{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nNajmniejsza wartość funkcji f w przedziale\n1,2\njest równa\nA. 2\nB. 5\nC. 8\nD. 9\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wartość\nnajmniejszą i wartość największą funkcji\nkwadratowej w przedziale domkniętym (4.k).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(a_2 = 7\\)\n\n## Sposób 1 - różnica kolejnych sum\n\nKażdy wyraz ciągu (poza pierwszym) można wyznaczyć jako różnicę sum:\n\\[a_n = S_n - S_{n-1} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]\n\nMamy \\(S_n = 2n^2 + n\\), więc:\n\\[S_2 = 2 \\cdot 4 + 2 = 10\\]\n\\[S_1 = 2 \\cdot 1 + 1 = 3\\]\n\nZatem:\n\\[a_2 = S_2 - S_1 = 10 - 3 = \\mathbf{7}\\]\n\n## Sposób 2 - wyznaczenie wzoru ogólnego \\(a_n\\)\n\nZ wzoru \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\) (dla \\(n \\geq 2\\)) wyznaczamy ogólny wzór:\n\\[a_n = (2n^2 + n) - (2(n-1)^2 + (n-1))\\]\n\\[= 2n^2 + n - 2(n^2 - 2n + 1) - n + 1\\]\n\\[= 2n^2 + n - 2n^2 + 4n - 2 - n + 1\\]\n\\[= 4n - 1\\]\n\nSprawdzamy: \\(a_2 = 4 \\cdot 2 - 1 = \\mathbf{7}\\) ✓\n\n**Weryfikacja ciągu arytmetycznego:** różnica \\(r = a_{n+1} - a_n = (4(n+1)-1) - (4n-1) = 4\\), stała - to rzeczywiście ciąg arytmetyczny z różnicą \\(r = 4\\).\n\nElementy: \\(a_1 = S_1 = 3\\), \\(a_2 = 7\\), \\(a_3 = 11\\), \\(\\ldots\\) - różnica wynosi 4. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nUżyliśmy odwrotnie - mając \\(S_n\\), odczytaliśmy poszczególne wyrazy przez różnicę \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(3\\) | Uczeń oblicza \\(S_1 = a_1 = 3\\) i myśli, że to jest \\(a_2\\). Myli indeks wyrazu z numerem sumy. |\n| B - \\(6\\) | Uczeń wstawia \\(n = 2\\) do wzoru \\(S_n\\) i uznaje \\(S_2 = 10\\), po czym dzieli przez 2: \\(\\frac{10}{2} = 5\\) lub liczy błędnie \\(S_2 - S_1 = 10 - 4 = 6\\) (zły wynik \\(S_1\\)). |\n| D - \\(10\\) | Uczeń utożsamia \\(a_2\\) z \\(S_2 = 10\\) - bierze sumę dwóch wyrazów zamiast samego drugiego wyrazu. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(S_n\\) to suma **pierwszych** \\(n\\) wyrazów, a **nie** \\(n\\)-ty wyraz! \\(a_2 \\neq S_2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\) działa dla \\(n \\geq 2\\). Pierwszy wyraz liczymy oddzielnie: \\(a_1 = S_1\\). W tym zadaniu: \\(a_1 = S_1 = 3\\), a \\(4 \\cdot 1 - 1 = 3\\) - wzór ogólny akurat pasuje też dla \\(n = 1\\), ale nie zawsze tak jest!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skoro znamy wzór ogólny \\(a_n = 4n - 1\\), warto sprawdzić, że różnica ciągu jest stała (tutaj \\(r = 4\\)) - to potwierdza, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Różnica sum kolejnych\n\\(a_{2} = S_{2} - S_{1}\\):\n\\[S_{1} = 2\\cdot 1 + 1 = 3, \\quad S_{2} = 2\\cdot 4 + 2 = 10.\\]\n\\[a_{2} = 10 - 3 = 7.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyznaczenie ciągu\n\\(S_{n} = 2n^{2} + n\\) odpowiada ciągowi arytmetycznemu. Ze wzoru \\(S_{n} = \\tfrac{n(2a_{1}+(n-1)r)}{2}\\):\nporównujemy: \\(2n^{2}+n = \\tfrac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)r) = \\tfrac{2a_{1}n + n^{2}r - nr}{2}\\). \\(n^{2}\\)-współczynnik: \\(\\tfrac{r}{2} = 2\\Rightarrow r=4\\). \\(n\\)-współczynnik: \\(a_{1} - \\tfrac{r}{2} = 1\\Rightarrow a_{1} = 3\\). \\(a_{2} = a_{1}+r = 3+4 = 7\\).\n\n### Sposób 3 - Obliczenie \\(a_{1}\\) i sprawdzenie\n\\(a_{1} = S_{1} = 3\\). \\(S_{2} = a_{1}+a_{2} = 10\\), stąd \\(a_{2} = 7\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\)** - to \\(a_{1} = S_{1}\\), nie \\(a_{2}\\).\n- **B. \\(6\\)** - błąd, być może \\(2\\cdot 3\\) lub \\(S_{2}/2\\).\n- **D. \\(10\\)** - to \\(S_{2}\\), suma, nie pojedynczy wyraz.\n\n**Pamiętaj:** \\(a_{n} = S_{n} - S_{n-1}\\) dla \\(n\\geq 2\\), \\(a_{1} = S_{1}\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 11. (1 pkt)<br>Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale<br>1,2<br>jest równa<br>A. 2<br>B. 5<br>C. 8<br>D. 9</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 11. