{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nFunkcja f określona jest wzorem\n( )\n3\n6\n2\n1\nx\nf x\nx\ndla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy\n(\n)\n3 3\nf -\njest równa\nA.\n3 9\n2\nB.\n3\n5\nC. 3\n5\nD.\n3 3\n2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający oblicza ze wzoru wartość\nfunkcji dla danego argumentu (4.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.\n\n## Sposób 1 - Uproszczenie drugiego równania\n\nPatrzymy na oba równania i sprawdzamy, czy jedno jest wielokrotnością drugiego.\n\nPierwsze równanie:\n\\[2x - 3y = 5\\]\n\nDrugie równanie:\n\\[-4x + 6y = -10\\]\n\n**Mnożymy pierwsze równanie przez \\((-2)\\):**\n\\[(-2) \\cdot (2x - 3y) = (-2) \\cdot 5\\]\n\\[-4x + 6y = -10\\]\n\nTo jest **dokładnie drugie równanie!**\n\nOba równania opisują **tę samą prostą** na płaszczyźnie. Każda para \\((x, y)\\) spełniająca pierwsze równanie, spełnia też drugie - i odwrotnie.\n\n**Zatem układ ma nieskończenie wiele rozwiązań** - każdy punkt leżący na prostej \\(2x - 3y = 5\\) jest rozwiązaniem.\n\n## Sposób 2 - Metoda wyznacznika (analiza współczynników)\n\nUkład dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi:\n\\[\\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\\\ a_2 x + b_2 y = c_2 \\end{cases}\\]\n\nSprawdzamy stosunek współczynników:\n\\[\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{2}{-4} = -\\frac{1}{2}\\]\n\\[\\frac{b_1}{b_2} = \\frac{-3}{6} = -\\frac{1}{2}\\]\n\\[\\frac{c_1}{c_2} = \\frac{5}{-10} = -\\frac{1}{2}\\]\n\nWszystkie trzy stosunki są **równe** \\(\\left(-\\frac{1}{2}\\right)\\):\n\\[\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{b_1}{b_2} = \\frac{c_1}{c_2}\\]\n\nTo oznacza, że równania są **proporcjonalne** - opisują tę samą prostą, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.\n\n*(Gdyby \\(\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{b_1}{b_2} \\neq \\frac{c_1}{c_2}\\) - brak rozwiązań. Gdyby \\(\\frac{a_1}{a_2} \\neq \\frac{b_1}{b_2}\\) - dokładnie jedno rozwiązanie.)*\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość własności układów równań liniowych i podstawowych działań algebraicznych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń widzi \"inne\" równanie (inne znaki) i myśli, że proste są równoległe - nie sprawdził wyrazów wolnych. Brak rozwiązań zachodzi gdy \\(\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{b_1}{b_2} \\neq \\frac{c_1}{c_2}\\). |\n| B | Uczeń mechanicznie \"dodaje/odejmuje\" równania i nie zauważa, że wynik to \\(0 = 0\\), interpretując to błędnie jako \"znalazł rozwiązanie\". |\n| C | Dwa rozwiązania układ liniowy (proste na płaszczyźnie) **nigdy nie może mieć** - dwie różne proste przecinają się co najwyżej w jednym punkcie lub są równoległe/tożsame. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy dodajesz lub odejmujesz równania i wychodzi \\(0 = 0\\) - to sygnał nieskończenie wielu rozwiązań, **nie błąd w obliczeniach!** Wielu uczniów myśli, że coś poszło nie tak.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myj się znakami - drugie równanie ma same znaki przeciwne do pierwszego. To nie znaczy, że proste są różne! Sprawdź stosunki wszystkich trzech współczynników (łącznie z wyrazem wolnym).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (dwa rozwiązania) jest zawsze pułapką przy układach liniowych - geometrycznie dwie proste na płaszczyźnie **nie mogą** przeciąć się w dokładnie dwóch punktach.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Porównanie równań\nPomnóżmy pierwsze równanie przez \\(-2\\):\n\\[-2(2x-3y) = -2\\cdot 5 \\Rightarrow -4x + 6y = -10.\\]\nTo jest **dokładnie** drugie równanie. Oba równania są równoważne - opisują tę samą prostą, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.\n\n### Sposób 2 - Wyznacznik układu\nDla układu \\(\\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = c_{1}\\\\ a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\\end{cases}\\): \\(a_{1}=2, b_{1}=-3, c_{1}=5\\), \\(a_{2}=-4, b_{2}=6, c_{2}=-10\\).\n\\[\\dfrac{a_{1}}{a_{2}} = \\dfrac{2}{-4} = -\\tfrac{1}{2}, \\quad \\dfrac{b_{1}}{b_{2}} = \\dfrac{-3}{6} = -\\tfrac{1}{2}, \\quad \\dfrac{c_{1}}{c_{2}} = \\dfrac{5}{-10} = -\\tfrac{1}{2}.\\]\nWszystkie trzy stosunki równe - **układ nieoznaczony** (nieskończenie wiele rozwiązań).\n\n### Sposób 3 - Interpretacja geometryczna\nOba równania opisują proste na płaszczyźnie. Jeśli równania są proporcjonalne (tak jak tutaj), proste pokrywają się - nieskończenie wiele punktów wspólnych.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. Nie ma rozwiązań** - byłoby tak, gdyby proste były równoległe (ten sam stosunek \\(a\\) i \\(b\\), ale różny stosunek \\(c\\)).\n- **B. Jedno rozwiązanie** - byłoby tak, gdyby \\(\\tfrac{a_{1}}{a_{2}} \\ne \\tfrac{b_{1}}{b_{2}}\\).\n- **C. Dwa rozwiązania** - układ liniowy nie może mieć dokładnie dwóch rozwiązań; tylko 0, 1 lub nieskończenie wiele.\n\n**Pamiętaj:** dwa równania liniowe - jeśli jedno jest wielokrotnością drugiego z tym samym stosunkiem po prawej stronie - układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (1 pkt)
Funkcja f określona jest wzorem
( )
3
6
2
1
x
f x
x
dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy
(
)
3 3
f -
jest równa
A.
3 9
2
B.
3
5
C. 3
5
D.
3 3
2

