{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nPrzedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość\nA. 8\nB.\n5,8\nC. 5,9\nD. 10\nA\nB\nC\nP\nQ\nR\n70°\n48°\n62°\n70°\nx\n9\n18\n17\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n7. Planimetria. Zdający wykorzystuje\nwłasności figur podobnych w zadaniach (7.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nWartość wyrażenia wynosi \\(4 + \\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n## Sposób 1 - podstawienie wartości i rozwinięcie kwadratu\n\n**Krok 1: Wypisz wartości trygonometryczne z karty wzorów.**\n\n\\[\n\\operatorname{tg}60° = \\sqrt{3}, \\qquad \\operatorname{tg}45° = 1, \\qquad \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\n\\]\n\n**Krok 2: Podstaw do wyrażenia.**\n\n\\[\n(\\operatorname{tg}60° + \\operatorname{tg}45°)^2 - \\sin 60° = (\\sqrt{3} + 1)^2 - \\frac{\\sqrt{3}}{2}\n\\]\n\n**Krok 3: Rozwiń kwadrat sumy wzorem \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\).**\n\n\\[\n(\\sqrt{3} + 1)^2 = (\\sqrt{3})^2 + 2 \\cdot \\sqrt{3} \\cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\\sqrt{3}\n\\]\n\n**Krok 4: Odejmij \\(\\sin 60°\\) i uprość.**\n\n\\[\n4 + 2\\sqrt{3} - \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 4 + \\frac{4\\sqrt{3}}{2} - \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\boxed{4 + \\frac{3\\sqrt{3}}{2}}\n\\]\n\nOdpowiedź **D**.\n\n## Sposób 2 - weryfikacja numeryczna\n\nPolicz przybliżone wartości:\n- \\(\\operatorname{tg}60° = \\sqrt{3} \\approx 1{,}732\\)\n- \\(\\operatorname{tg}45° = 1\\)\n- \\(\\sin 60° \\approx 0{,}866\\)\n\n\\[\n(\\sqrt{3} + 1)^2 - \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\approx (1{,}732 + 1)^2 - 0{,}866 = (2{,}732)^2 - 0{,}866 \\approx 7{,}464 - 0{,}866 \\approx 6{,}598\n\\]\n\nSprawdź odpowiedź D:\n\\[\n4 + \\frac{3\\sqrt{3}}{2} \\approx 4 + \\frac{3 \\cdot 1{,}732}{2} \\approx 4 + 2{,}598 = 6{,}598 \\checkmark\n\\]\n\nZgadza się - odpowiedź **D** jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - tabela wartości dla wybranych kątów:\n\n| \\(\\alpha\\) | \\(30°\\) | \\(45°\\) | \\(60°\\) |\n| \\(\\sin\\alpha\\) | \\(\\frac{1}{2}\\) | \\(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) | \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) |\n| \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) | \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) | \\(1\\) | \\(\\sqrt{3}\\) |\n\nUżyliśmy wartości \\(\\operatorname{tg}60° = \\sqrt{3}\\), \\(\\operatorname{tg}45° = 1\\) i \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[\n(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\n\\]\nUżyliśmy do rozwinięcia \\((\\sqrt{3} + 1)^2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\(\\left(2 - \\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\right)\\) | Użycie minusa zamiast plusa: policzono \\((\\operatorname{tg}60° - \\operatorname{tg}45°)^2 - \\sin 60° = (\\sqrt{3}-1)^2 - \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 4 - 2\\sqrt{3} - \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - błędny znak w nawiasie |\n| **B** \\(\\left(2 + \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)\\) | Mylenie \\(\\operatorname{tg}60°\\) z \\(\\sin 60°\\) - wstawienie \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) zamiast \\(\\sqrt{3}\\), co daje inną sumę pod kwadratem |\n| **C** \\(\\left(4 - \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)\\) | **Najczęstszy błąd**: pominięcie wyrazu mieszanego \\(2ab\\) przy rozwijaniu kwadratu - obliczenie \\((\\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4\\) zamiast \\(4 + 2\\sqrt{3}\\), a potem odjęcie \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to rozwijanie \\((\\sqrt{3} + 1)^2\\) jako \\(3 + 1 = 4\\) - zapominanie o wyrazie mieszanym \\(2 \\cdot \\sqrt{3} \\cdot 1 = 2\\sqrt{3}\\). Kwadrat sumy to **trzy** składniki, nie dwa!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\operatorname{tg}60° = \\sqrt{3}\\), a **nie** \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - ta wartość to \\(\\sin 60°\\). Pomylenie tg z sin to klasyczna pułapka przy wartościach kąta 60°.