{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nCiąg (\n)\n, 2\n3, 4\n3\nx\nx\nx\njest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy\nA.\n4\nB. 1\nC. 0\nD.\n1","answer":"D","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający bada, czy dany\nciąg jest arytmetyczny lub geometryczny\n(5.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(3\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Trójkąt prostokątny w przekroju osiowym\n\n**Przekrój osiowy stożka** to trójkąt równoramienny. Kąt rozwarcia \\(120°\\) to kąt przy wierzchołku (apex) tego trójkąta.\n\nPołówka przekroju osiowego tworzy trójkąt prostokątny z:\n- przeciwprostokątną = tworząca \\(l = 6\\)\n- kątem przy wierzchołku = \\(\\frac{120°}{2} = 60°\\)\n- ramieniem prostopadłym = szukany promień \\(r\\)\n\nZ definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin 60° = \\frac{r}{l}\\]\n\\[r = l \\cdot \\sin 60° = 6 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\\[\\boxed{r = 3\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie cosinusów na pełnym przekroju osiowym\n\nCały przekrój osiowy to trójkąt równoramienny o ramionach \\(l = 6\\) i kącie rozwarcia \\(120°\\). Podstawa tego trójkąta to średnica podstawy stożka, czyli \\(2r\\).\n\nZe wzoru cosinusów:\n\\[(2r)^2 = l^2 + l^2 - 2 \\cdot l \\cdot l \\cdot \\cos(120°)\\]\n\\[4r^2 = 36 + 36 - 2 \\cdot 36 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right)\\]\n\\[4r^2 = 72 + 36 = 108\\]\n\\[r^2 = 27\\]\n\\[\\boxed{r = \\sqrt{27} = 3\\sqrt{3}}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym oraz wartość \\(\\sin 60°\\):\n\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia promienia.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartość \\(\\cos 120°\\):\n\\[\\cos 120° = \\cos(180° - 60°) = -\\cos 60° = -\\frac{1}{2}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 (twierdzenie cosinusów).\n\n**Dział 10 (Planimetria/Twierdzenie cosinusów, s. 15-16)**:\n\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]\nZastosowane w Sposobie 2 dla trójkąta przekroju osiowego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(3\\) | Wzięto \\(\\sin 30°\\) zamiast \\(\\sin 60°\\) - pomylono kąt rozwarcia z połową kąta rozwarcia (\\(120° \\div 2 = 60°\\), nie \\(30°\\)) |\n| B - \\(6\\) | Utożsamiono promień z tworzącą - ktoś \"zapomniał\" o sinusie i wstawił \\(r = l\\) |\n| D - \\(6\\sqrt{3}\\) | Użyto \\(\\tan 60° \\cdot l\\) zamiast \\(\\sin 60° \\cdot l\\), albo wzięto \\(r = l \\cdot \\sqrt{3}\\) bez uzasadnienia |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt rozwarcia stożka to **pełny** kąt przy wierzchołku przekroju osiowego. Przy rysowaniu trójkąta prostokątnego (połowy przekroju) kąt przy wierzchołku wynosi **połowę** kąta rozwarcia, czyli \\(60°\\) - nie \\(120°\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tworząca to **nie** wysokość stożka! W trójkącie prostokątnym tworząca jest **przeciwprostokątną**, a promień - ramię prostopadłe. Dlatego stosujemy sinus, nie cosinus.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\cos 120° = -\\frac{1}{2}\\) (wartość ujemna!). Przy stosowaniu twierdzenia cosinusów odjęcie ujemnej liczby zamienia się w **dodawanie** - stąd \\(-2 \\cdot 36 \\cdot (-\\frac{1}{2}) = +36\\), co wielu uczniów pomija.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Trygonometria w przekroju osiowym\nKąt rozwarcia stożka to kąt między dwiema tworzącymi w przekroju osiowym - \\(120^{\\circ}\\). Kąt między tworzącą a osią (wysokością) to połowa: \\(60^{\\circ}\\).\n\nW trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość, promień \\(r\\) i tworzącą \\(l=6\\):\n\\[\\sin 60^{\\circ} = \\dfrac{r}{l} \\Rightarrow r = l\\cdot \\sin 60^{\\circ} = 6\\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Cosinus kąta połowa rozwarcia\n\\(\\cos 60^{\\circ} = \\dfrac{h}{l}\\), gdzie \\(h\\) - wysokość. \\(h = 6\\cdot \\tfrac{1}{2} = 3\\).\nZ twierdzenia Pitagorasa: \\(r^{2} = l^{2} - h^{2} = 36 - 9 = 27\\), więc \\(r = \\sqrt{27} = 3\\sqrt{3}\\).\n\n### Sposób 3 - Trójkąt równoboczny\nKąt rozwarcia \\(120^{\\circ}\\) z dwoma tworzącymi \\(l=6\\) tworzy trójkąt równoramienny. Z twierdzenia kosinusów: podstawa \\(d = \\sqrt{l^{2}+l^{2}-2l^{2}\\cos 120^{\\circ}} = \\sqrt{36+36+36} = \\sqrt{108} = 6\\sqrt{3}\\). Promień \\(r = \\tfrac{d}{2} = 3\\sqrt{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\)** - to wysokość stożka \\(h\\), nie promień.\n- **B. \\(6\\)** - to tworząca \\(l\\), nie promień.\n- **D. \\(6\\sqrt{3}\\)** - to średnica, nie promień.\n\n**Pamiętaj:** kąt rozwarcia to cały kąt między tworzącymi; pół kąta (60°) to ten przy osi stożka. \\(r = l\\sin(\\tfrac{\\text{kąt rozwarcia}}{2})\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15. (1 pkt)
Ciąg (
)
, 2
3, 4
3
x
x
x
jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
A.
4
B. 1
C. 0
D.
1

","answer_text_html":"

Zadanie 15. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Ciągi liczbowe. Zdający bada, czy dany
\n

ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny
(5.b).
Wersja
I
Wersja
II
D
C

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(3\\sqrt{3}\\)

\n

Sposób 1 - Trójkąt prostokątny w przekroju osiowym

\n

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny. Kąt rozwarcia \\(120°\\) to kąt przy wierzchołku (apex) tego trójkąta.

