{"id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nKąt α jest ostry i\n2\ntg\n3\nα =\n. Wtedy\nA.\n3 13\nsin\n26\nα =\nB.\n13\nsin\n13\nα =\nC.\n2 13\nsin\n13\nα =\nD.\n3 13\nsin\n13\nα =","answer":"C","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n6. Trygonometria. Zdający, znając wartość\njednej z funkcji trygonometrycznych,\nwyznacza wartości pozostałych funkcji tego\nsamego kąta ostrego (6.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(2\\pi r^3\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie do wzoru na objętość walca\n\n**Odczytujemy dane z zadania:**\n- promień podstawy: \\(r\\)\n- wysokość jest **dwa razy większa od promienia**: \\(h = 2r\\)\n\n**Wzór na objętość walca:**\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\n\n**Podstawiamy \\(h = 2r\\):**\n\\[V = \\pi r^2 \\cdot 2r\\]\n\n\\[\\boxed{V = 2\\pi r^3}\\]\n\nOdpowiedź **A**.\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie konkretnej liczby\n\nSprawdzamy dla \\(r = 1\\):\n- \\(h = 2 \\cdot 1 = 2\\)\n- \\(V = \\pi \\cdot 1^2 \\cdot 2 = 2\\pi\\)\n\nTeraz sprawdzamy odpowiedź A dla \\(r = 1\\):\n\\[2\\pi r^3 = 2\\pi \\cdot 1^3 = 2\\pi \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy pozostałe odpowiedzi dla \\(r = 1\\):\n- B: \\(4\\pi \\cdot 1 = 4\\pi \\neq 2\\pi\\)\n- C: \\(\\pi \\cdot 1 \\cdot (1+2) = 3\\pi \\neq 2\\pi\\)\n- D: \\(\\pi \\cdot 1 \\cdot (1-2) = -\\pi \\neq 2\\pi\\)\n\nTylko **A** daje poprawny wynik.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość walca:\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1, podstawiając \\(h = 2r\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Pomylono \"dwa razy większa\" z \\(h = 4r\\) lub wzięto \\(V = \\pi r^2 \\cdot 4r\\) - np. przez pomylenie \"dwa razy\" z kwadratem |\n| C | Wstawiono \\(h = 2\\) (stałą liczbę) zamiast \\(h = 2r\\), co daje \\(\\pi r^2(r+2)\\) - błąd w odczytaniu treści |\n| D | Jak wyżej, ale z błędem znaku lub odejmowaniem: \\(\\pi r^2(r-2)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Wysokość jest dwa razy większa od promienia\" oznacza \\(h = 2r\\), **nie** \\(h = r + 2\\). Uważaj na takie sformułowania - \"dwa razy większa\" to mnożenie, nie dodawanie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po podstawieniu \\(h = 2r\\) do \\(\\pi r^2 h\\) pamiętaj o przemnożeniu: \\(\\pi r^2 \\cdot 2r = 2\\pi r^{2+1} = 2\\pi r^3\\). Łatwo zapomnieć o dodaniu wykładników przy \\(r \\cdot r^2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedzi C i D są skonstruowane tak, by zmylić kogoś, kto wstawi \\(h = 2\\) (bez \\(r\\)). Zawsze sprawdzaj, czy zmienna jest liczbą, czy wyrażeniem zależnym od \\(r\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na objętość walca (karta wzorów)\nWzór: \\(V = \\pi r^{2}\\cdot h\\). Wysokość: \\(h = 2r\\). Zatem:\n\\[V = \\pi r^{2}\\cdot 2r = 2\\pi r^{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie przez konkretne wartości\nNiech \\(r=1\\). Wtedy \\(h=2\\) i \\(V = \\pi\\cdot 1\\cdot 2 = 2\\pi\\). Sprawdźmy odpowiedzi:\n- A: \\(2\\pi\\cdot 1 = 2\\pi\\) ✓\n- B: \\(4\\pi\\cdot 1 = 4\\pi\\) ✗\n- C: \\(\\pi\\cdot 1\\cdot 3 = 3\\pi\\) ✗\n- D: \\(\\pi\\cdot 1\\cdot(-1) < 0\\) ✗\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(4\\pi r^{3}\\)** - ktoś wziął \\(h=4r\\) zamiast \\(2r\\), lub policzył \\((2r)^{2}\\cdot r\\).\n- **C. \\(\\pi r^{2}(r+2)\\)** - dodał \\(r\\) i \\(2\\) zamiast pomnożyć.\n- **D. \\(\\pi r^{2}(r-2)\\)** - to samo z błędnym znakiem; wynik może być ujemny.\n\n**Pamiętaj:** \\(V_{\\text{walca}} = \\pi r^{2} h\\) - pole podstawy razy wysokość. Przy \\(h=2r\\) powstaje \\(r^{3}\\).","image":"img/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 17. (1 pkt)<br>Kąt α jest ostry i<br>2<br>tg<br>3<br>α =<br>. Wtedy<br>A.<br>3 13<br>sin<br>26<br>α =<br>B.<br>13<br>sin<br>13<br>α =<br>C.<br>2 13<br>sin<br>13<br>α =<br>D.