{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nCzternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa\n3\n2\n\n\n\n\n\n\nSiódmy wyraz tego ciągu jest równy\nA. 37\n2\nB.\n37\n2\nC.\n5\n2\nD. 5\n2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzór na\nn-ty wyraz i na sumę n początkowych\nwyrazów ciągu arytmetycznego (5.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(y = 2x + 7\\)\n\n## Sposób 1 - Eliminacja parametru\n\nPunkt o współrzędnych \\((m-1,\\ 2m+5)\\) leży na pewnej prostej. Chcemy znaleźć równanie tej prostej, **eliminując parametr \\(m\\)**.\n\nOznaczamy współrzędne punktu:\n\\[x = m - 1, \\qquad y = 2m + 5\\]\n\n**Krok 1.** Z pierwszego równania wyrażamy \\(m\\) przez \\(x\\):\n\\[x = m - 1 \\implies m = x + 1\\]\n\n**Krok 2.** Podstawiamy \\(m = x + 1\\) do wyrażenia na \\(y\\):\n\\[y = 2m + 5 = 2(x + 1) + 5 = 2x + 2 + 5\\]\n\n\\[\\boxed{y = 2x + 7}\\]\n\n**Wniosek:** Wszystkie punkty postaci \\((m-1,\\ 2m+5)\\) leżą na prostej \\(y = 2x + 7\\), co odpowiada odpowiedzi **C**.\n\n## Sposób 2 - Podstawienie konkretnych wartości \\(m\\)\n\nMożemy sprawdzić, na której prostej leżą punkty dla kilku konkretnych wartości \\(m\\), a następnie zweryfikować wynik.\n\n**Krok 1.** Wyliczamy dwa punkty:\n\n- \\(m = 0\\): punkt \\((0-1,\\ 2\\cdot0+5) = (-1,\\ 5)\\)\n- \\(m = 1\\): punkt \\((1-1,\\ 2\\cdot1+5) = (0,\\ 7)\\)\n- \\(m = 2\\): punkt \\((2-1,\\ 2\\cdot2+5) = (1,\\ 9)\\)\n\n**Krok 2.** Sprawdzamy, którą z prostych A-D spełniają te punkty.\n\nDla punktu \\((-1, 5)\\):\n- A: \\(2\\cdot(-1)+5 = 3 \\neq 5\\) ✗\n- B: \\(2\\cdot(-1)+6 = 4 \\neq 5\\) ✗\n- C: \\(2\\cdot(-1)+7 = 5\\) ✓\n- D: \\(2\\cdot(-1)+8 = 6 \\neq 5\\) ✗\n\nZostaje tylko **C**. Weryfikujemy na pozostałych punktach:\n- \\((0,\\ 7)\\): \\(2\\cdot0+7 = 7\\) ✓\n- \\((1,\\ 9)\\): \\(2\\cdot1+7 = 9\\) ✓\n\n**Wniosek:** Prosta **C** (\\(y = 2x + 7\\)) przechodzi przez wszystkie sprawdzone punkty.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\ngdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy (nachylenie), \\(b\\) to wyraz wolny (przecięcie z osią \\(OY\\)).\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - po eliminacji parametru \\(m\\) otrzymaliśmy właśnie postać kierunkową prostej.\n\nW tym zadaniu nie używamy bardziej zaawansowanych wzorów z karty - wystarczy algebra i zamiana parametryczna.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Podstawienie \\(m = x\\) zamiast \\(m = x+1\\): \\(y = 2x + 5\\) - pominięcie \\(+1\\) z zamiany |\n| B | Podstawienie \\(m = x+1\\), ale błąd w dodawaniu: \\(2(x+1)+4 = 2x+6\\) (pomylenie \\(+5\\) z \\(+4\\)) |\n| D | Podstawienie \\(m = x+1\\), ale dodanie \\(+6\\) zamiast \\(+5\\): \\(2(x+1)+6 = 2x+8\\) - błąd o 1 w wyrazie wolnym |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **nieprawidłowe wyrażenie \\(m\\) przez \\(x\\)**. Z \\(x = m-1\\) wynika \\(m = x+1\\) - pamiętaj, że \\(m\\) jest o **1 większe** niż \\(x\\), nie równe \\(x\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wszystkie odpowiedzi mają ten sam współczynnik kierunkowy \\(2\\) - różnią się tylko wyrazem wolnym. Jeśli wiesz, że nachylenie wynosi \\(2\\), i tak musisz dokładnie wyliczyć wyraz wolny, bo o niego toczy się cała gra.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdzenie jednego punktu nie wystarczy do odrzucenia wszystkich złych odpowiedzi - warto sprawdzić co najmniej **dwa różne punkty**, żeby mieć pewność.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wyrugowanie \\(m\\)\nNiech \\(x = m-1, y = 2m+5\\). Z pierwszego równania: \\(m = x+1\\). Podstawiamy do drugiego:\n\\[y = 2(x+1)+5 = 2x + 2 + 5 = 2x + 7.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie przez konkretne wartości \\(m\\)\n- \\(m=0\\): punkt \\((-1, 5)\\). Sprawdzamy \\(y = 2(-1)+7 = 5\\) ✓\n- \\(m=1\\): punkt \\((0, 7)\\). Sprawdzamy \\(y = 2\\cdot 0 + 7 = 7\\) ✓\n- \\(m=2\\): punkt \\((1, 9)\\). Sprawdzamy \\(y = 2\\cdot 1 + 7 = 9\\) ✓\n\n### Sposób 3 - Dwie wartości i prosta\n\\(m=0\\): \\((-1,5)\\). \\(m=1\\): \\((0,7)\\). Współczynnik kierunkowy: \\(\\tfrac{7-5}{0-(-1)} = 2\\). Wyraz wolny: 7. Zatem \\(y = 2x+7\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(y = 2x + 5\\)** - dla \\(m=0\\) punkt \\((-1,5)\\): \\(2(-1)+5 = 3 \\ne 5\\) ✗.\n- **B. \\(y = 2x + 6\\)** - podobnie nie pasuje.\n- **D. \\(y = 2x + 8\\)** - dla \\(m=0\\): \\(2(-1)+8 = 6 \\ne 5\\) ✗.\n\n**Pamiętaj:** parametryzacja \\((x(m), y(m))\\) opisuje prostą, jeśli możesz wyrugować parametr liniowo.","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14. (1 pkt)
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa
3
2