\n

Połówka przekroju osiowego tworzy trójkąt prostokątny z:

\n\n

Z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:
\\[\\sin 60° = \\frac{r}{l}\\]
\\[r = l \\cdot \\sin 60° = 6 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]
\\[\\boxed{r = 3\\sqrt{3}}\\]

\n

Sposób 2 - Twierdzenie cosinusów na pełnym przekroju osiowym

\n

Cały przekrój osiowy to trójkąt równoramienny o ramionach \\(l = 6\\) i kącie rozwarcia \\(120°\\). Podstawa tego trójkąta to średnica podstawy stożka, czyli \\(2r\\).

\n

Ze wzoru cosinusów:
\\[(2r)^2 = l^2 + l^2 - 2 \\cdot l \\cdot l \\cdot \\cos(120°)\\]
\\[4r^2 = 36 + 36 - 2 \\cdot 36 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right)\\]
\\[4r^2 = 72 + 36 = 108\\]
\\[r^2 = 27\\]
\\[\\boxed{r = \\sqrt{27} = 3\\sqrt{3}}\\]

\n

Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym oraz wartość \\(\\sin 60°\\):
\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia promienia.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - wartość \\(\\cos 120°\\):
\\[\\cos 120° = \\cos(180° - 60°) = -\\cos 60° = -\\frac{1}{2}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 (twierdzenie cosinusów).

\n

Dział 10 (Planimetria/Twierdzenie cosinusów, s. 15-16):
\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]
Zastosowane w Sposobie 2 dla trójkąta przekroju osiowego.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A - \\(3\\) | Wzięto \\(\\sin 30°\\) zamiast \\(\\sin 60°\\) - pomylono kąt rozwarcia z połową kąta rozwarcia (\\(120° \\div 2 = 60°\\), nie \\(30°\\)) |
| B - \\(6\\) | Utożsamiono promień z tworzącą - ktoś "zapomniał" o sinusie i wstawił \\(r = l\\) |
| D - \\(6\\sqrt{3}\\) | Użyto \\(\\tan 60° \\cdot l\\) zamiast \\(\\sin 60° \\cdot l\\), albo wzięto \\(r = l \\cdot \\sqrt{3}\\) bez uzasadnienia |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Kąt rozwarcia stożka to pełny kąt przy wierzchołku przekroju osiowego. Przy rysowaniu trójkąta prostokątnego (połowy przekroju) kąt przy wierzchołku wynosi połowę kąta rozwarcia, czyli \\(60°\\) - nie \\(120°\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Tworząca to nie wysokość stożka! W trójkącie prostokątnym tworząca jest przeciwprostokątną, a promień - ramię prostopadłe. Dlatego stosujemy sinus, nie cosinus.
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\cos 120° = -\\frac{1}{2}\\) (wartość ujemna!). Przy stosowaniu twierdzenia cosinusów odjęcie ujemnej liczby zamienia się w dodawanie - stąd \\(-2 \\cdot 36 \\cdot (-\\frac{1}{2}) = +36\\), co wielu uczniów pomija.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Trygonometria w przekroju osiowym
\n

Kąt rozwarcia stożka to kąt między dwiema tworzącymi w przekroju osiowym - \\(120^{\\circ}\\). Kąt między tworzącą a osią (wysokością) to połowa: \\(60^{\\circ}\\).

\n

W trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość, promień \\(r\\) i tworzącą \\(l=6\\):
\\[\\sin 60^{\\circ} = \\dfrac{r}{l} \\Rightarrow r = l\\cdot \\sin 60^{\\circ} = 6\\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}.\\]

\n
Sposób 2 - Cosinus kąta połowa rozwarcia
\n

\\(\\cos 60^{\\circ} = \\dfrac{h}{l}\\), gdzie \\(h\\) - wysokość. \\(h = 6\\cdot \\tfrac{1}{2} = 3\\).
Z twierdzenia Pitagorasa: \\(r^{2} = l^{2} - h^{2} = 36 - 9 = 27\\), więc \\(r = \\sqrt{27} = 3\\sqrt{3}\\).

\n
Sposób 3 - Trójkąt równoboczny
\n

Kąt rozwarcia \\(120^{\\circ}\\) z dwoma tworzącymi \\(l=6\\) tworzy trójkąt równoramienny. Z twierdzenia kosinusów: podstawa \\(d = \\sqrt{l^{2}+l^{2}-2l^{2}\\cos 120^{\\circ}} = \\sqrt{36+36+36} = \\sqrt{108} = 6\\sqrt{3}\\). Promień \\(r = \\tfrac{d}{2} = 3\\sqrt{3}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: kąt rozwarcia to cały kąt między tworzącymi; pół kąta (60°) to ten przy osi stożka. \\(r = l\\sin(\\tfrac{\\text{kąt rozwarcia}}{2})\\).

"}]}