<br>3 13<br>sin<br>13<br>α =</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>IV. Użycie i tworzenie<br>strategii.</p>\n<ol><li>Trygonometria. Zdający, znając wartość</li></ol>\n<p>jednej z funkcji trygonometrycznych,<br>wyznacza wartości pozostałych funkcji tego<br>samego kąta ostrego (6.d).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(2\\pi r^3\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - podstawienie do wzoru na objętość walca</h4>\n<p><strong>Odczytujemy dane z zadania:</strong></p>\n<ul><li>promień podstawy: \\(r\\)</li><li>wysokość jest <strong>dwa razy większa od promienia</strong>: \\(h = 2r\\)</li></ul>\n<p><strong>Wzór na objętość walca:</strong><br>\\[V = \\pi r^2 h\\]</p>\n<p><strong>Podstawiamy \\(h = 2r\\):</strong><br>\\[V = \\pi r^2 \\cdot 2r\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{V = 2\\pi r^3}\\]</p>\n<p>Odpowiedź <strong>A</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie konkretnej liczby</h4>\n<p>Sprawdzamy dla \\(r = 1\\):</p>\n<ul><li>\\(h = 2 \\cdot 1 = 2\\)</li><li>\\(V = \\pi \\cdot 1^2 \\cdot 2 = 2\\pi\\)</li></ul>\n<p>Teraz sprawdzamy odpowiedź A dla \\(r = 1\\):<br>\\[2\\pi r^3 = 2\\pi \\cdot 1^3 = 2\\pi \\checkmark\\]</p>\n<p>Sprawdzamy pozostałe odpowiedzi dla \\(r = 1\\):</p>\n<ul><li>B: \\(4\\pi \\cdot 1 = 4\\pi \\neq 2\\pi\\)</li><li>C: \\(\\pi \\cdot 1 \\cdot (1+2) = 3\\pi \\neq 2\\pi\\)</li><li>D: \\(\\pi \\cdot 1 \\cdot (1-2) = -\\pi \\neq 2\\pi\\)</li></ul>\n<p>Tylko <strong>A</strong> daje poprawny wynik.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - wzór na objętość walca:<br>\\[V = \\pi r^2 h\\]<br>Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1, podstawiając \\(h = 2r\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B | Pomylono &quot;dwa razy większa&quot; z \\(h = 4r\\) lub wzięto \\(V = \\pi r^2 \\cdot 4r\\) - np. przez pomylenie &quot;dwa razy&quot; z kwadratem |<br>| C | Wstawiono \\(h = 2\\) (stałą liczbę) zamiast \\(h = 2r\\), co daje \\(\\pi r^2(r+2)\\) - błąd w odczytaniu treści |<br>| D | Jak wyżej, ale z błędem znaku lub odejmowaniem: \\(\\pi r^2(r-2)\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> &quot;Wysokość jest dwa razy większa od promienia&quot; oznacza \\(h = 2r\\), <strong>nie</strong> \\(h = r + 2\\). Uważaj na takie sformułowania - &quot;dwa razy większa&quot; to mnożenie, nie dodawanie!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po podstawieniu \\(h = 2r\\) do \\(\\pi r^2 h\\) pamiętaj o przemnożeniu: \\(\\pi r^2 \\cdot 2r = 2\\pi r^{2+1} = 2\\pi r^3\\). Łatwo zapomnieć o dodaniu wykładników przy \\(r \\cdot r^2\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedzi C i D są skonstruowane tak, by zmylić kogoś, kto wstawi \\(h = 2\\) (bez \\(r\\)). Zawsze sprawdzaj, czy zmienna jest liczbą, czy wyrażeniem zależnym od \\(r\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na objętość walca (karta wzorów)</h5>\n<p>Wzór: \\(V = \\pi r^{2}\\cdot h\\). Wysokość: \\(h = 2r\\). Zatem:<br>\\[V = \\pi r^{2}\\cdot 2r = 2\\pi r^{3}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie przez konkretne wartości</h5>\n<p>Niech \\(r=1\\). Wtedy \\(h=2\\) i \\(V = \\pi\\cdot 1\\cdot 2 = 2\\pi\\). Sprawdźmy odpowiedzi:</p>\n<ul><li>A: \\(2\\pi\\cdot 1 = 2\\pi\\) ✓</li><li>B: \\(4\\pi\\cdot 1 = 4\\pi\\) ✗</li><li>C: \\(\\pi\\cdot 1\\cdot 3 = 3\\pi\\) ✗</li><li>D: \\(\\pi\\cdot 1\\cdot(-1) &lt; 0\\) ✗</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(4\\pi r^{3}\\)</strong> - ktoś wziął \\(h=4r\\) zamiast \\(2r\\), lub policzył \\((2r)^{2}\\cdot r\\).</li><li><strong>C. \\(\\pi r^{2}(r+2)\\)</strong> - dodał \\(r\\) i \\(2\\) zamiast pomnożyć.</li><li><strong>D. \\(\\pi r^{2}(r-2)\\)</strong> - to samo z błędnym znakiem; wynik może być ujemny.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\(V_{\\text{walca}} = \\pi r^{2} h\\) - pole podstawy razy wysokość. Przy \\(h=2r\\) powstaje \\(r^{3}\\).</p>"}]}