Siódmy wyraz tego ciągu jest równy
A. 37
2
B.
37
2
C.
5
2
D. 5
2

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzór na
\n

n-ty wyraz i na sumę n początkowych
wyrazów ciągu arytmetycznego (5.c).
Wersja
I
Wersja
II
A
B

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(y = 2x + 7\\)

\n

Sposób 1 - Eliminacja parametru

\n

Punkt o współrzędnych \\((m-1,\\ 2m+5)\\) leży na pewnej prostej. Chcemy znaleźć równanie tej prostej, eliminując parametr \\(m\\).

\n

Oznaczamy współrzędne punktu:
\\[x = m - 1, \\qquad y = 2m + 5\\]

\n

Krok 1. Z pierwszego równania wyrażamy \\(m\\) przez \\(x\\):
\\[x = m - 1 \\implies m = x + 1\\]

\n

Krok 2. Podstawiamy \\(m = x + 1\\) do wyrażenia na \\(y\\):
\\[y = 2m + 5 = 2(x + 1) + 5 = 2x + 2 + 5\\]

\n

\\[\\boxed{y = 2x + 7}\\]

\n

Wniosek: Wszystkie punkty postaci \\((m-1,\\ 2m+5)\\) leżą na prostej \\(y = 2x + 7\\), co odpowiada odpowiedzi C.

\n

Sposób 2 - Podstawienie konkretnych wartości \\(m\\)

\n

Możemy sprawdzić, na której prostej leżą punkty dla kilku konkretnych wartości \\(m\\), a następnie zweryfikować wynik.

\n

Krok 1. Wyliczamy dwa punkty:

\n\n

Krok 2. Sprawdzamy, którą z prostych A-D spełniają te punkty.

\n

Dla punktu \\((-1, 5)\\):

\n\n

Zostaje tylko C. Weryfikujemy na pozostałych punktach:

\n\n

Wniosek: Prosta C (\\(y = 2x + 7\\)) przechodzi przez wszystkie sprawdzone punkty.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - równanie kierunkowe prostej:
\\[y = ax + b\\]
gdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy (nachylenie), \\(b\\) to wyraz wolny (przecięcie z osią \\(OY\\)).

\n

Użyliśmy tego w Sposobie 1 - po eliminacji parametru \\(m\\) otrzymaliśmy właśnie postać kierunkową prostej.

\n

W tym zadaniu nie używamy bardziej zaawansowanych wzorów z karty - wystarczy algebra i zamiana parametryczna.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Podstawienie \\(m = x\\) zamiast \\(m = x+1\\): \\(y = 2x + 5\\) - pominięcie \\(+1\\) z zamiany |
| B | Podstawienie \\(m = x+1\\), ale błąd w dodawaniu: \\(2(x+1)+4 = 2x+6\\) (pomylenie \\(+5\\) z \\(+4\\)) |
| D | Podstawienie \\(m = x+1\\), ale dodanie \\(+6\\) zamiast \\(+5\\): \\(2(x+1)+6 = 2x+8\\) - błąd o 1 w wyrazie wolnym |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to nieprawidłowe wyrażenie \\(m\\) przez \\(x\\). Z \\(x = m-1\\) wynika \\(m = x+1\\) - pamiętaj, że \\(m\\) jest o 1 większe niż \\(x\\), nie równe \\(x\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Wszystkie odpowiedzi mają ten sam współczynnik kierunkowy \\(2\\) - różnią się tylko wyrazem wolnym. Jeśli wiesz, że nachylenie wynosi \\(2\\), i tak musisz dokładnie wyliczyć wyraz wolny, bo o niego toczy się cała gra.
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdzenie jednego punktu nie wystarczy do odrzucenia wszystkich złych odpowiedzi - warto sprawdzić co najmniej dwa różne punkty, żeby mieć pewność.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Wyrugowanie \\(m\\)
\n

Niech \\(x = m-1, y = 2m+5\\). Z pierwszego równania: \\(m = x+1\\). Podstawiamy do drugiego:
\\[y = 2(x+1)+5 = 2x + 2 + 5 = 2x + 7.\\]

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie przez konkretne wartości \\(m\\)
\n\n
Sposób 3 - Dwie wartości i prosta
\n

\\(m=0\\): \\((-1,5)\\). \\(m=1\\): \\((0,7)\\). Współczynnik kierunkowy: \\(\\tfrac{7-5}{0-(-1)} = 2\\). Wyraz wolny: 7. Zatem \\(y = 2x+7\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: parametryzacja \\((x(m), y(m))\\) opisuje prostą, jeśli możesz wyrugować parametr liniowo.

"}]}