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający wyznacza wartość</li></ol>\n<p>najmniejszą i wartość największą funkcji<br>kwadratowej w przedziale domkniętym (4.k).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>B<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(a_2 = 7\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - różnica kolejnych sum</h4>\n<p>Każdy wyraz ciągu (poza pierwszym) można wyznaczyć jako różnicę sum:<br>\\[a_n = S_n - S_{n-1} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]</p>\n<p>Mamy \\(S_n = 2n^2 + n\\), więc:<br>\\[S_2 = 2 \\cdot 4 + 2 = 10\\]<br>\\[S_1 = 2 \\cdot 1 + 1 = 3\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[a_2 = S_2 - S_1 = 10 - 3 = \\mathbf{7}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - wyznaczenie wzoru ogólnego \\(a_n\\)</h4>\n<p>Z wzoru \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\) (dla \\(n \\geq 2\\)) wyznaczamy ogólny wzór:<br>\\[a_n = (2n^2 + n) - (2(n-1)^2 + (n-1))\\]<br>\\[= 2n^2 + n - 2(n^2 - 2n + 1) - n + 1\\]<br>\\[= 2n^2 + n - 2n^2 + 4n - 2 - n + 1\\]<br>\\[= 4n - 1\\]</p>\n<p>Sprawdzamy: \\(a_2 = 4 \\cdot 2 - 1 = \\mathbf{7}\\) ✓</p>\n<p><strong>Weryfikacja ciągu arytmetycznego:</strong> różnica \\(r = a_{n+1} - a_n = (4(n+1)-1) - (4n-1) = 4\\), stała - to rzeczywiście ciąg arytmetyczny z różnicą \\(r = 4\\).</p>\n<p>Elementy: \\(a_1 = S_1 = 3\\), \\(a_2 = 7\\), \\(a_3 = 11\\), \\(\\ldots\\) - różnica wynosi 4. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:<br>\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]</p>\n<p>Użyliśmy odwrotnie - mając \\(S_n\\), odczytaliśmy poszczególne wyrazy przez różnicę \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A - \\(3\\) | Uczeń oblicza \\(S_1 = a_1 = 3\\) i myśli, że to jest \\(a_2\\). Myli indeks wyrazu z numerem sumy. |<br>| B - \\(6\\) | Uczeń wstawia \\(n = 2\\) do wzoru \\(S_n\\) i uznaje \\(S_2 = 10\\), po czym dzieli przez 2: \\(\\frac{10}{2} = 5\\) lub liczy błędnie \\(S_2 - S_1 = 10 - 4 = 6\\) (zły wynik \\(S_1\\)). |<br>| D - \\(10\\) | Uczeń utożsamia \\(a_2\\) z \\(S_2 = 10\\) - bierze sumę dwóch wyrazów zamiast samego drugiego wyrazu. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(S_n\\) to suma <strong>pierwszych</strong> \\(n\\) wyrazów, a <strong>nie</strong> \\(n\\)-ty wyraz! \\(a_2 \\neq S_2\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\) działa dla \\(n \\geq 2\\). Pierwszy wyraz liczymy oddzielnie: \\(a_1 = S_1\\). W tym zadaniu: \\(a_1 = S_1 = 3\\), a \\(4 \\cdot 1 - 1 = 3\\) - wzór ogólny akurat pasuje też dla \\(n = 1\\), ale nie zawsze tak jest!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Skoro znamy wzór ogólny \\(a_n = 4n - 1\\), warto sprawdzić, że różnica ciągu jest stała (tutaj \\(r = 4\\)) - to potwierdza, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Różnica sum kolejnych</h5>\n<p>\\(a_{2} = S_{2} - S_{1}\\):<br>\\[S_{1} = 2\\cdot 1 + 1 = 3, \\quad S_{2} = 2\\cdot 4 + 2 = 10.\\]<br>\\[a_{2} = 10 - 3 = 7.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Wyznaczenie ciągu</h5>\n<p>\\(S_{n} = 2n^{2} + n\\) odpowiada ciągowi arytmetycznemu. Ze wzoru \\(S_{n} = \\tfrac{n(2a_{1}+(n-1)r)}{2}\\):<br>porównujemy: \\(2n^{2}+n = \\tfrac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)r) = \\tfrac{2a_{1}n + n^{2}r - nr}{2}\\). \\(n^{2}\\)-współczynnik: \\(\\tfrac{r}{2} = 2\\Rightarrow r=4\\). \\(n\\)-współczynnik: \\(a_{1} - \\tfrac{r}{2} = 1\\Rightarrow a_{1} = 3\\). \\(a_{2} = a_{1}+r = 3+4 = 7\\).</p>\n<h5>Sposób 3 - Obliczenie \\(a_{1}\\) i sprawdzenie</h5>\n<p>\\(a_{1} = S_{1} = 3\\). \\(S_{2} = a_{1}+a_{2} = 10\\), stąd \\(a_{2} = 7\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(3\\)</strong> - to \\(a_{1} = S_{1}\\), nie \\(a_{2}\\).</li><li><strong>B. \\(6\\)</strong> - błąd, być może \\(2\\cdot 3\\) lub \\(S_{2}/2\\).</li><li><strong>D. \\(10\\)</strong> - to \\(S_{2}\\), suma, nie pojedynczy wyraz.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\(a_{n} = S_{n} - S_{n-1}\\) dla \\(n\\geq 2\\), \\(a_{1} = S_{1}\\).</p>"}]}