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozwinięciu kwadratu masz do czynienia z \\(2\\sqrt{3} - \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - pamiętaj, żeby sprowadzić do wspólnego mianownika: \\(\\frac{4\\sqrt{3}}{2} - \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\). Nie wolno po prostu „odejmować \\(\\sqrt{3}\\)\" bez wyrównania mianowników.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wartości funkcji trygonometrycznych (karta wzorów)\n\\(\\operatorname{tg}60^{\\circ} = \\sqrt{3}\\), \\(\\operatorname{tg}45^{\\circ} = 1\\), \\(\\sin 60^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\\[(\\sqrt{3}+1)^{2} - \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = (3 + 2\\sqrt{3} + 1) - \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 4 + 2\\sqrt{3} - \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}.\\]\nSprowadzamy \\(2\\sqrt{3}\\) do wspólnego mianownika:\n\\[2\\sqrt{3} - \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{4\\sqrt{3} - \\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}.\\]\nWynik: \\(4 + \\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Krok po kroku\n\\(\\operatorname{tg}60^{\\circ}+\\operatorname{tg}45^{\\circ} = \\sqrt{3}+1\\). Wzór skróconego mnożenia: \\((\\sqrt{3}+1)^{2} = 3+2\\sqrt{3}+1 = 4+2\\sqrt{3}\\).\nOdjęcie: \\(4 + 2\\sqrt{3} - \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = 4 + \\tfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2-\\tfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\)** - ktoś pomylił wzór skróconego mnożenia, zmienił znak.\n- **B. \\(2+\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)** - brak członu \\(2\\sqrt{3}\\), błąd przy podnoszeniu sumy do kwadratu.\n- **C. \\(4-\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)** - pominięto \\(2\\sqrt{3}\\) (tylko \\(-\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)).\n\n**Pamiętaj:** \\((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\\) - nigdy nie zapominaj o środkowym wyrazie \\(2ab\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 16. (1 pkt)<br>Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość<br>A. 8<br>B.<br>5,8<br>C. 5,9<br>D. 10<br>A<br>B<br>C<br>P<br>Q<br>R<br>70°<br>48°<br>62°<br>70°<br>x<br>9<br>18<br>17</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>I. Wykorzystanie<br>i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Planimetria. Zdający wykorzystuje</li></ol>\n<p>własności figur podobnych w zadaniach (7.b).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>Wartość wyrażenia wynosi \\(4 + \\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - podstawienie wartości i rozwinięcie kwadratu</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wypisz wartości trygonometryczne z karty wzorów.</strong></p>\n<p>\\[<br>\\operatorname{tg}60° = \\sqrt{3}, \\qquad \\operatorname{tg}45° = 1, \\qquad \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Podstaw do wyrażenia.</strong></p>\n<p>\\[<br>(\\operatorname{tg}60° + \\operatorname{tg}45°)^2 - \\sin 60° = (\\sqrt{3} + 1)^2 - \\frac{\\sqrt{3}}{2}<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Rozwiń kwadrat sumy wzorem \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\).</strong></p>\n<p>\\[<br>(\\sqrt{3} + 1)^2 = (\\sqrt{3})^2 + 2 \\cdot \\sqrt{3} \\cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\\sqrt{3}<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Odejmij \\(\\sin 60°\\) i uprość.</strong></p>\n<p>\\[<br>4 + 2\\sqrt{3} - \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 4 + \\frac{4\\sqrt{3}}{2} - \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\boxed{4 + \\frac{3\\sqrt{3}}{2}}<br>\\]</p>\n<p>Odpowiedź <strong>D</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja numeryczna</h4>\n<p>Policz przybliżone wartości:</p>\n<ul><li>\\(\\operatorname{tg}60° = \\sqrt{3} \\approx 1{,}732\\)</li><li>\\(\\operatorname{tg}45° = 1\\)</li><li>\\(\\sin 60° \\approx 0{,}866\\)</li></ul>\n<p>\\[<br>(\\sqrt{3} + 1)^2 - \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\approx (1{,}732 + 1)^2 - 0{,}866 = (2{,}732)^2 - 0{,}866 \\approx 7{,}464 - 0{,}866 \\approx 6{,}598<br>\\]</p>\n<p>Sprawdź odpowiedź D:<br>\\[<br>4 + \\frac{3\\sqrt{3}}{2} \\approx 4 + \\frac{3 \\cdot 1{,}732}{2} \\approx 4 + 2{,}598 = 6{,}598 \\checkmark<br>\\]</p>\n<p>Zgadza się - odpowiedź <strong>D</strong> jest poprawna.