okręgu o środku S do punktów E i F styczności tego okręgu
z bokami BD i AB trójkąta DAB. Niech r oznacza promień tego okręgu, x
MD
, y
SN
i z
EN
Z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że ED
MD
x
. Trójkąty DAB i CBD są
przystające, więc NB
ED
x
. Czworokąt AFSM jest kwadratem, więc MA
AF
r
Ponadto BF
BE
x
z
Trójkąty DAB i DMN są podobne (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy
wierzchołku D). Zatem
AD
MD
DB
DN
, czyli 2
r
x
x
x
z
x
z
A
B
C
D
S
M
N
E
F
r
r
r
x
x
y
x
z
r
r
A
B
C
D
S
M
N
E
F
r
r
r
α
α
α
Stąd
(
)(
)
(
)
2
r
x
x
z
x
z x
,
2
2
2
rx
rz
x
xz
x
xz
,
(1)
2x
rx
z
r
Z podobieństwa trójkątów MDN i ESN (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy
wierzchołku N) wynika , że
SE
MD
SN
DN
, czyli r
x
y
x
z
Stąd i z (1) otrzymujemy
(
)
2
2
x
rx
r
r x
z
rx
r
rx
x
rx
y
x
x
x
x

\n\n

To oznacza, że AD
r
x
r
y
MN
. To kończy dowód.
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania 1 p.
Zdający
poprowadzi odcinki SE i NG
albo
zapisze równość DM
DE
,
albo
zapisze równość DE
BN
,
albo
zapisze równość SM
SE
MA
NG
,
albo
zapisze, że trójkąty BFS i BES są przystające,
albo
zapisze proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów DAB i DMN : AD
MD
DB
DN
,
albo
zapisze proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów MDN i ESN : SE
MD
SN
DN
,
albo
zauważy, że odcinek BS jest dwusieczną kąta ABD,
albo
• zapisze, że trójkąt BNS jest równoramienny
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Zdający
zapisze, że trójkąty BGN i NES są przystające
albo
zapisze, że trójkąt BSN jest równoramienny i BN
DM
,
albo
zapisze proporcje: 2
r
x
x
x
z
x
z
i r
x
y
x
z
,
albo
zauważy, że MN
r
SN
i EN
AB
AD
,
albo
zapisze proporcje:
2
2
r
x
x
r
y
r
y
x
r
i r
x
z
r
y
oraz zapisze równanie
wynikające z twierdzenia Pitagorasa w jednym z trójkątów BGN i ENS
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 3 p.
Zdający wykaże, że MN
AD

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg"}]}