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Funkcje. Zdający oblicza ze wzoru wartość
\n

funkcji dla danego argumentu (4.2).
Wersja
I
Wersja
II
B
D

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

\n

Sposób 1 - Uproszczenie drugiego równania

\n

Patrzymy na oba równania i sprawdzamy, czy jedno jest wielokrotnością drugiego.

\n

Pierwsze równanie:
\\[2x - 3y = 5\\]

\n

Drugie równanie:
\\[-4x + 6y = -10\\]

\n

Mnożymy pierwsze równanie przez \\((-2)\\):
\\[(-2) \\cdot (2x - 3y) = (-2) \\cdot 5\\]
\\[-4x + 6y = -10\\]

\n

To jest dokładnie drugie równanie!

\n

Oba równania opisują tę samą prostą na płaszczyźnie. Każda para \\((x, y)\\) spełniająca pierwsze równanie, spełnia też drugie - i odwrotnie.

\n

Zatem układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - każdy punkt leżący na prostej \\(2x - 3y = 5\\) jest rozwiązaniem.

\n

Sposób 2 - Metoda wyznacznika (analiza współczynników)

\n

Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi:
\\[\\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\\\ a_2 x + b_2 y = c_2 \\end{cases}\\]

\n

Sprawdzamy stosunek współczynników:
\\[\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{2}{-4} = -\\frac{1}{2}\\]
\\[\\frac{b_1}{b_2} = \\frac{-3}{6} = -\\frac{1}{2}\\]
\\[\\frac{c_1}{c_2} = \\frac{5}{-10} = -\\frac{1}{2}\\]

\n

Wszystkie trzy stosunki są równe \\(\\left(-\\frac{1}{2}\\right)\\):
\\[\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{b_1}{b_2} = \\frac{c_1}{c_2}\\]

\n

To oznacza, że równania są proporcjonalne - opisują tę samą prostą, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

\n

(Gdyby \\(\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{b_1}{b_2} \\neq \\frac{c_1}{c_2}\\) - brak rozwiązań. Gdyby \\(\\frac{a_1}{a_2} \\neq \\frac{b_1}{b_2}\\) - dokładnie jedno rozwiązanie.)

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość własności układów równań liniowych i podstawowych działań algebraicznych.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń widzi "inne" równanie (inne znaki) i myśli, że proste są równoległe - nie sprawdził wyrazów wolnych. Brak rozwiązań zachodzi gdy \\(\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{b_1}{b_2} \\neq \\frac{c_1}{c_2}\\). |
| B | Uczeń mechanicznie "dodaje/odejmuje" równania i nie zauważa, że wynik to \\(0 = 0\\), interpretując to błędnie jako "znalazł rozwiązanie". |
| C | Dwa rozwiązania układ liniowy (proste na płaszczyźnie) nigdy nie może mieć - dwie różne proste przecinają się co najwyżej w jednym punkcie lub są równoległe/tożsame. |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Gdy dodajesz lub odejmujesz równania i wychodzi \\(0 = 0\\) - to sygnał nieskończenie wielu rozwiązań, nie błąd w obliczeniach! Wielu uczniów myśli, że coś poszło nie tak.
\n
⚠️ Uwaga: Nie myj się znakami - drugie równanie ma same znaki przeciwne do pierwszego. To nie znaczy, że proste są różne! Sprawdź stosunki wszystkich trzech współczynników (łącznie z wyrazem wolnym).
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź C (dwa rozwiązania) jest zawsze pułapką przy układach liniowych - geometrycznie dwie proste na płaszczyźnie nie mogą przeciąć się w dokładnie dwóch punktach.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Porównanie równań
\n

Pomnóżmy pierwsze równanie przez \\(-2\\):
\\[-2(2x-3y) = -2\\cdot 5 \\Rightarrow -4x + 6y = -10.\\]
To jest dokładnie drugie równanie. Oba równania są równoważne - opisują tę samą prostą, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

\n
Sposób 2 - Wyznacznik układu
\n

Dla układu \\(\\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = c_{1}\\\\ a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\\end{cases}\\): \\(a_{1}=2, b_{1}=-3, c_{1}=5\\), \\(a_{2}=-4, b_{2}=6, c_{2}=-10\\).
\\[\\dfrac{a_{1}}{a_{2}} = \\dfrac{2}{-4} = -\\tfrac{1}{2}, \\quad \\dfrac{b_{1}}{b_{2}} = \\dfrac{-3}{6} = -\\tfrac{1}{2}, \\quad \\dfrac{c_{1}}{c_{2}} = \\dfrac{5}{-10} = -\\tfrac{1}{2}.\\]
Wszystkie trzy stosunki równe - układ nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań).

\n
Sposób 3 - Interpretacja geometryczna
\n

Oba równania opisują proste na płaszczyźnie. Jeśli równania są proporcjonalne (tak jak tutaj), proste pokrywają się - nieskończenie wiele punktów wspólnych.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: dwa równania liniowe - jeśli jedno jest wielokrotnością drugiego z tym samym stosunkiem po prawej stronie - układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

"}]}