Zadanie 10. (1 pkt)
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział
A. (
, 2
-∞-
B.
2, 4
C.
)
4,+∞
D. (
,9
-∞
Zadanie 10. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
funkcji zbiór wartości (4.b).
Wersja
I
Wersja
II
D
B
Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyróżnik jest ujemny.
\nDla \\(f(x) = x^2 + 2x + 3a\\) mamy współczynniki:
\\[a_{\\text{wsp}} = 1, \\quad b = 2, \\quad c = 3a\\]
Obliczamy wyróżnik:
\\[\\Delta = b^2 - 4a_{\\text{wsp}} \\cdot c = 2^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 3a = 4 - 12a\\]
Warunek braku miejsc zerowych: \\(\\Delta < 0\\)
\\[4 - 12a < 0\\]
\\[-12a < -4\\]
\\[a > \\frac{4}{12} = \\frac{1}{3}\\]
Zatem \\(a > \\dfrac{1}{3}\\), co odpowiada odpowiedzi D.
\nPrzepiszemy \\(f(x)\\) do postaci kanonicznej przez uzupełnienie do pełnego kwadratu.
\n\\[f(x) = x^2 + 2x + 3a = (x+1)^2 - 1 + 3a\\]
\nWierzchołek paraboli to \\(W = (-1,\\ 3a - 1)\\).
\nParabola ma ramiona skierowane ku górze (bo \\(a_{\\text{wsp}} = 1 > 0\\)), więc nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy cały wykres leży powyżej osi OX, czyli wartość minimalna jest dodatnia:
\n\\[3a - 1 > 0\\]
\\[3a > 1\\]
\\[a > \\frac{1}{3}\\]
Ten sam wynik - \\(a > \\dfrac{1}{3}\\), odpowiedź D.
\nDział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8) - wyróżnik trójmianu kwadratowego:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 - brak miejsc zerowych ⟺ \\(\\Delta < 0\\).
Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8) - postać kanoniczna i wierzchołek:
\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]
Użyliśmy jej w Sposobie 2 - minimalna wartość funkcji to \\(q = 3a - 1\\).
| Odp. | Typowy błąd |
| A | Uczeń odwraca nierówność \\(\\Delta < 0\\): mylnie zapisuje \\(4 - 12a < 0\\) jako \\(a < \\frac{1}{3}\\), a potem jeszcze raz myli znak - wychodzi \\(a < -1\\). Podwójny błąd daje złudzenie pewności. |
| B | Uczeń źle identyfikuje współczynnik \\(c\\): bierze \\(c = a\\) zamiast \\(c = 3a\\), przez co liczy \\(\\Delta = 4 - 4a < 0\\) i dostaje \\(a > 1\\), a następnie mylnie odczytuje którąś granicę z listy. |
| C | Uczeń stosuje warunek istnienia miejsc zerowych (\\(\\Delta \\geq 0\\)) zamiast braku (\\(\\Delta < 0\\)), a następnie bierze tylko fragment przedziału. |
⚠️ Uwaga: Parametr funkcji to \\(a\\), a współczynnik przy \\(x^2\\) też zwyczajowo nazywamy \\(a\\) - tu to dwie różne litery! W tym zadaniu współczynnik wiodący wynosi \\(1\\), a \\(a\\) to parametr w wyrazie wolnym \\(3a\\). Nie wstawiaj \\(a\\) ze wzoru \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\) jako parametru z zadania.\n
⚠️ Uwaga: Brak miejsc zerowych to \\(\\Delta < 0\\) (ostry znak!). Gdy \\(\\Delta = 0\\) jest jedno miejsce zerowe - ten przypadek wyklucza treść zadania ("ani jednego"). Nie pomyl z \\(\\Delta \\leq 0\\).\n
⚠️ Uwaga: Przy dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną (\\(-12\\)) odwracamy znak nierówności. Tutaj \\(-12a < -4 \\Rightarrow a > \\frac{1}{3}\\) - nie \\(a < \\frac{1}{3}\\)!\n
Poprawna odpowiedź: D
\nFunkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych \\(\\iff \\Delta < 0\\).
Dla \\(f(x) = x^{2} + 2x + 3a\\): \\(a=1, b=2, c=3a\\), więc
\\[\\Delta = b^{2} - 4ac = 4 - 4\\cdot 1\\cdot 3a = 4 - 12a.\\]
Warunek: \\(4 - 12a < 0 \\iff 12a > 4 \\iff a > \\tfrac{1}{3}\\).
\\[f(x) = (x+1)^{2} - 1 + 3a.\\]
Wierzchołek: \\(y_{w} = 3a - 1\\). Parabola ramionami w górę. Brak miejsc zerowych \\(\\iff y_{w} > 0\\):
\\[3a - 1 > 0 \\iff a > \\tfrac{1}{3}.\\]
\\(x^{2} + 2x + 3a = 0 \\iff x = \\tfrac{-2\\pm\\sqrt{4 - 12a}}{2}\\). Pierwiastek rzeczywisty istnieje tylko gdy \\(4 - 12a \\geq 0\\), czyli \\(a \\leq \\tfrac{1}{3}\\). Brak pierwiastków: \\(a > \\tfrac{1}{3}\\).
\nPamiętaj: brak miejsc zerowych \\(\\iff \\Delta < 0\\); jedno miejsce: \\(\\Delta = 0\\); dwa: \\(\\Delta > 0\\).
"}]}