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - tabela wartości dla wybranych kątów:</p>\n<p>| \\(\\alpha\\) | \\(30°\\) | \\(45°\\) | \\(60°\\) |<br>| \\(\\sin\\alpha\\) | \\(\\frac{1}{2}\\) | \\(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) | \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) |<br>| \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) | \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) | \\(1\\) | \\(\\sqrt{3}\\) |</p>\n<p>Użyliśmy wartości \\(\\operatorname{tg}60° = \\sqrt{3}\\), \\(\\operatorname{tg}45° = 1\\) i \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).</p>\n<p><strong>Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)</strong>:<br>\\[<br>(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2<br>\\]<br>Użyliśmy do rozwinięcia \\((\\sqrt{3} + 1)^2\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| <strong>A</strong> \\(\\left(2 - \\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\right)\\) | Użycie minusa zamiast plusa: policzono \\((\\operatorname{tg}60° - \\operatorname{tg}45°)^2 - \\sin 60° = (\\sqrt{3}-1)^2 - \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 4 - 2\\sqrt{3} - \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - błędny znak w nawiasie |<br>| <strong>B</strong> \\(\\left(2 + \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)\\) | Mylenie \\(\\operatorname{tg}60°\\) z \\(\\sin 60°\\) - wstawienie \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) zamiast \\(\\sqrt{3}\\), co daje inną sumę pod kwadratem |<br>| <strong>C</strong> \\(\\left(4 - \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)\\) | <strong>Najczęstszy błąd</strong>: pominięcie wyrazu mieszanego \\(2ab\\) przy rozwijaniu kwadratu - obliczenie \\((\\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4\\) zamiast \\(4 + 2\\sqrt{3}\\), a potem odjęcie \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to rozwijanie \\((\\sqrt{3} + 1)^2\\) jako \\(3 + 1 = 4\\) - zapominanie o wyrazie mieszanym \\(2 \\cdot \\sqrt{3} \\cdot 1 = 2\\sqrt{3}\\). Kwadrat sumy to <strong>trzy</strong> składniki, nie dwa!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że \\(\\operatorname{tg}60° = \\sqrt{3}\\), a <strong>nie</strong> \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - ta wartość to \\(\\sin 60°\\). Pomylenie tg z sin to klasyczna pułapka przy wartościach kąta 60°.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po rozwinięciu kwadratu masz do czynienia z \\(2\\sqrt{3} - \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - pamiętaj, żeby sprowadzić do wspólnego mianownika: \\(\\frac{4\\sqrt{3}}{2} - \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\). Nie wolno po prostu „odejmować \\(\\sqrt{3}\\)&quot; bez wyrównania mianowników.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wartości funkcji trygonometrycznych (karta wzorów)</h5>\n<p>\\(\\operatorname{tg}60^{\\circ} = \\sqrt{3}\\), \\(\\operatorname{tg}45^{\\circ} = 1\\), \\(\\sin 60^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).<br>\\[(\\sqrt{3}+1)^{2} - \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = (3 + 2\\sqrt{3} + 1) - \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 4 + 2\\sqrt{3} - \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}.\\]<br>Sprowadzamy \\(2\\sqrt{3}\\) do wspólnego mianownika:<br>\\[2\\sqrt{3} - \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{4\\sqrt{3} - \\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}.\\]<br>Wynik: \\(4 + \\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Krok po kroku</h5>\n<p>\\(\\operatorname{tg}60^{\\circ}+\\operatorname{tg}45^{\\circ} = \\sqrt{3}+1\\). Wzór skróconego mnożenia: \\((\\sqrt{3}+1)^{2} = 3+2\\sqrt{3}+1 = 4+2\\sqrt{3}\\).<br>Odjęcie: \\(4 + 2\\sqrt{3} - \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = 4 + \\tfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(2-\\tfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\)</strong> - ktoś pomylił wzór skróconego mnożenia, zmienił znak.</li><li><strong>B. \\(2+\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)</strong> - brak członu \\(2\\sqrt{3}\\), błąd przy podnoszeniu sumy do kwadratu.</li><li><strong>C. \\(4-\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)</strong> - pominięto \\(2\\sqrt{3}\\) (tylko \\(-\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\\) - nigdy nie zapominaj o środkowym wyrazie \\(2ab\\).</p>"}]}