{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nW okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem\nAS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu\nS od cięciwy AB jest liczbą z przedziału\nA. 9 11\n,\n2\n2\nB.\n11 13\n,\n2\n2\n\n\nC. 13 19\n,\n2\n2\n\n\nD.\n19 37\n,\n2\n2\n\n","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki\nmiarowe w figurach płaskich, także\nz zastosowaniem trygonometrii (7.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(-2\\)\n\n## Sposób 1 - Krok po kroku (definicja wartości bezwzględnej)\n\n**Liczymy licznik:** wyrażenie pod wartością bezwzględną to \\(3 - 9 = -6\\).\n\nPonieważ \\(-6 < 0\\), wartość bezwzględna zamienia znak na przeciwny:\n\\[|3 - 9| = |-6| = 6\\]\n\n**Liczymy cały ułamek:**\n\\[\\frac{|3-9|}{-3} = \\frac{6}{-3} = -2\\]\n\n**Wynik: \\(-2\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(\\frac{6}{-3} = -2\\):\n\\[-2 \\cdot (-3) = 6 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - odpowiedź **B** jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - definicja:\n\\[|x| = \\begin{cases} x & \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x & \\text{dla } x < 0 \\end{cases}\\]\nUżyliśmy jej, żeby obliczyć \\(|-6| = 6\\) (bo \\(-6 < 0\\), więc bierzemy \\(-(-6) = 6\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(2\\) | Zapomniano o minusie w mianowniku - policzono \\(\\frac{6}{3} = 2\\) zamiast \\(\\frac{6}{-3}\\) |\n| C: \\(0\\) | Błędne obliczenie \\(|3-9|\\) - np. wzięto \\(|3| - |9| = 3 - 9\\) i niepoprawnie uprościło |\n| D: \\(-4\\) | Błąd w obliczeniu \\(3 - 9\\): np. pomylono na \\(-12\\), a potem \\(\\frac{12}{-3} = -4\\) |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartość bezwzględna dotyczy TYLKO licznika - nie całego ułamka. \\(\\frac{|3-9|}{-3} \\neq \\left|\\frac{3-9}{-3}\\right|\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najpierw oblicz wyrażenie wewnątrz \\(|\\ldots|\\), dopiero potem zastosuj definicję. Nie można \"rozdzielać\" wartości bezwzględnej na \\(|3| - |9|\\) - to błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik \\(-3\\) jest ujemny - pamiętaj, że wynik dzielenia dodatniej liczby przez ujemną jest **ujemny**.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie wartości bezwzględnej\n\\(|3-9| = |-6| = 6\\). Stąd:\n\\[\\dfrac{|3-9|}{-3} = \\dfrac{6}{-3} = -2.\\]\n\n### Sposób 2 - Krok po kroku\nLicznik: \\(3-9 = -6\\). Wartość bezwzględna: \\(|-6|=6\\). Podzielenie przez \\(-3\\): \\(\\tfrac{6}{-3} = -2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - ktoś pominął znak mianownika.\n- **C. \\(0\\)** - ktoś mylnie stwierdził \\(|3-9| = 3-9\\) i podzielił przez \\(-3\\): \\(\\tfrac{-6}{-3}=2\\) (ale to też nie 0; być może policzono \\(\\tfrac{3-9}{-3}+ \\)).\n- **D. \\(-4\\)** - błąd rachunkowy, np. \\(\\tfrac{12}{-3}\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(|a-b|\\) to zawsze liczba **nieujemna**, a znak wyniku zależy od mianownika.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 13. (1 pkt)<br>W okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem<br>AS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu<br>S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału<br>A. 9 11<br>,<br>2<br>2<br>B.<br>11 13<br>,<br>2<br>2<br><br><br>C. 13 19<br>,<br>2<br>2<br><br><br>D.<br>19 37<br>,<br>2<br>2<br><br></p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13. (0-1)<br>IV. Użycie i tworzenie<br>strategii.</p>\n<ol><li>Planimetria. Zdający znajduje związki</li></ol>\n<p>miarowe w figurach płaskich, także<br>z zastosowaniem trygonometrii (7.c).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>A<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(-2\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Krok po kroku (definicja wartości bezwzględnej)</h4>\n<p><strong>Liczymy licznik:</strong> wyrażenie pod wartością bezwzględną to \\(3 - 9 = -6\\).</p>\n<p>Ponieważ \\(-6 &lt; 0\\), wartość bezwzględna zamienia znak na przeciwny:<br>\\[|3 - 9| = |-6| = 6\\]</p>\n<p><strong>Liczymy cały ułamek:</strong><br>\\[\\frac{|3-9|}{-3} = \\frac{6}{-3} = -2\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(-2\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy \\(\\frac{6}{-3} = -2\\):<br>\\[-2 \\cdot (-3) = 6 \\checkmark\\]</p>\n<p>Wynik się zgadza - odpowiedź <strong>B</strong> jest poprawna.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)</strong> - definicja:<br>\\[|x| = \\begin{cases} x &amp; \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x &amp; \\text{dla } x &lt; 0 \\end{cases}\\]<br>Użyliśmy jej, żeby obliczyć \\(|-6| = 6\\) (bo \\(-6 &lt; 0\\), więc bierzemy \\(-(-6) = 6\\)).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A: \\(2\\) | Zapomniano o minusie w mianowniku - policzono \\(\\frac{6}{3} = 2\\) zamiast \\(\\frac{6}{-3}\\) |<br>| C: \\(0\\) | Błędne obliczenie \\(|3-9|\\) - np. wzięto \\(|3| - |9| = 3 - 9\\) i niepoprawnie uprościło |<br>| D: \\(-4\\) | Błąd w obliczeniu \\(3 - 9\\): np. pomylono na \\(-12\\), a potem \\(\\frac{12}{-3} = -4\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wartość bezwzględna dotyczy TYLKO licznika - nie całego ułamka. \\(\\frac{|3-9|}{-3} \\neq \\left|\\frac{3-9}{-3}\\right|\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najpierw oblicz wyrażenie wewnątrz \\(|\\ldots|\\), dopiero potem zastosuj definicję. Nie można &quot;rozdzielać&quot; wartości bezwzględnej na \\(|3| - |9|\\) - to błąd!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mianownik \\(-3\\) jest ujemny - pamiętaj, że wynik dzielenia dodatniej liczby przez ujemną jest <strong>ujemny</strong>.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Obliczenie wartości bezwzględnej</h5>\n<p>\\(|3-9| = |-6| = 6\\). Stąd:<br>\\[\\dfrac{|3-9|}{-3} = \\dfrac{6}{-3} = -2.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Krok po kroku</h5>\n<p>Licznik: \\(3-9 = -6\\). Wartość bezwzględna: \\(|-6|=6\\). Podzielenie przez \\(-3\\): \\(\\tfrac{6}{-3} = -2\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(2\\)</strong> - ktoś pominął znak mianownika.</li><li><strong>C. \\(0\\)</strong> - ktoś mylnie stwierdził \\(|3-9| = 3-9\\) i podzielił przez \\(-3\\): \\(\\tfrac{-6}{-3}=2\\) (ale to też nie 0; być może policzono \\(\\tfrac{3-9}{-3}+ \\)).</li><li><strong>D. \\(-4\\)</strong> - błąd rachunkowy, np. \\(\\tfrac{12}{-3}\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\(|a-b|\\) to zawsze liczba <strong>nieujemna</strong>, a znak wyniku zależy od mianownika.</p>"}]}